立体几何初步常见典型考题赏析

2023-04-25■何伟

中学生数理化·高一版 2023年4期

■何伟

立体几何中的概念、公理、定理是同学们需要掌握的核心知识。下面就空间几何体的结构特征、简单几何体的表面积与体积、空间点线面的位置关系,以及直线、平面的平行和垂直关系,进行举例分析,供同学们参考。

题型一：空间几何体的结构特征、表面积和体积

掌握空间几何体的结构特征,灵活运用几何体的表面积、体积公式是解答这类问题的关键。多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理;旋转体的表面积注意其侧面展开图的应用;求复杂几何体的体积常用割补法、等积法。

例1学生到工厂劳动实践,利用3D 打印技术制作模型,如图1,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm,3D 打印所用原料密度为0.9g/cm3。不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为_____g。12(cm3),所以该模型的体积为144-12=132(cm3),所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8(g)。

图1

跟踪训练1：如图2 所示,已知三棱柱ABC-A′B′C′,侧面B′BCC′的面积是S,点A′到侧面B′BCC′的距离是a,求三棱柱ABC-A′B′C′的体积。

图2

题型二：与球有关的切、接问题

与球相关问题的解题策略:作适当的截面(如轴截面等),对于球内接长方体或正方体,则截面一要过球心,二要过长方体或正方体的两条体对角线,才有利于解题;对于“内切”和“外接”问题,首先要弄清几何体之间的相互关系,主要是弄清特殊的点线面之间的关系,然后把相关的元素放到这些关系中来解决。

例2设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9 3,则三棱锥D-ABC体积的最

图3

设球的半径为r1。在Rt △CDE中,DE=2r1,CE=R-r,DC=R+r。

由勾股定理得4r21=(R+r)2-(Rr)2,解得r1=,故球的表面积S球=4πr21=4πRr。

(方法2)设球心为O,球的半径为r1。在Rt△AOB中,OF是斜边AB上的高。由相似三角形的性质得OF2=BF·AF=Rr,即r21=Rr,解得r1=。故球的表面积S球=4πRr。

题型三：空间角的计算问题

求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算,求空间角的计算步骤:一作,二证,三计算。求异面直线所成的角,常用平移转化法(即转化为相交直线的夹角);求直线与平面所成的角,常用射影转化法(即作垂线、找射影)。二面角的平面角的作法常有三种,即定义法,垂线法,垂面法。

例3如图4,在三棱台ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC。

图4

(1)证明:EF⊥DB。

(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值。

跟踪训练3：如图5 所示,已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,B′C∩BC′=O。

图5

求:(1)AO与A′C′所成角的大小。

(2)AO与平面ABCD所成角的正切值。

(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小。

题型四：平面的基本性质

点线确定平面的条件:由点确定平面,即三点不共线;由点和线确定平面,即点不在直线上;由线确定平面,即两条相交线、两条平行线。证明点或线共面的两种方法:由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后证其余的线(或点)在这个平面内;将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合。证明点共线的两种方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证明这些点都在同一条特定的直线上。证明线共点的方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点。

图6

跟踪训练4：如图7 所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点。

图7

求证:CE,D1F,DA三线共点。

提示：连接EF,CD1,A1B。由EF//CD1,EF＜CD1,可得CE与D1F必相交,设交点为P。由P∈CE,CE⊂平面ABCD,可得P∈平面ABCD。

同理可得,P∈平面ADD1A1。又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直线DA,所以CE,D1F,DA三线共点。

题型五：线面、面面平行关系的应用

根据两平行直线确定一个平面,可以证明共面问题,其实质是证明直线平行。线面平行的判定定理是由线线平行得到线面平行,性质定理是由线面平行得到线线平行,因此线线平行与线面平行可以相互转化,也体现了平面和空间平行关系的相互转化。关于平行条件的探究:根据面面平行的性质得出交线互相平行,从而可以确定交线的位置,进而作出交线,这是面面平行性质的典型应用;线面平行时,一是寻找与面内直线平行的直线,二是构造平行平面,那么平面内任意直线与另一个平面平行。

