培养解题反思能力 发展数学核心素养——关于一类圆锥曲线定点问题的探讨*

刘宏英 (广东省惠州市第一中学 516001)

王海青 (惠州学院数学与统计学院 516007)

《普通高中课程标准(2017年版)》(以下简称《课标》)指出,高中数学的课程目标是使学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的“四基” “四能”,发展数学学科核心素养[1]8.课程目标的实现有赖于数学概念课与原理课的教学,而习题课与复习课的教学则是对数学概念课与原理课的延续,通过对相应题型的训练来巩固所学,深化理解.波利亚的著作《怎样解题——数学思维的新方法》[2]27-30中关于解题的四阶段理论,能为教师的解题教学提供有益指导,并帮助学生学会思考,促进学习的迁移.四阶段理论是指数学解题教学要通过有效的启发提问,引导学生经历“理解题目→拟定方案→执行方案→回顾”四个步骤,鼓励一题多解,并在多题一解的过程中将解题的思维过程显性化.下面以2020年全国I卷第20题为例,运用波利亚的解题理论,开展多轮循环上升、层层递进的深入探究,引导学生发现数学问题中的一般性规律,培养学生的解题反思能力,发展数学核心素养.

图1

(1)求椭圆E的方程;

(2)证明:直线CD过定点．

评析2019年、2020年、2022年的高考数学卷中都出现了直线与圆锥曲线相交背景下动直线过定点的问题.此类问题有助于学生理解圆锥曲线的几何特征,理解借助代数方法解决几何问题的算理和算法,巩固整体知识体系和思想方法,促进直观想象、逻辑推理、数学运算等素养向更高层次的水平发展.椭圆在圆锥曲线中处于基础性地位,因此这道题具有代表性.下面重点探讨第(2)问.

1 第一轮探究

本环节在明确研究对象及其问题、熟悉基本研究方法的基础上,通过启发学生优化运算方法来培养解题反思能力,发展逻辑推理和数学运算素养.

1.1 理解题目

提问:题目中有哪些研究对象?定量有哪些?变量有哪些?它们之间有什么关系?求解的目标是什么?

设计意图引导学生明确题目的关键信息:(1)研究对象——椭圆、直线、点;(2)定量——椭圆E以及左、右顶点A,B,直线x=6;(3)变量——直线x=6上的动点P,椭圆上的动点C,D;(4)点C,D分别是动直线PA,PB与椭圆E的交点;(5)要求解的目标是动直线CD过定点.

提问:将例题和你解决过的问题联系一下,能联想到哪些知识和方法?

设计意图引导学生回忆与本题相关的两个知识和方法:一是直线与椭圆相交问题的常规解法,即联立直线与椭圆的方程解出交点坐标;二是动直线过定点问题的常规解法,即写出含参数的直线方程y-y0=k(x-x0),从而判断出直线过定点(x0,y0).

1.2 拟定方案

提问:能否根据以上分析,借助思维导图的形式绘制出解法1(思路一)的基本解题过程?

设计意图引导学生明晰解题思路(图2),巩固直线与圆锥曲线相交问题和直线过定点问题的通性通法,提高对知识和方法的整体理解.

图2 解法1的思维导图

1.3 执行方案

提问:能根据解法1的思维导图写出详细的解答过程吗?

设计意图帮助学生巩固直线与圆锥曲线相交问题和直线过定点问题的通性通法中的运算步骤,发展数学运算和逻辑推理素养.

1.4 回顾

提问:回顾解法1的步骤,解答过程中有没有需要补充和改进的地方?

设计意图引导学生学会检查关键步骤,如:直线与椭圆联立后所得方程是否正确?直线方程斜率是否存在?确保推理和运算的准确性.

提问:解法1中最难的环节是什么?为什么?

设计意图“怎么算”是直线与圆锥曲线相交问题中一个普遍的难点,通过这个问题引导学生在通性通法的基础上,结合具体问题优化运算思路,树立从一般到特殊的意识.可启发学生从以下两个方向对解法进行优化.

(1)联立直线PA与椭圆的方程后,因为交点A的坐标是已知的,所以可以借助韦达定理求出点C的横坐标(解法2,思路如图3).

图3 解法2的思维导图

(2)采用设而不求的方法,不求出点C,D的坐标,直接得到含有参数t的直线CD的方程(解法3,思路如图4).

图4 解法3的思维导图

评析数学教育家弗赖登塔尔说过:“反思是数学思维活动的核心和动力.”波利亚也提出:“好的思路来源于过去的经验和以前获得的知识.”[2]7因此求解出问题的答案并不是解题教学的终点,而是一个新的起点.反思“怎么算?为什么这样算?”是提升学生逻辑推理素养的关键.数学运算作为一种特殊的逻辑推理——演绎推理,是解决数学问题的基本手段[3].通过设问引导学生反思解题过程,促使其在孤立的各个知识点间建立有机联系,构建牢固的知识方法体系.借助思维导图反思解题过程十分有效,通过比较不同方法的思维路线、计算策略,学生不断优化解题思路,理解算法算理,提高运算的准确性.

