2022年北京大学强基数学测试第20题的探究

黄伟亮 (广东省佛山市南海区石门中学 528248)

1 试题

2 解答

这是2022年北京大学强基数学测试的第20题,下面给出一般性的解答．

证明由对称性可知,菱形的中心和椭圆的中心重合(图1)．

图1

3 探究

这是一道题干精炼、思维丰富的好题,能很好地考查学生综合运用知识的能力．笔者经过研究,将题目进行了以下的探索和推广．

当θ=0时,sin22θ有最小值0,此时m有最小值a2b2,S2有最大值4a2b2,此时菱形面积的最大值为2ab．

我们将椭圆改为双曲线,可得到如下结论:

证明由对称性可知,菱形的中心和双曲线的中心重合(图2)．

图2

令n=(b2cos2θ-a2sin2θ)(b2sin2θ-a2cos2θ),则n=(a4+b4)sin2θcos2θ-a2b2(sin4θ+cos4θ)=(a4+b4)sin2θcos2θ-a2b2(1-2sin2θcos2θ)=-a2b2+c4sin2θcos2θ=

证明 同结论3,可得

我们将椭圆改为抛物线,可得到如下结论．

结论5抛物线y2=2px(p>0)不存在内接菱形．

图3

若y2=y1,则x2=x1,点A与点B重合, 不合题意.若y2=y3,则x2=x3,点B与点C重合,不合题意.可见(*)式不能成立,所以假设抛物线y2=2px(p>0)存在内接菱形ABCD是 错误的,即抛物线y2=2px(p>0)不存在内接菱形．