数学结构化教学探索——以“图形与几何”领域的教学为例

江苏省镇江市润州区教师发展中心 高欣雅

新课标指出，课程目标的确定，立足学生核心素养的发展，集中体现数学课程的育人价值。课程内容的设计，要体现结构化特征，增强内容与育人目标之间的联系。立足学科育人的数学结构化教学，需要对教学目标、内容、方法等进行重新审视与实施，实现知识结构化、过程结构化以及学生思维的结构化，最终实现数学学科的育人价值。

一、梳理与整合：构建结构化数学知识网络

数学学科的知识结构是一个完整的、纵横连接的网状结构。美国心理学家布鲁纳对结构的重要性有过论述：一门学科的课程应该决定于对能达到的给那门学科以结构的根本原理的最基本的理解。获得的知识，如果没有完满的结构把它们连在一起，那是一种多半会被遗忘的知识。而现行的数学教材根据学生的认识水平和规律，将完整的知识结构拆散、碎片化，以单元的形式进行呈现。学生需要在头脑中将一课时一课时的学习内容串联起来，形成自己的数学认知结构。但无疑，这对学生来说是相对困难的，需要教师的有效引导。

（一）单元“结构化”：以“知识联结”为纽带

单元是教材的独立内容篇章。所谓“单元教学‘结构化’”，是指从整体性视角出发，对单元范围内知识的组成结构和内在关联进行审视分析，探寻整体和部分的联系，重新整合教材，按照新的结构体系展开教学实践。

苏教版数学四年级下册“三角形、平行四边形和梯形”这一单元中的第8课时“平行四边形的认识”和第9课时“梯形的认识”，这两个课时的教学内容联系密切，教学过程基本一致，都是从学生已有知识和经验出发，选取生活中常见的事物为素材，先引导学生在现实场景中找出平行四边形和梯形，再通过观察、操作、比较、抽象等一系列活动认识平行四边形和梯形的特征。但这样的课时教学并不能凸显概念间的联系与区别，不利于学生对图形特征进行整体感知。因此，教学这两个课时时，教师可以尝试进行整合。在授课的开始环节，教师可以为学生提供形状、大小不一样的若干个四边形（包括正方形、长方形、平行四边形、梯形及不规则四边形），引导学生进行观察、辨析，将这些四边形进行分类，在比较和分类中整体感知图形的特征。接着，回忆之前研究长方形和正方形特征的一般方法，教师可以组织学生从边和角两方面继续研究平行四边形和梯形，并探究它们的相同点和不同点，使学生在交流、操作中抽象概括出图形的特征。最后，在概念理解的基础上，学生自己画出两种图形，并对不同作品进行比较、辨析，更深层次地把握图形的特征。

这样深入知识内部，以“知识关联”为纽带，从整体把握数学知识，使学生的学习认识从“碎”到“整”、由“表”及“里”，从而形成结构化的知识。

（二）模块“结构化”，以“多元化整合”为载体

模块是在若干单元基础上形成的独立知识系统。模块的结构化教学与单元的结构化教学的不同之处在于，前者需要对整套教材进行全面分析，根据知识关联度及学生认知水平，对单元和课时进行重新规划，确定新的单元教学内容及目标。

“图形与几何”领域的模块主要有平面图形的认识、立体图形的认识、平面图形的度量、立体图形的度量、图形的运动、图形与位置等内容。

以“平面图形的认识”这一模块为例，苏教版数学教材对这一模块学习内容的单元设置是螺旋式上升的。这样的教材编排符合学生的认识心理，减轻了学生的学习负担，但并不利于学生进行知识间的自主关联学习。因此，教师需要从结构化视角整体把握，根据知识的内在结构与发展路径进行多元化整合。比如，在五年级学习“平面图形的认识”这一模块的内容后，教师可以给学生布置一个整合性的学习任务：“我们已经学习了这么多的平面图形，它们之间有怎样的关系？请你用画图的方式表示。”学生可以按照边的关系将三角形、四边形进行分类和关联，以此进一步理解概念的本质及其相互关系，也可以依据面积计算公式的推导思路和转化方法画出思维导图，更深层次体会转化、几何变换（图形的运动）、极限思想等数学思想方法，还可以从面积公式之间的关系展开思考，发掘其本质。

