体会数学思想，感悟数学内涵

刘铃

摘 要：数学是我国基础教育体系中的重要学科，初中阶段的数学在其中起到了衔接和承上启下的作用.在教学时，教师不仅要帮助学生掌握基础知识和解题技巧，更要立足于数学文化、数学思想，促进学生数学思维的发展.“数”与“形”是数学课程体系中的两个关键要素，二者就像基因的双螺旋结构中的两条基因链，应当是合为一体、缺一不可的.借助数形结合思想开展初中数学教学，可以帮助学生发散思维，提高课堂教学质量，也可以使学生对数学知识产生浓厚的兴趣和探究热情.本文就数形结合思想在初中数学课堂上渗透的优势和实践策略进行分析与研究.

关键词：初中；数学；数形结合思想

初中阶段的数学知识基础性较强，且对学生的思维能力要求较高，而利用数形结合思想，可以将分散的数字与连续的图形建立联系，降低数学知识的逻辑性和抽象性.初中生的固有观念认为数字和图形应当是独立存在的，在学习数学知识时缺乏将二者有效融合的意识，导致在学习过程中会遇到各种各样的问题.围绕数形结合思想开展初中数学教学可以向学生展示数学知识的灵动性、直观性，减轻学生的学习压力和负担.这就要求教师在课堂上深入研究数学知识点的核心内涵，借助数形结合思想，促进学生数学综合能力的提升，使学生将数形结合思想作为解决几何问题、代数问题、函数问题的重要工具.

1 初中数学教学难点

在如今的初中数学课堂上，大部分教师的主要目标就是让学生获取更多的知识，可以在面对考试时游刃有余，但却忽略了数学学科对学生能力的培养作用.初中阶段的数学知识具有较强的抽象性，且各个知识点之间的联系紧密，对学生的思维能力、学习能力要求较高.学生要通过这一阶段数学知识的学习掌握归纳、演绎、类比等问题推理的方法，具备将现实问题转化为数学问题的能力.但由于初中生受年龄和生活经验的限制，在学习时经常存在思维缺陷，导致数学能力总是得不到提升.这就需要教师转换传统的教学模式，注重数学思想的渗透，带领学生感悟数学内涵，体会数学本质.

初中生正处于形象思维向抽象思维转变的关键时期，绝大多数的学生面对概念性知识首先想到的是死记硬背，而不是灵活应用.但学生面对的数学问题又不止有一种形态，这就会导致学生在解题时受限于自身的抽象性思维和概括性思维，难以实现知识的深入记忆和灵活应用.数学学科的根本是研究数量结构变化、空间以及信息等概念，其作为我国教育体系中的重要内容，与其他学科相比，有着较强的独特性.数学有其独特的语言和思维模式，学生若想解决数学问题，必须要具备逻辑思维.这就需要初中数学教师完善教学计划，构建完整的知识网络，建立各知识点、概念、法则、公式、定理之间的内在联系，让学生能够主动建立知识架构.

2 数形结合思想在初中数学课堂渗透的优势

2.1 激发学习兴趣

“数”与“形”是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化.而初中数学课程体系内研究的主要对象也是“数”与“形”，建立二者之间的联系可以称之为数形结合.其作为一种较为古老的数学思想，能够保证“数”与“形”这两个关键因素的灵活转换.借助“数”的精确性，阐明“形”的某些屬性，或借助“形”的直观性，阐明“数”的某种关系，实现以数解形，以形助数.

围绕数形结合思想开展初中数学教学，可以将知识直观地呈现在课堂上，也能使整体教学模式更符合学生的思维认知规律.在数形结合渗透的过程中，学生会产生更浓厚的学习兴趣，也能逐渐建立学习数学的信心.大多数初中生在解决问题时无法灵活应用数形结合思想，就会使自身陷入复杂的计算与推理过程，极大程度上影响解题效率和正确率，也会限制初中生数学思想的发展.而在渗透了数形结合思想的课堂上，通过教师的引导，不仅可以改变原本数学知识的枯燥乏味，使学生面对数学问题有浓厚的兴趣，也能让学生把握数学问题的本质与内涵，在直观形象的认知中理解知识、体会知识、应用知识.

