搭起函数学习的“脚手架”——代数推理

文／韩卫华

解决与函数有关的问题，常常是借助函数图像研究数量关系，代数推理恰好是以“形”助“数”的“脚手架”。加强代数推理学习，能够加深对函数知识的理解。下面以2022年中考试卷中部分试题为例，一起探讨函数学习中的代数推理能力的培养，供同学们参考。

一、通过函数表达式变形，建立数量关系进行运算推理

例1（2022·浙江杭州节选）设二次函数y1=2x2+bx+c（b、c是常数）的图像与x轴交于A、B两点。若函数y1的表达式可以写成y1=2（x-h）2-2（h是常数）的形式，求b+c的最小值。

【解析】化简y1=2（x-h）2-2，得y1=2x2-4hx+2h2-2，所以b=-4h，c=2h2-2。故b+c=2h2-4h-2=2（h-1）2-4，因此当h=1 时，b+c有最小值，最小值是-4。

【点评】本题考查了二次函数的两种不同表达式之间的转化，将顶点式化为一般式，分别得到b、c关于h的表达式，从而建立“b+c”与“h”之间的函数关系：b+c=2（h-1）2-4，它是关于h的二次函数，当h=1时，b+c有最小值，最小值是-4。

二、通过数形结合，建立数量关系进行运算推理

例2（2022·浙江湖州节选）如图1，已知四边形OABC是边长为3 的正方形，P是边BC上的一个动点，连接AP，过点P作PM⊥AP交OC于点M，当点P在BC上运动时，点M也随之运动。设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值。

图1

【解析】由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠C=90°。

所以Rt△ABP∽Rt△PCM。

【点评】本题综合考查了相似三角形的判定，可根据相似三角形对应边成比例，列出关于m、n的关系式，从而建立二次函数模型，求出其最大值。

三、通过函数新定义，建立数量关系进行运算推理

例3（2022·江苏泰州）定义：对于一次函数y1=ax+b、y2=cx+d，我们称函数y=m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”。

（1）若m=3、n=1，试判断函数y=5x+2是否为函数y1=x+1、y2=2x-1 的“组合函数”，并说明理由。

（2）设函数y1=x-p-2与y2=-x+3p的图像相交于点P。

①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；

②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图像经过点P。是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图形与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

【解析】（1）当m=3、n=1 时，3（x+1）+（2x-1）=3x+3+2x-1=5x+2，即y=5x+2=3（x+1）+（2x-1），所以函数y=5x+2 是函数y1=x+1、y2=2x-1的“组合函数”。

（2）①故点P的坐标为（2p+1，p-1）。因为y1、y2的“组合函数”为y=m（x-p-2）+n（-x+3p），所以当x=2p+1 时，y=m（2p+1-p-2）+n（-2p-1+3p）=（p-1）（m+n）。因为点P在函数y1、y2的“组合函数”图像的上方，所以p-1＞（p-1）（m+n），即（p-1）［1-（m+n）］＞0。由于m+n＞1，故1-（m+n）＜0，所以p-1＜0，因此p＜1。

（2）②函数y1、y2的“组合函数”y=m（xp-2）+n（-x+3p）图像经过点P，所以p-1=m（2p+1-p-2）+n（-2p-1+3p），得（p-1）（1-m-n）=0。因为p≠1，所以1-m-n=0，n=1-m。所以y=m（x-p-2）+n（-x+3p）=m（x-p-2）+（1-m）（-x+3p）=（2m-1）x+3p-（4p+2）m。令y=0，得（2m-1）x+3p-（4p+2）m=0，变形整理，得（3-4m）p+（2m-1）x-2m=0。故当3-4m=0，即。所以x=3。因此，当m=时，“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变，此时点Q的坐标为（3，0）。

【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义、函数图像上点坐标的特征、一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数”的定义。