例5如图8,在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的平面是_____。

图8

解：取CD的中点E,则EM∶MA=1∶2,EN∶BN=1∶2,所以MN//AB。因为MN⊄平面ABD,MN⊄平面ABC,AB⊂平面ABD,AB⊂平面ABC,所以MN//平面ABD,MN//平面ABC。

跟踪训练5：如图9 所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1中点,点P在侧棱CC1上运动,当点P满足条件_____时,A1P//平面BCD。

图9

提示：取CC1的中点P。在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1中点,点P在侧棱CC1上运动,所以当点P是CC1的中点时,A1P//CD。因为A1P⊄平面BCD,CD⊂平面BCD,所以A1P//平面BCD。答案为点P是CC1的中点。

题型六：线面、面面垂直关系的应用

证明线面垂直的思路与方法:分析已知的垂直关系,得出能够推出的线线、线面垂直,即挖掘已知条件,以方便后续证明;证明垂直关系时往往需要采用逆向思维,如证明直线a垂直于平面α内直线b,可考虑证明直线b垂直于直线a所在的平面β;掌握线线、线面垂直的相互转化。证明面面垂直,只需证明线面垂直,即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,这是证明面面垂直的常用方法。定义法证明面面垂直:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路,垂直关系证明的核心是线面垂直,准确找到要证明的直线是关键,再利用线线垂直进行证明。

例6如图10所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a＞0),PA⊥平面ABCD,且PA=1。

图10

(1)若BC边上恰有一点Q,使得PQ⊥QD,则a的取值是____。

(2)若BC边上存在点Q,使得PQ⊥QD,则a的取值范围是____。

解：利用以AD为直径的圆与BC的关系解题。因为PA⊥平面ABCD,QD⊂平面ABCD,所以PA⊥QD。又因为PQ⊥QD,PA∩PQ=P,所以QD⊥平面PAQ,所以AQ⊥QD。

(1)当a=2时,以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q,此时∠AQD=90°,所以BC边上存在一点Q,使得PQ⊥QD。故所求a=2。

(2)当a＞2时,以AD为直径的圆与BC相交于点Q1,Q2,此时∠AQ1D=∠AQ2D=90°,故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2),使PQ⊥QD,所以a≥2,即a∈[2,+∞)。

跟踪训练6：如图11 所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD= 2,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A-BCD(如图12),使平面ABD⊥平面BCD,则下列说法中不正确的是( )。

图11

图12

A.平面ACD⊥平面ABD

C.平面ABC⊥平面ACD

D.AD⊥平面ABC

提示：对于A,因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BD⊥CD,所以CD⊥平面ABD,所以平面ACD⊥平面ABD,A 正确。对于B,CD⊥平面ABD,AB⊂平面ABD,所以AB⊥CD,B 正确。对于C,易得AB⊥AD,AB⊥CD,又AD∩CD=D,所以AB⊥平面ACD,所以平面ABC⊥平面ACD,C 正确。对于D,若AD⊥平面ABC,则AD⊥AC,这时与CD⊥AD矛盾,D 错误。应选D。

题型七：点到平面的距离问题

高考对立体几何的考查主要有两个方面,一是探究空间直线、平面的平行与垂直关系;二是与计算有关的综合性问题。点到平面的距离问题是高考的常考题型。

图13

题型八：探索性问题

对命题条件的探索常采用三种方法:先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明其充分性;把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件。对命题结论探索的常用方法:首先假设结论存在,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论,就肯定假设,如果得到了矛盾的结论,就否定假设。

例8如图14 所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中点,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,当平面D1BQ//平面PAO时,则点Q( )。

在回家的路上，我们又看到奇特的一幕。天空出现了微红的太阳。阳光洒在高速公路两旁的大树上，让那些秋叶更加金黄。我想，就用这秋叶代替那红罂粟，献给曾为国家民族做出过贡献的人们。于是，我口占一首七言绝句。诗云：