悬链线理论在大弦倾角滑索设计计算中的应用

赵九峰

(1．河南省特种设备安全检测研究院,郑州 450000;2．航空经济发展河南省协同创新中心,郑州 450046)

0 引言

滑索源于瑞士,用于高山峡谷地区运输物品或者载人,现在很多景区都有滑索。滑索以安装在两个具有落差支点上的承载索(通常为钢丝绳)为轨道,以悬挂于承载索上的滑行小车为运行载体,乘客穿戴柔性吊具悬挂于滑行小车上,在重力作用下沿承载索从高支点滑至低支点[1]。滑索通常跨越在山谷、河流、湖面之上,因此其设计安全性非常重要[2]。

滑索属于安全监察的特种设备[3],国内有关人员对其做了大量研究。文献[4]研究了基于抛物线理论承载索张紧力的计算方法。文献[5]根据弦多边理论对滑索钢丝绳张力原理进行分析。以上研究都是基于抛物线理论,对于大弦倾角滑索,传统抛物线理论计算的误差较大[6],宜采用悬链线理论计算滑索的参数。

在小弦倾角滑索的设计中,可按抛物线理论分析计算,求解承载索的挠度、长度等参数,以解决滑索的安装问题。对于大弦倾角滑索的设计和安装,滑索的中央挠度、最低点的位置、索长等参数通常难以精确计算。为此,本文在滑索受力分析的基础上,根据力的平衡原理,将悬链线标准方程转化为滑索悬链线方程,并得出滑索安装参数的计算公式。结合实际,以跨度为315 m的滑索为例,在不同水平拉力下求解滑索安装参数并绘制线形图,结果表明,该计算方法可为大弦倾角滑索工程设计提供参考。

1 滑索组成及工作原理

滑索结构简图如图1所示。

图1 滑索结构示意图

滑索主要由滑索承载索、滑车(含滑行小车、滑行吊具)、上站支架、下站支架四部分组成[5]。其中承载索为滑索的主要受力部件,主要由连接上下支点的1根或者2根钢丝绳组成。承载索作为滑车滑行的轨道,滑车和乘客依靠自身的重力从上站滑行至下站,因此承载索连接的上下支点存在一定的落差[3]。

滑索设计需先进行安装参数的计算,因此,承载索作为滑索的重要组成部分之一,其选择是在滑索的弦倾角、水平跨度、无荷索长、中挠系数等安装参数确定后进行。

2 滑索安装参数

2.1 弦倾角

滑索两端固定点的连线为弦线,弦线与水平面之间的夹角为滑索弦线倾角,由下式确定

α=arctan(h/L)

(1)

式中:h为滑索上、下站点的落差;L为滑索上、下站点的水平跨度。

滑索的弦倾角一般在3°～10°之间,超过10°为大弦倾角滑索[7]。安装位置确定后,滑索弦倾角基本确定,只能通过上、下站点站台的高度进行微调。

2.2 无荷索长

无荷是指滑索安装时,承载索除了受到自身重力外,不受滑车和乘客的作用,此时滑索承载索在两个安装支点之间的曲线长度为无荷索长[8],用符号S表示。S是滑索设计和安装的重要参数。承载索是易损件,通常每6年更换一次。在设计时:S过短,承载索无法满足安装要求而报废;S过长,会造成浪费,增加建设成本。可见,S需准确计算。

2.3 中挠系数

滑索在空载状态下,承载索到弦线间的铅锤距离为挠度,跨中的挠度为中央挠度(l0),中央挠度与跨度的比值为中挠系数(f0)[9]。滑索安装过程中,通常用中挠系数来衡量滑索张紧程度[8]。

f0过大,承载索弯曲大,滑车运行过程中晃动较大,运行不平稳,且承载索磨损加快;f0过小,承载索的预紧张力大,承载能力降低。承载索的f0推荐值为0.03～0.05。对于大弦倾角滑索,可通过增大f0来降低滑车进站速度,但一般不大于0.10[10]。

3 承载索的数学模型

滑索理论主要有抛物线理论和悬链线理论,对于大弦倾角滑索,悬链线理论具有更高的计算精度[11]。为采用悬链线理论分析承载索的安装参数,需求解其对应的悬链线。

3.1 理论假设

悬链线是一条两端固定依靠自身重量自由下垂所形成的曲线[12]。为便于滑索悬链线方程的建立,对安装中的滑索做出如下假设[13]