（三）领域“结构化”，以“思想方法”为核心

领域是在若干模块基础上形成的独立知识系统。对于领域的结构化教学，不仅是对所学知识的简单的结构化，还强调运用数学思想方法，对知识更深入、更全面的结构化，促进学生更深层次地理解知识间的关联。

“图形与几何”领域主要有图形的认识（包括平面与立体图形的概念、性质、关系、结构）、图形的度量（包括角度、长度、面积、体积）等。

以“图形的认识”这一领域的教学为例，教师不仅仅是教学一个个孤立的概念，而是从整体出发，对平面图形和立体图形的概念、性质及其关系进行关联，包括体与体的关系、面与面的关系、体与面的关系等。例如，教学六年级下册“圆柱和圆锥的认识”时，教师教给学生的不仅是圆柱和圆锥特征的认识，还要利用图形的运动体验立体图形的形成过程，构建学生的空间意识。教师要引导学生经历“点动成线→线动成面→面动成体”的过程，使学生在观察、操作、想象等一系列活动中明确点是形成线的基本要素，线是面的基本构成要素，面是体的基本构成要素，体是由线和面构成的，明晰几何图形从一维空间到二维空间再到三维空间的形成过程，更深层次体会平面图形与立体图形之间的关系，发展空间观念。

二、内化与迁移：实现结构化数学学习过程

数学结构化教学不仅是静态的知识结构化，还是动态的学生学习过程的结构化。学习过程的结构化是指学生在学习过程中所形成的特定程序或步骤。学习过程的结构化主要包含两方面的内容：一是数学学习方法的结构化；二是知识探究过程的结构化。实现学习过程结构化，学生就能自己在学习中进行有效迁移，完成新知识的建构。

（一）“自主关联”和“类比”，促学习方法结构化

数学结构化教学总体上主张将学生的自主学习、合作学习、探究学习与教师的有意义讲授相结合，达到一种相对平衡的状态。其中，学生的自主学习与合作探究应为主要学习方式。

结构化教学强调学生新旧知识间的自主关联，即在遇到新知识时或需要解决的问题时，能够自主联想到相关的条件，唤醒既有的认知结构，找出进行运算和推理所需要的前提条件；或者根据给定的条件能够进行推理和运算，直到解决问题为止。在结构化教学中，教师还要引导学生学会用类比的思想研究问题，找出具有共性的知识点进行对比分析，经历类比的过程。学生在自主关联、类比、比较中，实现新旧知识间的转化，达到举一反三、触类旁通的目的，充实原有认知结构，架构新的知识结构，提高思维品质。

例如，在教学“圆的面积”时，教师首先引导学生回忆之前推导平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的过程，都是通过转化为学过的图形来推导，这样就唤醒了学生的既有认知，启发了学生继续用转化的思想探究圆的面积计算公式。接着，学生动手操作、合作探究、验证猜想、获得结论。最后，教师带领学生回顾本节课的整个探究过程，提炼研究方法和步骤，即找联系—猜想—验证—获得结论，促进学习方法的结构化。

