基于矩阵重构的非等功率相干信号DOA估计

董宛茹 马秀荣 单云龙

(天津理工大学电气电子工程学院 天津 300384) (光电器件与通信技术教育部工程研究中心 天津 300384)

0 引 言

波达方向估计作为阵列信号处理中的主要研究内容,一直以来受到学者们的关注,在电子对抗、导航和移动通信等领域有着广泛的应用[1-3]。在众多国内外学者的研究探索下,不同的DOA估计算法相继被提出。其中常用的多重信号分类(Multiple signal classification,MUSIC)算法[4]由Schmidt首次提出,算法利用信号子空间与噪声子空间的正交性实现DOA估计,之后在MUSIC算法的基础上相继提出改进MUSIC[5-6]算法。此类算法由于在相干信号存在时协方差矩阵会产生秩亏,故无法估计相干信号的波达方向。同时,当信号源功率差异越大时,MUSIC类算法的分辨性能越差[7-8],甚至会导致小功率的信号波达方向估计失败。而在复杂的电磁环境下如电子对抗中,存在大量的相干信号,且信号间功率各不相等。因此,研究有效的非等功率相干信号处理算法是当前阵列信号处理中的一个重要研究内容。

为了实现对非等功率相干信号的波达方向估计,首先要解决相干信号的估计问题,对算法进行改进或对阵列所接收的数据进行处理,从而消除秩亏问题,得出信号正确的波达方向角。常用前后向空间平滑(Forward and Backward Spatial Smoothing,FBSS)算法[9]对相干信号进行DOA估计,通过减少均匀线阵的有效孔径,解决了相干源导致的协方差矩阵秩亏。随后,许多学者对其进行改进[10-11],但当信号功率相差较大时,空间平滑类算法对弱信号的估计会发生较大偏差甚至无法估计。

为了提高弱信号的估计性能,文献[12]提出了干扰阻塞(Jamming Jam Method,JJM)算法,但需要已知强信号的个数与波达方向。该算法利用已知的先验信息,构造含有强信号波达方向的阻塞矩阵,从而实现对阵列流型矩阵进行降秩,抑制强信号对弱信号的影响。然后再利用MUSIC空间谱估计算法对弱信号进行DOA估计。后来,文献[13-14]对JJM进行改进,进一步优化JJM估计性能。但对于JJM而言当强弱信号相邻较近时,算法在抑制强信号的同时也抑制了弱信号,导致角度相邻较近时波达方向估计精度不高。针对强弱信号共存的非等功率信号,文献[15]提出了一种基于噪声子空间的新算法,利用不变噪声子空间特性可以同时估计出角度相邻较近的强弱信号的波达方向。文献[16-17]对其进行改进,提高波达方向估计精度、降低算法复杂度,但此类算法只能估计不相干信号。为了实现对非等功率相干信号波达方向估计,文献[18]提出了不变噪声子空间平滑(Invariant Property of Noise Subspace Smoothness,IPNSS)算法,利用前后向空间平滑与不变噪声子空间的特性解决了非等功率相干信号的DOA估计。

为了进一步提高DOA估计性能,本文提出一种基于Toeplitz矩阵[19-21]重构的不变噪声子空间算法,充分利用了阵列所接收的数据及其复共轭信息,增加了可估计相干信号数目,同时提高了对相干信源的DOA估计性能。对于等功率和非等功率且相隔较近的相干信号都具有更高的成功率,更强的分辨率。仿真实验验证了本文算法的有效性。

1 阵列模型及信号模型

1.1 阵列模型

若均匀线阵(Uniform Iinear Array,ULA)由M个阵元组成,其阵元间隔为d,则阵列模型如图1所示。

可以看出,若D个远场窄带信号入射到均匀线阵中,入射方向角为θ,则相邻阵元接收到的信号间存在时延Δd,其值为Δd=dsinθ。可以得到阵列的接收信号矢量为:

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)

(1)

1.2 非等功率相干信号

在实际通信环境中,多个同频信号si(t)(i=1,2,…,D)到达天线阵列,认为接收到的信号是彼此相干的。通信过程中由于距离不同或多径及干扰的影响会导致信号功率不相等现象。