2.2 促进思维发散

数字与图形可以实现灵活转化，在初中数学课堂上，教师要侧重于培养学生的发散性思维，让学生能够实现思维的顺利转化，在解决问题时不再受限于自身的思维水平和数学能力.初中数学知识对学生的思维能力要求较高，而初中生又处于思维发展的敏感时期，借助数形结合思想，可以促进学生的思维发展.有的初中生逻辑思维较强，所以在面对代数知识时可以游刃有余，但当这类学生面对图形问题时，即便问题比较简单，也无法寻找到具体的规律.

在数形结合思想的指导下，学生可以给图形赋值，如标注图形的边长、角度等内容，结合抽象的数学语言和直观的图形，强化数学思维.在面对数学问题时，学生往往需要通过理解、设想、提问、验证等多个环节，才能获得答案.但这些环节对学生的数学思维要求较高，为了保证初中数学课堂满足学生的兴趣需要和实际发展需要，教师要以数学知识为媒介，渗透数学思想和数学文化，让学生可以在学习过程中模仿数学思维.面对实际问题时也可以将问题转变为数学问题，用自己获得的知识顺利解决，使学生获得成功的体验，逐渐树立学习信心.

2.3 提高教学质量

身为一线教师，一生的工作都致力于如何提高课堂教学质量.绝大多数初中生面对数学知识都会表现得意兴阑珊，这也为教师的教学过程带来负面影响.有的教师虽有着丰富的教学经验，但是在课堂上面对学生空洞、茫然的眼神，却无从施展.为此，初中数学教师若想从根本上提高课堂效率与质量，首要任务就是要保证学生对数学知识有浓厚的兴趣.初中数学知识体系的两大关键要素就是数字、图形，借助这两项内容可以扩宽学生的理性思维，使学生面对抽象的数学知识时不再有压力和负担.教师要积极在教学中渗透数形结合思想，提高课堂教学的实效性.数形结合主要是让人类视觉中枢参与解决问题的过程，而视觉中枢能进行并行运算，所以打造数形结合课堂可以从根本上提升教学质量.

数学世界是丰富且精彩的，虽然一切知识体系都是围绕“数”与“形”这两个基本概念提出的，但为了体现二者的对立性和统一性，经常会存在各个知识点联合出现的情况.数量关系可以通过几何图形做出直观的反映与描述，而数形结合思想更能体现问题的直观性，让学生在学习的过程中把握数学问题本质，逐渐建立逻辑思维.

3 数形结合思想在初中数学课堂渗透的实践策略

3.1 数形结合思想在几何知识中的应用

在初中数学课程体系内，“数”与“形”往往是对立存在的，但实现二者的有效结合，可以提高课堂教学效率，加强学生对知识的认知与理解.不少学生由于缺乏直观想象能力，面对几何知识时会产生畏难心理，而由于教师本身不够关注数形结合思想的渗透，导致学生的几何知识学习效率低下.为此，在具体教学过程中，教师要将数形结合思想的本质与内涵呈现在课堂上，引导学生主动进行“数”与“形”的转化.使学生可以借助数量关系，解决图形问题.

例如：在学习“特殊角的三角函数”相关知识时，可以选择“以形变数”的解题思想方法，使学生可以面对图形问题，迅速关联数量关系.

例题 在△ABC中，∠C=60°，∠A=45°，AB=5，BC=3，求AC的长度.

面对这一习题，学生要先将题目中的已知条件呈现在△ABC内，思考30°、45°、60°相关的三角函数值.结合三角函数的概念以及内在联系，将图形转化为三角函数的计算公式.并且在画图过程中考虑到三角形可能的形状而进行分类讨论.在这样的解题过程中，能够使学生熟练地应用以数解形的解题模式，培养学生的数学思想和数学感知能力.