（二）“连续”和“循环”，促探究过程结构化

对于数学结构化教学，课堂中的每一个环节都应具有结构性，每一个小结构之间紧密联系，构成了整节课的大结构。数学结构化教学至少应包含以下三个大环节。

环节一：追本溯源，建立联系。美国心理学家奥苏贝尔倡导建构主义学习思想，他认为学生是否能够进行有意义的学习取决于两个条件：一是学生是否愿意将新的学习内容与已有的认知建立联系；二是已有的认识结构与新的知识内容是否存在内在的联系。学生学习新知识的过程，实质就是对新知识的顺应与同化。因此，教师在设计教学活动时，首先要准确把握学生的学习起点。这里的学习起点，既包含学生的现实经验起点，也包含学生的逻辑经验起点，也就是学生已经具备的知识基础和生活经验。接着，解读知识的基本元素，在各元素间进行有机联结，将原先分散、孤立的知识串联成一个连续的知识体系，并纳入学生原有的认识结构中，形成新的知识网络和认知结构。最后，在形成新的知识体系和认知结构的基础上，确立结构化的教学目标。教学目标要体现结构的整体性，重点要关注数学思想方法的渗透和基本活动经验的积累，要尊重学生的差异性。

环节二：突出关联，整体架构。在探究过程中，结构化教学强调“整体关联”。这里的关联是指知识间的横向关联、纵向关联、文本教材与学生现实生活经验的关联、个人经验之间的关联等。教师在确立结构化教学目标后，需要站在学科结构和单元主题结构的高度，用结构化的方法对教材内容进行加工和重组，找出知识结构的点、线、面、体，突出知识间相互联系的主干线，使学生在自主学习、合作探究中丰富知识经验，形成自己的稳固的知识结构体系。在知识结构化的铸造过程中，教师还要注重思维和方法的关联，引导学生采用逻辑推理、数学抽象、建模等数学思想方法，搭建新旧知识间的桥梁，形成结构化的思维和方法。另外，教师在组织课堂活动时，要充分尊重学生的认知结构和思维特点，调动学生多种感官协调运作，促进学生的自主建构。教师只有将知识、思维和活动彼此关联，使课堂教学各要素之间建立起密切联系，才能真正实现结构化的教学。

环节三：前连后延，实现循环。这一环节是指对知识的回顾与反思，也包含对知识背景（如数学思想、文化）的渗透和对后续知识的孕伏等。练习的设计，要体现层次性、结构性特点，做到前后连贯、环环相扣，引导学生逐步内化知识，掌握数学学习方法，构建知识模型和方法结构，逐步形成完整的认知结构。总结提升时，教师要引导学生回顾本节课的探究过程和重点知识，根据知识间的内在联系进行归类，对学习方法进行提炼，对学习过程（学习的主动性、思维的灵活性和开放性等）进行评价。同时，教师还要注重本课内容的延伸。教师要鼓励学生质疑，如“根据本节课的学习，你还能提出什么新问题”，在质疑中促延伸。延伸可以是关于新知识的探寻、数学文化的渗透，也可以是方法多样性的进一步探究等。通过这一环节，学生所形成的新的认识，不仅是知识本身，还包含由知识学习生发的情感和价值体验，形成一个良性循环系统。在这个循环中，学生应用所学知识去解决问题，对知识进行归纳和整理，对思想方法进行提炼与内化，对数学文化与内涵进行更深入的体会，实现知识的循环、活动的循环和思维的循环。

三、跨越和提升：形成结构化思维品质

“结构化思维”起源于管理学，是指在思考问题时，以事物的结构为思考对象，来引导思维、表达和解决问题的一种思考方法。结构化思维能够帮助我们形成快速有效地处理信息的思维方式，简化思考过程，从而提升效率。将结构化思维迁移到数学学习中，可以看成学生解决问题的一种思维方式和思考习惯。数学教学不仅是知识的教学，还是数学思想方法的教学、学生思维的教学。结构化思维帮助学生在面对问题时，从多角度进行思考，用系统性、结构化、整体性思维找出解决问题的方案，进而顺利解决问题。结构化思维的培养需要教师用整体化、结构化的思想组织教学活动，引导学生将数学学科的知识结构转换成完整的认知结构。接下来，笔者以“图形和几何”领域的教学为例，分析学生结构化思维培育的有效路径。

