带着“思考”从“操作”走向“推理”——以《用尺规作等长线段》为例

文|丁志根

尺规作图是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）新增的内容。尺规作图在小学阶段包括的内容主要有：用尺规作等长线段，用尺规作三角形，用尺规探索三角形的三边关系。其中用尺规作等长线段是尺规教学的第一节课，如何通过这节课的教学帮助学生认识到尺规作图的价值？笔者进行了相关实践和研究。

【教学过程】

一、在自学中习得圆规的用法

师：课前我们已经自学了圆规的使用，请在纸上尝试画一个圆。谁来介绍一下怎样画好一个圆？

生：圆规是由两脚和顶端圆柄组成的，两只脚分别是针尖和笔尖，固定了针尖这只脚后，手捏住圆规顶端的圆柄旋转一圈，就可以画出一个圆。

生：在画圆时，只要保证针尖的一端不变，圆规两脚之间的距离不变，画的圆就会很圆了。

师：有同学画得不圆，想一想可能是什么原因？

生：可能是在画图的时候，针尖动了或者两脚间的距离变了。

师：非常善于思考，画圆时需要固定针尖，同时确保圆规两脚间的距离不变，就可以把圆画好，请同学们按照刚才的方法再规范地画一个圆。

二、在情境中理解尺规的原理

师：学校正在组建田径队，其中要选拔一些抛实心球运动员，乐乐、明明和亮亮参加了选拔，请大家看看谁能进入学校田径队？

生1：我是直接测量的。先用直尺量出学校标准的距离，再分别量出乐乐、明明和亮亮抛实心球的距离，最后进行比较。

生2：我是借助毛线来比较的。把一跟毛线拉直后，先取与学校标准一样长的一段，再用这段毛线分别与三位同学抛实心球的距离进行比较。

生3：我是用圆规来比的。张开圆规的两只脚，使圆规两脚间的距离正好等于学校的标准，再用调好距离的圆规分别去与三位同学的距离比较。

生4：我是用圆规画弧来比的。先张开圆规的两脚，使圆规两脚间的距离正好等于学校标准，再用这个距离，以中心为圆心，画一条弧。

师：如果把这四种方法分分类，可以怎样分？标准是什么？

生：可以分成两类，第一种方法为一类，后面三种方法为一类。分类的标准是看有没有直接测量，第一种方法是通过直接测量进行比较的，后面三种方法是没有进行测量，直接进行比较的。

