上局部保距变换半群的Green 关系①

龙伟芳，叶绪国，龙伟锋

（1.凯里学院，贵州 凯里 556011；2.贵州师范大学，贵州贵阳 550001）

半群作为上世纪50年代产生的一门新的代数学科，在计算机与信息科学的发展中起到重要的作用.因此，半群的研究受到各国数学家的关注，并投入了大量的精力从事这一领域的研究.在自动机理论、编码、密码理论、非线性动力系统和基因工程等新的应用背景刺激下，引起了更多学者的研究兴趣.而在半群代数的研究中，对半群结构和性质的研究则是重要内容之一，目前已经有很多研究成果［1-7］.

设E为Xn上的一个等价关系.对称逆半群In中保等价关系E的部分双射之集IE={α∈In:∀x,y∈domα,(x,y)∈E⇒(xα,yα)∈E}是In是一个子半群，称为Xn上保E的部分双射半群.令

PDIE={α∈IE: ∀x,y∈dom(α),(x,y)∈E⇒|xα-yα|=|x-y|}.

则PDIE是既保等价关系E，又在E类上保距的部分双射半群.

设E2为Xn（n≥5）上的双等价关系，即E2=(A×A)∪(B×B)∪ΔX，其中A，B是Xn是Xn的不相交的真子集，且|A|＞1，|B|＞1，ΔX={(x,x):x∈Xn}.

1 预备知识：相关定义与引理

设α∈In，记

Bα=(B∩dom(α))α，Bα-1=(B∩im(α))α-1，α#=(dom(α)(A∪B))α.记α|A=α|A∩dom为α限制在A∩dom上的映射.R关系和L关系不加特别说明时，表明是中的R关系和L关系.

定义1.设α，β∈若(im(α)∪dom(α))∩(im(β)∪dom(β))=∅，则α与β不交.不交的α与β的并α∪β定义为

定义2.设A，B为非单点E2类，称为正规的，如 果|A∩im(α)|≤1，且|B∩im(α)|≤1.否则称α为非正规的.

引理1.设B∈E2-类，且B∩dom(α)≠∅，α∈Bα必包含在某个E2类之中，因此，每个E2类的α的原象或为∅或为若干E2类子集的并.

文中未说明的符号与概念请参看Howie［8］.

2 主要结果与证明

定理1设A，B 为非单点E2类则(α,β)∈L的充分必要条件是im(α)=im(β)，且Aβ-1⊆E2-类，Bβ-1⊆E2-类.

证 明：“⇒”(α,β)∈L，则存在γ,使得α=γβ，β=δα，于是im(α)⊆im(β)，im(β)⊆im(α)，故im(α)=im(β).

同理可证α|A的值域为降序排列时.同理可证，Bβ-1⊆E2-类.

定理2设E是Xn上的一个等价关系，α，β∈PDIE.则((αα,,β))∈ℜ的充分必要条件是dom(α)=dom(β)，且∀x,y∈Xn，有

（1）(xα,yα)∈E当且仅当(xβ,yβ)∈E；

（2）当(xα,yα)∈E时，|xα-yα|=|xβ-yβ|.

证明：“必要性”若((αα,,β))∈∈ℜ，则有θ,γ∈PDIE使得α=βθ，β=αγ，从而有

dom(α)=dom(β)，im(α)=im(θ)，im(γ)=im(β).

而α，β，θ，γ都是双射，进而有dom(θ)=im(β)，dom(γ)=im(α).

若∀x,y∈Xn，有(xα,yα)∈E⇒(xβ,yβ)=(xαγ,yαγ)∈E⇒(xα,yα)=(xβθ,yβθ)∈E，则（1）成立.当(xα,yα)∈E时，|xα-yα|=|xαγ-yαγ|=|xβ-yβ|，则（2）成立.

“充分性”令θ=β-1α，则dom(θ)=[im(β-1)∩dom(α)]β=[dom(β)∩dom(α)]β=im(β).

对 于∀a,b∈dom(θ)，则 有x,y∈dom(β) 使得a=xβ，b=yβ.若(a,b)∈E，由（1），则(aθ,bθ)=((xβ)β-1α,(yβ)β-1α)=(xα,yα)∈E.所以，θ∈IE.而且，由（2）得 |aθ-bθ|=|(xβ)β-1α-(yβ)β-1α|=|xα-yα|=|xβ-yβ|=|a-b|.所以，θ∈PDIE，且α=βθ.

同理，令γ=α-1β，有γ∈PDIE，且β=αγ.所以(αα,,β))∈ℜ(.

定理3设α，β∈若(α,β)∈D，则|im(α)|=|im(β)|.

证明：若(α,β)∈D，则存在γ，使得αγ=β.于是，

定理4设α，β∈，若α，β都是正规的，则(α,β)∈D.