对于两信号si(t)和sj(t),相关系数[21-22]定义为:

(2)

根据ρij的取值,可定义信号之间的相关性如下:

(3)

进而通过上述定义可知,相干信号源之间只差一个复常数。相干信号之间存在如下关系:

si(t)=αis1(t)i=1,2,…,D

(4)

式中:αi为复常数,表示第i个信号相对于s1(t)的衰落系数;s1(t)为生成信源。

一般而言,常通过判别入射信号的信噪比是否相同来判定信号是否为等功率信号。入射信号信噪比定义为:

(5)

2 基于Toeplitz矩阵重构的不变噪声子空间算法

本节首先对各个阵元的接收数据与参考阵元(左起第一个阵元)的接收数据的相关函数进行排列,形成满秩的Toeplitz矩阵,然后对其进行奇异值分解得到噪声子空间及噪声特征值。再引入虚拟信源对Toeplitz矩阵进行优化,对优化后的矩阵进行分解得到新的噪声子空间及新的噪声特征值。利用虚拟信源引入前后,噪声子空间不发生改变这一特性从而实现相干信号的DOA估计。

信号模型:

假设共有D个窄带相干信源:s1(t),s2(t),…,sD(t),第i个信号的到达角为θi,则第k个阵元上的接收信号为:

A(k)[s1(t),s2(t),…,sD(t)]T+nk(t)

(6)

式中:si(t)为第i个信号源;nk(t)为第k个阵元上的噪声;A为阵列天线的阵列流型矩阵,其中A(k)(k=1,2,…,M)表示A的第k行的所有元素。由式(6)可知第一个阵元的接收数据矢量为:

(7)

定义如下的相关函数:

A(1)RsAH(k)+σ2I

(8)

式中:Rs为信号源协方差矩阵;r(k)当k由1变到M时,得到的相关矢量为[r(1),r(2),…,r(M)]T,且满足:

[r(1),r(2),…,r(M)]T=

A(1)Rs[AH(1),AH(2),…,AH(M)]

(9)

可以看出,相关矢量中包含了所有信号源的信息,利用此M个相关函数构造协方差矩阵:

(10)

可以看出RT是M×M阶的Hermitian Toeplitz矩阵。

对重构后的等效信号协方差矩阵RT进行特征值分解:

(11)

式中:ΣS为信号特征值矩阵;ΣN为噪声特征值矩阵。

将得到的M个特征值λ={λ1,λ2,…,λM}正序排列:

λ1≥λ2≥…≥λD≥λD+1≥…≥λM

(12)

特征值λ1至λD对应的特征向量看成信号子空间US,特征值为λD+1至λM对应的特征向量看成噪声子空间UN。若所入射信号之间的功率不等时,则信号特征值λ1至λD的差值明显,且功率相差越大,信号特征值相差越大。

此时引入一个虚拟信源来优化协方差矩阵,构造新的协方差矩阵为:

(13)

(14)

(15)

根据以上分析可总结算法实现步骤如下:

(1) 将各个阵元的接收数据与参考阵元接收数据的相关函数进行排列得到M个相关函数。

(2) 对M个相关函数进行Toeplitz矩阵重构,得到协方差矩阵RT。

(3) 对RT进行奇异值分解得到噪声子空间对应的特征值λD+1,λD+2,…,λM。

(6) 利用式(15)进行谱峰估计获得DOA估计值。

3 仿真结果与比较

为了验证本文算法DOA估计的有效性,采用阵列模型为均匀线阵,阵元数目为M=16,阵元间距为d=λ/2,噪声为加性高斯白噪声,入射信号均为远场窄带信号,且信源数目已知。

仿真实验1验证本文算法可以实现对更多相干信号的DOA估计。

该实验采用采样快拍数为1 024,SNR为30 dB。10个相干信号入射到阵列天线中,仿真结果如图2(a)所示;15个相干信号入射到阵列天线中,仿真结果如图2(b)所示。

