灵活应用平行四边形的性质与判定

刘丹丹

沈阳市博才初级中学邵爱平老师的直播课《平行四边形性质与判定综合应用》选自辽宁教育学院“学到汇”公众服务平台“辽宁省初中数学学科周末名师公益课堂”，旨在贯彻落实国家“双减”政策，帮助广大师生自主学习和个性化提升。

邵爱平老师的直播课，从知识梳理、典型例题、变式训练、中考链接四个方面展开，帮助同学们结合图形理解、总结平行四边形的性质及判定方法，引导同学们多角度思考，发现最优方法. 平行四边形是初中数学“图形与几何”领域的重要图形之一. 它既是平行线、全等三角形等知识的后续应用，又是进一步理解特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的必要基础，为研究两条直线平行、线段相等及角相等提供了新的方法和依据.

典例探究

例 如图1，在▱ABCD中，以AB，CD为边在▱ABCD外侧作等边三角形AEB和等边三角形CFD.求证：四边形EBFD是平行四边形.

学法指导1：从边的角度证明平行四边形，兼顾边的数量和位置关系，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”求证结论.

证法1：如图2，连接ED，BF，BD，BD与EF交于点O，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB = CD，AB[⫽]CD，∴∠ABD = ∠CDB.

∵△AEB，△CFD均为等边三角形，

∴BE = AB = CD = DF，∠EBA = ∠CDF = 60°，

∴∠ABD + ∠EBA = ∠CDB + ∠CDF，即∠EBO = ∠FDO，

∴BE[⫽]DF.

∵BE[⫽]DF，BE = DF，∴四边形EBFD是平行四边形.

学法指导2：从边的角度证明平行四边形，如果只考虑边的数量关系，需要根据“两组对边分别相等”求证结论.

证法2：如图3，设AB，CD与EF分别交于点G，H，连接ED，BF，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB[⫽]CD，AB = CD，∴∠AGH = ∠CHG.

∵∠BGE = ∠AGH，∠DHF = ∠CHG，

∴∠BGE = ∠DHF.

∵△AEB，△CFD均為等边三角形，

∴BE = AB = CD = DF，∠EBA = ∠CDF = 60°.

∵∠BEG = 180° - ∠EBA - ∠BGE，∠DFH = 180° - ∠CDF - ∠DHF，

∴∠BEG = ∠DFH，∴BE[⫽]DF.

∵BE = DF，∴四边形EBFD是平行四边形.

学法指导3：从边的角度证明平行四边形，如果只考虑边的位置关系，需要根据“两组对边分别平行”来证明.

证法3：连接DE，BF，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD = BC，AD[⫽]BC，∠BAD = ∠BCD.

∵△AEB，△CFD均为等边三角形，

∴BE = AE = AB = CD = CF = DF，∠EAB = ∠DCF = 60°.

∵∠EAD = 360° - ∠EAB - ∠BAD，∠FCB = 360° - ∠DCF - ∠BCD，

∴∠EAD = ∠FCB.

∵AE = CF，AD = BC，∴△ADE ≌ △CBF，∴DE = BF.

∵BE = DF，DE = BF，∴四边形EBFD是平行四边形.

学法指导4：从特殊线的角度证明平行四边形，需要根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明.

思考：你能类比上面的推理思路和过程，得到其他证法吗？你认为哪种证明思路更简捷？

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：4分钟

四边形ABCD为平行四边形，连接AC，点E，F在AC上，且AE = CF，求证：四边形DEBF为平行四边形.（请同学们从多角度思考，答案略）

〔作者单位：辽宁省实验中学（初中部）〕