3.2 数形结合思想在代数知识中的应用

数学教学的主要目的是让学生以数学的眼光看待现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.在初中数学课堂上，教师要保证数形结合思想的呈现方式科学合理，要让学生在建构“数”与“形”的关系的同时，寻找解决数学问题的办法.绝大多数初中生面对代数知识时都难以理解，因为这一部分的知识对学生的逻辑推理能力要求较高，而利用数形结合思想，则可以减轻学生的学习压力.解决初中阶段的代数问题，可以运用反证法、归纳法、配方法等，这也是教师的课堂教学主要内容，但这种解题模式对学生的思维能力培养效果并不理想.因此，教师要注重数形结合思想的渗透，使学生在面对问题时可自觉分析数学概念与数学知识应用的联系，促进初中生理性思维的建立.

例如：在学习“乘法公式”相关知识时，大部分学生虽然能够正确计算，但是并不能理解乘法公式的基本内涵.这时，教师就可以利用数形结合的方法，将整个解题过程直观地展示给学生.以（a+b）2为例，可以先画一个正方形，使其边长为a+b，再将正方形分割成两个边长分别为a和b的小正方形，以及两个长与宽分别a和b的矩形，利用这种数形结合的方式，可以让学生面对数字问题时快速联想图象，以直观的图象解决抽象的问题，从而提高学生的计算能力，加强其对完全平方公式的理解.

3.3 数形结合思想在函数知识中的应用

对于初中生而言，函数是数学学习过程中的第一大难点，但是函数模块也是整个数学课程体系的重点内容.函数相关知识复杂多变，涉及的知识点比较零散，数量较多，这就会使得学生在面对函数问题时遇到各种各样的阻碍，甚至绝大多数的学生认为数学知识难的想法都是基于函数知识引发的.初中阶段的函数知识更具基础性，且对学生的思维能力要求不是很高，如果学生将函数视为最强大的对手，那么教师就要将数形结合思想，变为学生对抗对手的武器.函数知识有独特的表达式和图象，学生在学习时也可以借助图象分析函数性质.教师要引导学生主动利用数形结合思想，建立函数表达式与图象的联系，减轻学生面对函数知识时的恐惧心理.

例如：某小区安装圆形喷泉水系，要在水系中心安装垂直的圆柱，圆柱的位置为点P，点O处于水面的中心处，与点P距离为1.25米，由P点向四方喷水，水流的喷射方向呈抛物线状态.为了保证水系的美观性，设计师将方案设计为水流在距离OP为1米的地方达到最大高度2.25米，求水池的半径至少为多少时，喷泉中的水才不会喷出水系区域？

这是较为经典的以抛物线为核心的函数应用题，为了解决这一问题，首先要分析题目中的变量和不变量，其次确定各个变量之间的关系.通过分析问题，我们可以判断，这是一道求解抛物线变量的问题.这时，就可以根据题目中的条件，绘制图象.图象中点O到点A的距离就是题目中所说的“喷泉中的水不会喷出水系区域”.学生面对这道题，要先想到绘制函数图象（图1），将題目中的已知变量标记在图象上.再建立已知条件与数量关系之间的联系，也能实现数字信息与图像信息的有效转化，提升学生的解题效率.

4 结论

总而言之，在如今的初中数学课堂上，教师要深刻认识到数形结合思想的教育价值，将其以直观的形式呈现在课堂上，使学生在面对数学知识时可以快速建立数字与图象的联系.在具体教学过程中，要将数形结合思想渗透于几何知识、代数知识和函数知识体系内，让学生在特定的条件内自主探究“数”与“形”的转化，使学生可以逐渐借助数学思想，建立数学思维，从而实现数学综合能力和数学核心素养的发展.