深挖知识内涵,促进高位发展

[摘  要] “双减”政策的稳步推进，离不开深度教学的支持，教师结合新课标创设有深度的教学活动，深挖知识内涵是促进学生高位发展的基础. 文章从“深挖课标要求，建构知识体系”“深挖知识内涵，形成深入思考”“深挖基本技能，促进思维发展”“深挖操作内涵，渗透数学思想”等方面展开阐述.

[关键词] 深度教学;“双减”;发展

作者简介：邱玉霞（1975—），本科学历，中学高级教师，从事初中数学教学工作.

2021年，“双减”政策横空出世，掀起了一股新的教育改革浪潮，如何在有限时间内获得教育教学效益的最大化，成了每个教育工作者不得不思考的问题. 深挖知识内涵不仅是教师业务水平的体现，更是提高教学效率、促进学生核心素养形成的基础. 基于此，笔者结合自身多年的教学实践经验，从几个实例出发，对如何深挖知识内涵，促进学生高位发展谈一些拙见.

深挖课标要求，建构知识体系

课标是各学科专家发挥的集体智慧，在国家教育方针与实际需求的基础上对课程内容、理念、性质等的研制，对教学具有明确的指导意义. 教师只有深度理解课标要求，从宏观上研判知识结构，才能设计出科学合理的教学流程，帮助学生建构完整的知识体系.

案例1  “一次函数”教学.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（简称新课标）对本节课教学提出的知识主体性要求为：了解一次函数的定义、图象、解析式，在此基础上运用待定系数法求一次函数的解析式，运用一次函数的图像与解析式的性质等解决实际问题. 如图1所示，通过对课程内容逻辑结构与目标的梳理，教师可将与一次函数相关的概念，以“十字模型”的形式展示出来，让学生站在新的高度了解教学内容，为建构完整的知识体系奠定基础.

结合新课标要求，教师对教学内容进行了梳理、整合，深度理解编者的意图，让学生明确哪些概念与一次函数在逻辑上有着紧密联系. 理清整个知识脉络，不仅利于课程目标的落实，还能让学生抓住知识间的实质性联系，从高位建构完整的知识结构，为数学整体思想的形成奠定基础.

深挖知识内涵，形成深入思考

初中数学课程，既有难度较大的如“二次函数的图象和性质”“全等三角形的判定”等内容，也存在一些如“直线、线段、射线”等容易理解的内容，有些教师对于“简单”的内容并不重视，认为学生只要自己看一看就会，根本就不需要花费太多的时间与精力去深入探究，而应将时间花费在难度较大的内容上. 殊不知，一些看似简单的内容背后往往蕴含着丰富的数学思想方法，对培养学生的思考能力与思维习惯具有深远的影响.

案例2  “线段、射线、直线”教学.

线段、射线、直线对学生来说并不陌生，将这些内容放在平面几何的起始阶段学习，是因为线段、射线、直线本身就属于几何图形，又是构成其他复杂图形的基本要素，三者间既有密切关系，又存在本质上的区别，其概念、画法、性质以及表达方法等都是几何学习不可或缺的基础.

教师不能因为内容简单而忽视本节课的教学，而应从最基础的概念开始，引导学生逐步感知几何研究的基本方法，即从大小、形状、位置关系等角度去探索，帮助学生建构完整的研究习惯.

本节课中，教师可以在学生原有认知的基础上，进一步引导学生深入理解线段、射线与直线，从根本上认清“两点确定一条直线”的事实，深刻理解“确定”一词的唯一性与存在性. 除此之外，还要引导学生感知几何语言的实际应用，学会用恰当的文字或符号来表述相应的图形，并理解两者间的关系.

基于以上分析，若能挖掘出可以深度思考的内容，教学就不再那么简单了，教学设计也有了一定的厚度，如“问题串”的应用，可逐步引发学生深入思考，为促进学生的高位发展奠定基础.

问题1：请大家分别说说对线段、射线与直线的认识;

问题2：請大家分别画一条线段、射线与直线，并说说你们的想法;

问题3：对于你们画出的不同的线段、射线与直线，该怎么区分呢？

问题4：既然大家对线段、射线、直线的文字、图形、符号表达已经有了一定的了解，现在请大家说说直线与其他图形有怎样的关系.

问题5：观察图2，说说画图过程是怎样的.

