用变分量子本征求解器研究量子拉比模型的基态问题

郝明星 高一波

摘 要 在用变分法求解量子系统基态问题的研究中，采用变分量子算法求解基态的研究受到广泛的关注，作为一种量子与经典混合算法的变分量子求解器在其中发挥了重要作用。本文在开源的量子计算模拟器上运行变分量子本征求解器对量子拉比模型在超强耦合区的基态进行了讨论。在3量子比特空间中，我们采用标准二进制编码方式将量子拉比模型中的算符和量子态进行编码，并且在哈密顿量变分拟设构造的量子电路上计算得到哈密顿量最小平均值（基态能量）。最后，通过将变分量子本征求解器的计算结果与经典数值模拟方法得到的精确值进行对比，我们讨论了变分量子本征求解器的计算精度与量子电路的消耗资源（量子比特数目）以及耦合强度之间的依赖关系。

关键词 量子拉比模型;变分量子本征求解器;量子计算模拟器

量子系统中的大部分物理现象的发生是由能级跃迁决定的，能谱的计算一直都是量子力学中的重要问题。通常情况下，在量子力学中求解能量本征值时，可以把量子系统的哈密顿量写成矩阵的形式，然后用解析方法或计算机数值模拟方法将矩阵对角化直接解出矩阵的特征值（能量本征值），從而可以计算各种物理量的平均值（期望值）和关联函数等。多数情况下用解析方法求解矩阵的本征值是一个复杂的问题，也可采用数值模拟的方法（Qutip[1]）在通常的经典计算机上完成。

1982年，理查德· 费曼（Richard Feynman）在《用计算机模拟物理学》一文中讨论用量子计算机模拟量子系统[2]时，首次提出了“量子计算机”，基于量子叠加态的量子计算机有不同于经典计算机的特点和特殊的优势。普通的经典计算机解决问题时需要执行“经典算法”，伴随量子计算机的发展也出现了“量子算法”。与经典计算机相比，1994年Peter Shor提出的大数因子化算法[3]和1996年Lov Grover提出的量子搜索算法[4]显示出超越经典计算机的量子优势，由此开拓了量子算法研究的广阔空间。近年来，量子算法已经在化学、金融和医学等领域进行了有效的探索和应用，涌现多种量子算法：如变分量子本征求解器[5]（Variational Quantum Eigensolver，以下简称VQE）、量子近似优化算法[6]（Quantum ApproximationOptimization Algorithm）、相干伊辛机[7]（Coherent Ising Machine）和量子退火算法[8]（Quantum annealing）等。实用量子计算机还没建造成功，量子算法的发展受到量子硬件缺乏的限制，使得量子算法只能在小型量子硬件和模拟器上进行检验和运行。目前，受到广泛关注的开源量子计算模拟器主要有Qiskit （IBM）、Cirq（Google）、Q# （Microsoft）、QPanda（本源量子）、Paddle Quantum（百度）和TensorCircuit（腾讯）等。本文使用Qiskit（Quantum information scienceKit）是由IBM 公司开发的开源量子软件开发SDK （Software Development Kit），科学研究人员可以在模拟器上执行量子算法的运算和检验。鉴于量子硬件的缺乏，量子算法中的优化过程只能在经典计算机上运行，从而催生出VQE等量子经典混合算法[9]。在量子化学的研究中，用VQE计算分子基态能量[10-13]是目前比较成功的应用之一。本文将在Qiskit的模拟器上运行VQE 求解量子拉比模型的基态问题。