(1)承载索是理想柔性体,其抗弯刚度在计算中忽略不计;

(2)承载索质量沿长度方向均匀分布;

(3)承载索只能承受轴向拉伸,不承受压力和弯曲作用。

3.2 悬链线方程的推导

以悬链的最低点为原点建立直角坐标系,垂直方向为y轴,则悬链线可用方程y=f(x)表示,图2所示为悬链坐标系和受力示意图。由图2可见,A点水平方向上承受向左的拉力H0。此外,图2中右侧C点为悬链悬挂点,在弧AC上任取一点B,则B点承受沿切线方向的拉力T,T和水平方向夹角为θ。

图2 悬链坐标系和受力示意图

设弧AB的弧长为s(x),悬链单位长度的重力为q,则竖直方向由于重力作用悬链线张力的垂直分力从最低处起逐渐增加,而水平方向上张力的水平分力处处相等[14]。

根据静力平衡原理有

竖直方向:

Tsinθ=qs(x)

(2)

水平方向:

Tcosθ=H0

(3)

由式(2)和(3)可得

(4)

由于tanθ为B点切线的斜率,即

y′=tanθ

(5)

有

(6)

对于弧AB,由弧长公式可得[15]

(7)

将式(6)代入式(7)有

(8)

对式(8)两边同时求导可得

(9)

整理得

(10)

对式(10)两边积分

(11)

可得

(12)

则

(13)

由双曲正弦函数和双曲余弦函数之间的求导积分关系,可得悬链线的方程为

(14)

则,悬链线方程为

(15)

可见,承载索的悬链线方程为双曲余弦函数。

3.3 悬链线方程

图3 滑索无荷线形示意图

悬链线方程为

(16)

式中,x0为悬链线最低点的横坐标。

3.4 悬链线最低点横坐标

如图3所示,可设A、B两点的坐标分别为(0,yA)、(L,yB),A、B两点为滑索的两个端点,则

(17a)

(17b)

由图示的几何关系有

yB-yA=Ltanα

(18)

将式(17a)和(17b)代入式(18)得

(19)

利用函数变换关系可得

(20)

求解得

(21)

3.5 无荷中挠系数

滑索悬链两端A、B直线中点的纵坐标

(22)

无荷中央挠度

(23)

无荷中挠系数

(24)

3.6 无荷索长

根据前述分析可得无荷索长为

(25)

4 实例计算

以水平跨度L=315 m的单线滑索为对象,滑索落差h为66 m,主承载索选用18 ZZA 6×19W+IWS线接触、交互捻钢芯镀锌钢丝绳,承载索单位长度重力q为12.25 N。根据工程经验,承载索安装设定的初始水平拉力H0=5 000、7 000和9 000 N。

由式(1)可得弦倾角

该滑索为大弦倾角滑索,采用悬链线理论计算滑索的安装参数。

由式(21)计算滑索最低点横坐标

74.88

由式(16)计算滑索的悬链线方程

408.16cosh(0.002 45x-0.183)

(0≤x≤315)

由式(17)计算滑索两端的纵坐标

则滑索的落差为65.80 m,与滑索的实际安装落差66.0 m吻合良好。

由式(22)计算滑索两端连直线中点的纵坐标

由式(23)计算滑索的无荷中央挠度

由式(24)计算滑索的无荷中挠系数

由式(25)计算滑索的无荷索长

329.50 m

同理,计算水平拉力H0为7 000 N和9 000 N时的安装参数。3种水平拉力下滑索的安装参数示于表1。

表1 滑索安装参数汇总表

由式(16)得

H0=7 000 N时,悬链线方程

y=571.43cosh(0.001 75x-0.070) (0≤x≤315)

H0=9 000 N时,悬链线方程

y=734.70cosh(0.001 36x-0.085) (0≤x≤315)

三种水平拉力下滑索的线形,如图4所示。

图4 三种水平拉力下滑索的线形

5 结论

针对大弦倾角的滑索设计,采用悬链线理论基于悬链线受力分析,得出滑索悬链线方程。以悬链线的标准线形为基础,建立滑索无荷线形的函数方程,进而得到滑索最低点横坐标、中央挠度、中挠系数和索长的计算公式。结合工程实例,分别计算分析得到三种不同水平拉力工况下大弦倾角滑索的安装参数,计算结果与实际吻合良好。该计算方法可为大弦倾角滑索的设计、制造、现场安装、调试提供参考和借鉴。