师：后三种方法有什么相同之处？

生：这三种方法都用一个标准进行比较，方法二用毛线创造了这个标准，方法三和方法四都是用圆规创造了这个标准。

师：方法四凭什么画了一条弧就能判断出这些同学能否进入田径队呢？

生：因为圆弧是以学校标准画的，从画的圆弧可以看出三个同学的距离都超过了学校标准，所以都可以被选入学校田径队。

师：那你还能画出与标准等长的线段吗？能画出多少条？

生：可以画出无数条与标准等长的线段，只要在圆弧上选一点，把圆弧上的一点与圆的中心点连起来的线段都相等。

师：同学们真厉害，不仅帮学校选出了运动员，还发现了圆弧上的秘密，即圆弧上任意一点与圆的中心点的距离都相等。

三、在探索中掌握尺规的技能

师：请同学们尝试用圆规和直尺画出线段a 的等长线段。

出示活动建议：

1.先画一条直线；

2.用圆规确定给定线段的长度；

3.在直线上确定两个端点；

4.表示出等长的线段。

（通过“希沃”播放部分学生操作的过程）

师：仔细观察这几个同学操作的过程，你想到了什么？

生：画的过程中，关键是圆规两脚间的距离固定后就不能再变了。

生：我发现画的过程就是找到两个点，把它连起来。

师：说得真好，两点确定一条直线，用尺规画已知线段就是找到两个点，连成线段。

四、在运用中感悟尺规的价值

师：你能用直尺和圆规画出与下列三角形中线段AB 等长的线段吗？

师：在运用尺规画线段AB 的等长线段时，你积累了哪些经验？

生：我发现在画图的过程中，圆规的作用是帮我们找到确定的长度，并固定下来，直尺的作用是把两个点连接起来。

生：在画图时，圆规两脚间的距离一定要保持不变。

师：林林喜欢弹莱雅琴，但①号琴弦要断了，你能用圆规和直尺画一条与①号琴弦等长的线段吗？

师：在帮林林画与琴弦等长的线段时，你有什么体会？

【课后反思】

从这节课的教学可以看出，在小学阶段引入尺规作图的内容，对于培养学生的几何直观、空间想象和推理意识都具有重要的意义。在尺规作图的过程中，应该带着“思考”从“操作”走向“推理”，促进学生核心素养的发展。

一、带着“思考”开启尺规作图

小学阶段的尺规作图不完全等同于中学的尺规作图，不是简单地应用直尺和圆规画图形，不需要过多地强调作图方法。在教学中，学生作出线段、三角形等，能够帮助学生深层次的理解图形的性质和相互关系。尺规作图中直尺和圆规各有分工，直尺主要用来画直线，圆规主要用来画图或画弧线，这样的操作过程帮助学生将原本抽象的图形转化为形象、可感知、具身参与的数学活动。比如在让学生感受尺规作图的功能时，教师创设了“帮学校挑选实心球运动员”的生活情境，极大地激发了学生的学习兴趣，使学生乐于主动去探究。在探究过程中，教师设计了一个开放的问题“请大家看看谁能进入学校田径队”，问题的开放度决定了思维的宽度，学生想出了很多办法，借助直尺和圆规画弧是其中一种，教师借此引导学生深入的比较、分析，从而让学生感受到在多种方法中用尺规画图的便捷、直观。这样让学生带着思考走入生活情境，把一个抽象的数学问题还原成活泼生动的过程，培养了学生的空间观念和几何直观。

二、带着“研究”探索尺规作图

尺规作图不仅是一项简单的作图任务，更重要的是它还作为一种感知几何图形、理解图形性质、探索几何规律的认知工具。在教学中需要给予每位学生动手做、动脑思、动嘴讲的机会，让每位学生经历知识生长的过程和技能的形成过程，亲历研究的过程。本课首先通过微视频，让学生课前自主学习画圆的过程，再通过课堂上实践画图、交流画图的过程规范画圆，让每位学生都经历了从不会画圆到画不圆，再到规范画圆的过程；其次在引导学生探究尺规作已知线段的等长线段时，借助核心问题“怎样把四种方法分分类？”“你还能画出与标准等长的线段吗？”引导每位学生体验从特殊到一般，感受“两点确定一条直线”的数学事实；最后在练习的过程中，通过追问“你积累了哪些经验？”“你有什么体会？”引导每位学生规范表达画图背后的道理，有利于学生方法的结构化建构与学习的广泛性迁移。

三、带着“推理”深化尺规作图

2022年版课标指出：“三会”是数学学科核心素养的具体体现，而其中“会用数学的思维思考现实世界”其实质就是数学推理，推理意识是发展学生核心素养的主要表现之一。本课教学中，教师多次引导学生经历操作、观察和分析的过程。比如在探究用尺规画已知线段的等长线段时，教师先出示活动建议，为学生搭建学习支架，让学生自主操作；在操作后，通过希沃播放学生的操作过程，还原了学生的思维过程；观察后引导学生进行分析，从而体会到尺规作图的原理。这样，让学生经历了数学化的过程，学生通过几何作图的方法，在操作过程中形成对几何图形的感知，感受到两点确定一条线段的意义；体会到用直尺可以确定直线，用圆规的两点可以确定线段的长短；在练习中，再次引导学生对“两点确定一条线段”进行思考，发展学生的推理意识。推理能力不是一蹴而就的，需要课堂上引导学生反复经历操作、观察和比较分析的过程，让学生经历从特殊到一般的数学化过程，以此培养学生的推理意识。