1 VQE的工作流程

利用量子力学变分原理求得量子系统的最小本征值（基态能量），对于给定哈密顿量H 的量子系统，其基态能量E0 表示为

E0 ≤E θ =<ψ θ H ψ θ > （1）

其中，θ 通常代表一组参数{θi，i=0，1，2，…}，且满足归一化条件<ψ θ |ψ θ >=1。VQE的基本思想就是：在量子计算机上计算能量平均值，利用经典优化方法迭代优化参数θ 从而得到最小的使得能量平均值E θ ，此时的试探态波函数|ψ（θ）>就是变分法得到的基态波函数。本文利用的VQE 是一种量子经典混合算法，其能量平均值的计算在量子电路上进行，变分参数的迭代更新由经典优化器完成，最后由变分参数的最优值确定基态能量和基态波函数。

以求基态为例，VQE的工作流程如下：

第一步：编码。在计算表象（量子比特表象）中编码量子系统的量子态和算符以及哈密顿量;

第二步：选定一个变分拟设，对试探波函数（|ψ θ >=U（θ）|ψ0>）进行参数化处理，并构造对应的量子电路;

第三步：利用损失函数在量子电路上测量出能量平均值C（θ）=<ψ θ |H|ψ θ >;第四步：利用经典优化器迭代更新参数θ，重复第三步中的能量平均值的测量，直至找到最小能量平均值（基态能量）。

在由多个量子比特组成的量子电路上执行量子计算过程，首先要将量子系统的量子态和算符进行编码。用量子比特将量子系统的量子态和哈密顿量进行编码[14]有多种方法，常用编码方法主要有乔丹维格纳（Jordan-Wigner）变换[15]、宇称编码（parity encoding）[16]和布拉维基塔耶夫（Bravyi-Kitaev）变换[17，18]，重新编码后的哈密顿量形式上表示为

在上面的程序中，已经得到3光子量子光场当耦合强度g =0.6 时的基态能量的VQE 计算值。在此条件下，当耦合强度g取其他值时，VQE 计算值与Qutip 精确值之间存在差异（如图3 所示）。取耦合强度g=0.1（强耦合区）时，相对误差为0（VQE的计算值与Qutip的精确值相同），说明VQE的计算值的精度在强耦合区是足够的。当耦合强度 g>0.1（超强耦合区）时，相对误差随耦合强度的变化逐渐增大（计算精度下降，相对误差从0.00% 逐渐增大到4.44%）。这个结果表明，用于模拟量子光场的量子比特的数目取决于对计算精度的要求。如果要求计算精度大于99.9%（相对误差小于0.1%），此时对耦合强度的限制为g≤0.2。

3 結果的讨论

在上面的基态能量计算中，涉及两个问题：（1）经典优化器对计算结果的影响;（2）计算精度对量子光场截断光子数的限制。首先，我们讨论经典优化器对计算结果的影响。在Qiskit关于VQE 的计算中主要使用的经典优化器有CG、COBYLA、SLSQP和SPSA。在上面的代码中分别使用这几种优化器计算基态能量时，除了SPSA运行时间相对较长，其他几种优化器所得计算结果无明显差别。其次，计算精度对截断光子数空间维数的限制。在上述的讨论中，主要涉及2个参数：截断的光子数空间的最大光子数N 和耦合强度g。通常，量子拉比模型的研究是分区（强耦合、超强耦合和深强耦合）进行的，此时应用VQE计算基态能量需要的量子比特数目与光子数截断取值直接相关。在图4中，我们用Qutip计算的基态能量精确值来讨论光子数空间截断的维数与耦合强度之间的关系。图4中，耦合强度的取值范围是g∈ 0.1，2.0 ，三条曲线分别对应（从下往上）截断空间包含最大光子数N 分别为3光子、7光子和15光子的情况。当g<1.0时，三条曲线几乎重合，此时截断光子数取N =3基本可以满足计算精度的要求。随着耦合强度g 继续增大，7光子和15光子对应的两条曲线比较接近且与3光子对应的曲线间隔较大，此时3光子对应的计算精度较低。

4 结语

综合以上可知，VQE计算基态能量时：（1）在强耦合区（g<0.1）可以取最大截断光子数N =3;（2）在超强耦合区（0.1

参 考 文 献

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