(a) 10个相干信号

(b) 15个信号相干信号图2 相干信号DOA估计仿真曲线

由图2(a)可知,当相干信号数目为10,小于2M/3时,此时空间平滑类算法及本文算法均能准确地估计出相干信源的波达方向。

图2(b)仿真结果表明,当相干信号数目为15,大于2M/3时,空间平滑类算法失效而本文算法仍可准确地估计出所有信源的波达方向。由于本文算法无阵列孔径损失,最多可估计M-1个相干信号,提高了相干信号可估计信源数目。

仿真实验2本文算法对等功率相干信号估计性能验证。

(1) 仿真采用2个等功率相干信号,入射角度分别为0°、2°。采样快拍数为1 024,信噪比从-10 dB增加到30 dB,每隔2 dB统计一次。进行100次独立实验,误差1°以内则认为成功估计。该条件下三种算法的成功率对比如图3所示。

图3 等功率相干信号成功概率与信噪比的关系

可以看出,对于等功率相干信号入射角度相差2°时,在低信噪比下成功率远高于前后向空间平滑算法与不变噪声子空间平滑算法。当信噪比达到0 dB时,本文算法成功率达到90%左右;信噪比达到4 dB时,本文算法成功率达到100%。

(2) 仿真采用3个等功率相干信号,入射角度分别为-60°、30°、45°。信噪比为0 dB,采样快拍数从128增加到2 560,采样快拍每隔128统计一次,进行100次独立实验(以下空间平滑类算法子阵数均为8)。该条件下三种算法的均方根误差(RMSE)对比如图4所示。

图4 等功率相干信号采样快拍数与RMSE的关系

可以看出,对于等功率相干信号角度相差较大时,本文算法均方根误差仍低于前后向空间平滑算法和不变噪声子空间算法。而且随着采样快拍数的增大,均方根误差越小。

仿真实验3本文算法对非等功率相干信号相邻角度分辨力及估计性能验证

(1) 仿真采用2个相干信号功率相差40 dB,强信号功率为30 dB,弱信号功率为-10 dB,入射角度分别为0°和2°。采样快拍数为1 024。该条件下本文算法的DOA估计仿真曲线如图5所示。

图5 非等功率相干信号DOA估计仿真曲线

可以看出,在相干信号功率相差40 dB,相邻角度相差2°时,本文算法能够成功地估计出强信号和弱信号的波达方向。

(2) 角度分辨力成功概率图。仿真采用2个相干信号功率相差40 dB,入射角度间隔从2°增加到15°,每隔1°统计一次。采样快拍数为1 024。进行100次独立实验,误差1°以内则认为成功估计。该条件下三种算法的成功率对比如图6所示。

图6 非等功率相干信号成功概率与角度间隔的关系

可以看出,在相干信号功率相差40 dB时,本文算法在角度相差2°时即可100%估计出波达方向,远优于前后向空间平滑算法及不变噪声子空间平滑算法。说明本文算法具有更强的分辨力。

(3) 仿真采用2个相干信号功率相差40 dB,入射角度分别为0°、10°。采样快拍数从128增加到2 560,采样快拍每隔128统计一次。进行100次独立实验,该条件下三种算法的RMSE对比如图7所示。

图7 非等功率相干信号采样快拍数与RMSE的关系

可以看出,在相干信号功率相差40 dB、角度相差10°时,相同条件下本文算法均方根误差明显低于其余三种算法。说明本文算法具有较高的DOA估计性能。

4 结 语

针对非等功率相干信号的波达方向估计,本文提出一种基于Toeplitz矩阵重构的不变噪声子空间算法,与空间平滑类算法相比,本文算法无阵列孔径损失,可估计相干信源数目增加至M-1个。对于等功率相干信号,与其他算法相比,本文算法减小了均方根误差,在低信噪比下增加了DOA估计的成功率。对于非等功率相干信号,本文算法可成功地估计出信号功率相差40 dB、相邻角度间隔为2°的波达方向。在非等功率相干信号功率相差40 dB、相邻角度间隔为10°时本文算法的均方根误差明显低于其他算法,具有更高的波达方向估计性能。