（一）绘制思维导图，促进学生思维结构化

思维导图是一种表达发散性思维的图形思维工具。思维导图将存在思维联系的思维触点连接起来，形成严密的、通达的思维网络，将人们的思维形象化，具有很强的逻辑性和发散性。在数学教学中，教师引导学生自主设计、独立思考、自主罗列，绘制思维导图，形成清晰的思维脉络，有助于学生学科知识内容的自我完善，有助于学生联想能力和发散性思维的培养、认知结构的整体构建，从而促进学生的思维结构化。思维导图可以是某一核心概念与其他一些概念相关联的微型思维导图，也可以是对一节课教学过程的回顾反思，还可以是一个单元、一个模块或一个领域的思维导图。

例如，在“三角形、平行四边形和梯形”这个单元的教学中，学生可以根据学过的平面图形绘制出思维导图。在复习“图形的测量”这一领域的知识时，教师可以引导学生根据测量的对象（长度、角度、面积、体积）进行分类，回顾所学知识，绘制思维导图。

（二）培养推理意识，促进学生思维结构化

推理意识主要指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。推理是人们在日常生活中经常使用的一种思维方式，也是数学学习的基本思维方式。推理一般包括归纳、类比、演绎等形式。小学阶段重点强调合情推理能力的培养，使学生能够将新知识和新问题与既有经验进行关联，通过归纳、类比，实现知识与方法的正迁移，促进知识结构和方法结构的整体构建，促进学生思维结构化。

例如，在教学“三角形的三边关系”这一课时，教师引导学生根据要求从四根小棒中任意选择三根尝试围三角形。学生在观察和交流中初步发现，只有当三根小棒中任意两根的长度之和小于第三根时，才能围成三角形，因此提出猜想，围成的三角形的三根小棒，任意两边之和大于第三边，再通过观察、实验、比较等，验证猜想，得出结论。这一系列活动，发展了学生合情推理的能力。

（三）发展空间观念，促进学生思维结构化

空间观念是小学阶段核心素养的主要表现之一，主要指对图形或空间物体的形状、大小及位置关系的感悟。空间观念有助于学生理解现实生活中空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础。空间观念的建构，有助于学生感受平面图形与立体图形之间的关系，感受几何图形从一维空间到二维空间，再到三维空间的形成过程，有助于学生想象思维和抽象能力的提升，是促进学生思维结构化的有效途径。

例如，在教学 “长方体和正方体的认识”这一课时，在学生通过观察、操作比较等一系列活动得出长方体特征后，教师进行质疑追问：“长方体每个面都有4个顶点和4条棱，长方体共有6个面，那不是应该有24个顶点和24条棱吗？”这样的追问，使学生进一步思考几何图形各要素之间的关系，沟通了二维图形和三维图形之间的联系，发展了空间观念，有效促进了学生思维的结构化。

（四）培育量感，促进学生思维结构化

量感是对事物可测量属性及其大小关系的直观感知。建立量感，培养度量意识，有助于学生用定量的方法分析和解决问题，有助于学生用“联系”的方式看待问题，促进学生深度思考，促进学生思维的结构化。

“周长、面积和体积”是“图形与几何”领域的重要学习内容，也是学生学习的难点。这些内容的教学虽然分设在不同年级，但它们的本质属性相同，其内在结构具有高度的关联性。复习时，教师需要引导学生从知识建构的整体视角进行关联，发展结构化思维。教学中，教师要帮助学生在周、面、体中架构结构关系，帮助学生准确把握度量的定义，理解度量的本质。长度（周长）是对一维图形大小的度量；面积是对二维图形大小的度量，是指物体表面或围成的平面图形的大小；体积是对三维图形大小的度量，是指物体所占空间的大小，它们的本质都是度量。同时，它们在构成要素上具有内在的逻辑性：一维的长度是二维的面积的构成要素，一维的长度和二维的面积是三维体积的构成要素。教学中，教师还要关注学生对思想方法的整体感知和迁移运用。

数学结构化教学，将教学从点状向结构化转变，使学生在整体上感知数学知识的关联性、系统性、结构性，形成结构化的思想和结构化的解决问题的方法，形成整体性、关联性的结构化思维，从而真正提高学生的综合素养，实现学科育人的目标。