2 第二轮探究

本环节运用“从特殊到一般再到特殊”的思想改变例题中定直线的方程,探索例题中蕴含的“直线与椭圆相交背景下,一类动直线过定点”的规律,进一步培养解题反思能力,发展直观想象、逻辑推理和数学运算素养.

2.1 理解题目

提问:如果改变例题中定椭圆、定直线的方程,动直线CD还过定点吗?借助几何画板进行探究.

设计意图引导学生发现例题中动直线CD之所以过定点,是因为产生动直线的源头是定椭圆和定直线,进而启发学生思考:动直线CD所过的定点坐标与定椭圆和定直线有关.

2.2 拟定方案

提问:如果把例题中定椭圆、定直线的方程换成更一般的形式,你能得到什么结论?

2.3 执行方案

提问:回顾一下例题的不同解法,你能选择一种来证明你得到的结论吗?

设计意图巩固解决同一类问题的通性通法,发展更高层次的数学运算和逻辑推理素养.

2.4 回顾

提问:通过对例题中定椭圆、定直线方程的一般化,得到了一个关于椭圆的一般性结论.而椭圆的准线是一条特殊的直线,如果这条定直线恰好是椭圆的准线,那么直线CD所过的定点是什么?

设计意图引导学生运用例题中蕴含的一般性规律解决特殊问题,发现如果定直线是椭圆的准线,那么定点恰为与准线相对应的焦点.

3 第三轮探究

本环节运用“从特殊到特殊”的方法改变例题中圆锥曲线的类型,通过培养解题反思能力,探索圆和双曲线是否也具备与椭圆类似的结论,从而探索出例题中蕴含的圆锥曲线的一般性规律,由此进一步发展直观想象、逻辑推理和数学运算素养,夯实“四基”,提高“四能”.

提问:与例题中的椭圆类似,圆(圆心在原点)、双曲线(焦点在x轴上)也有左、右两个顶点,对于这两种圆锥曲线,是否也有类似于椭圆的上述结论呢?

设计意图培养学生提出问题和解决问题的能力,引导学生以椭圆为代表,猜想结论并加以证明.由此可以给出以下两个变式问题.

变式1 如图5,已知A,B分别为圆O:x2+y2=r2与x轴的两个交点．P为直线x=m上的动点,PA与圆O的另一交点为C,PB与圆O的另一交点为D．证明:直线CD过定点．

图5

变式2 如图6,已知A,B分别为双曲线M:

图6

评析第三轮探究旨在提高学生的数学抽象、直观想象、数学建模素养,深化对数形结合、函数方程、转化与化归等数学思想方法的理解.例题求解完成后设置开放性问题,启发学生对所解决的问题进行联系、分析、比较、猜想、论证,找出与例题相关的圆锥曲线的统一性规律,最终帮助学生构建出数学知识与数学思想方法融合的整体认知结构(图7).

图7

4 进一步思考

可以结合学生实际,启发学生在本节课的基础上继续新一轮的探究,培养学生的学习迁移意识和能力.

提问:通过改变圆锥曲线的类型,我们发现 圆和双曲线也具有和椭圆类似的性质.而抛物线也是圆锥曲线的一种,为什么它不具备这种性质呢?

设计意图引导学生认识到例题所体现的性质建立在圆锥曲线与其对称轴有两个交点的前提下,而抛物线与其对称轴只有一个交点,因此无法出现两个动点的连线.进而也启发学生,如果把与圆锥曲线有两个交点的直线(割线)变成只有一个交点的直线(切线),两个切点之间的连线是否会过定点?

探究练习2(教材选修2习题[4])“已知点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且直线AM与直线BM的斜率的差是2,求点M的轨迹方程.”仿照上面例题的探究过程进行解答,将条件“斜率的差”分别改为“斜率的和、积、商”,轨迹又是什么?

设计意图引导学生熟练运用“理解题目→拟定方案→执行方案→回顾”进行解题探究,促进学生的学习活动从知识、技能到数学思想方法的获得,再到核心素养的提升,真正学会学习.

5 小结

《课标》提出:“既要重视教,更要重视学,促进学生学会学习.”[1]83而波利亚《怎样解题——数学思维的新方法》的四阶段理论为数学教与学提供了一种研究数学问题的规范化路径,使学生理解数学问题是如何形成和发展的,以及数学中逻辑的连贯性和思想方法的一致性[5].运用波利亚的解题理论指导教师教学和学生解题,至少有利于学生掌握学习方法,启发学生运用多种推理方式发现和解决问题,培养学生的辩证思维能力和理性精神;有利于学生领悟数学本质,学生在步步深入、层层递进的探索中体验通性通法、特性特法的适用范围,在交流与反思中发现方法和规律的普适性,更好地理解问题中的数学结构与思想方法的本质;有利于学生发展高阶思维,学生在有指导的探究中经历由浅入深、由简单到复杂的思维过程,逐步构建和完善知识与方法体系,提升分析、评价和创造等高阶思维能力.