设计意图 问题1意在唤醒学生原有认知，为找出知识的生长点做准备;问题2从说到画，意在让学生从“形”的角度，寻找出线段、射线、直线之间的区别与联系，并能从图形的形状与大小的角度进行描述，自然而然地引出“延长（线）”“反向延长（线）”等概念;问题3则进入了符号语言的探索阶段. 前三个问题，引导学生从图形的形状与大小出发，亲历图形语言、文字语言与符号语言的发展过程，为接下来探究图形的位置关系夯实基础. 问题4的设计，意在让学生从“点线”“线线”的角度思考图形的基本位置关系，这里会涉及线段与直线、射线与线段等之间的关系;问题5需要学生将图形语言直接转化为文字语言与符号语言的规范表达，这存在一定的难度，对学生的逻辑思维提出了较高的要求.

循序渐进的“问题串”，不仅让学生通过自主探索发现线段、射线与直线的准确表达方法，并对三者间的区别与联系形成了理性认识，还有效地启发了学生的思维，让学生亲身体验了平面几何图形的基本研究方法，形成了深入思考的能力，为后续几何问题的研究奠定了基础.

深挖基本技能，促进思维发展

数学技能是通过学习而形成的合乎法则规定的数学活动方式，属于动作经验的范畴. 一般分为操作（测量、作图、运算工具等）技能和心智（审题、解析、检验、运算等）技能，数学技能是数学活动不可或缺的内在调节机制，属于数学基本结构的组成部分，亦是解决问题的充要条件. 然而，有些教师对于一些简单的数学技能并不重视，认为学生只要通过大量的训练即可达成预期目标.

教学实践告诉教师，数学技能的形成与发展并非通过机械简单重复的训练即可达成，而应从其本质与内涵出发，挖掘出技能背后的数学思维，才能从真正意义上促进学生数学能力的发展.

案例3  “同底数幂的乘法”教学.

同底数幂乘法公式的推导并不复杂，应用也较为单一，但同底数幂乘法的背后却蕴含着数学学习重要的理性思维，这是不容小觑的事实. 因此，笔者在教学前做了如下分析：

幂的运算作为“式的运算”中的一个分支，从学生的角度来看，属于单项式范畴，因为在学生原有的认知结构中，a2，a3都属于幂，且均为单项式. 既然学生已经掌握了单项式的运算，为什么还要将“幂的运算”单独列出来研究呢？这是因为负指数的出现打破了学生原有的认识，学生发现幂并不一定是整式，因此需要将“幂的运算”单独列出来研究.

从数学一致性的角度来看，幂的运算与其他运算类似，应该也有加减乘除、乘方等运算，为什么本章节却没有提到幂的加减运算呢？因为只有同底数同指数（数字除外）的幂才可加减，运算法则就是“合并同类项”，即整式加减. 本节课所研究的运算技能（乘法）称为“同底数幂相乘”，为什么不称为“幂的乘法”呢？究竟是如何想到将两个同底数幂进行相乘的？

只有将以上的思维过程充分暴露给学生，并带领学生逐条去探索、分析，才能让学生从真正意义上掌握同底数幂乘法的来龙去脉，为后期的灵活应用打牢根基. 基于以上思考，本节课需要解决的问题太多了，绝非简单的三言两语就能完成教学任务. 因此，笔者设计了如下开放有度的问题，以启发学生的思维.

问题1：已知光在真空中的传播速度为3×108 m/s，在真空中穿行一年的距离为1光年.

（1）若一年以3×107 s来算，求1光年的距离.

（2）若银河系的直径为10万光年，约为多少千米？

（3）假设一架客机的飞行速度是1000 km/h，光速是这架客机速度的多少倍？

问题2：什么是幂？我们已经学习过哪些运算？

问题3：尝试自主探索幂的加减法，说说你的探索思路.

问题4：自主研究幂的乘法，并说说研究过程.

设计意图 问题1的应用，除了让学生体验学习“幂的运算”的必要性外，还让学生感知幂的乘法运算可以结合乘方的意义进行，就是烦琐一些;问题2意在让学生明确本节课的研究对象，并主动发现新旧知识间的联系与区别，为接下来的研究活动奠定基础;问题3属于学生探索过程中动态生成的产物;问题4则是本节课的教学重点，属于前几问研究的自然生成与提炼部分.

前三问的探索，能让学生感知幂的加法运算不是在所有情况下都可以进行的，这样的认识为幂的乘法运算的研究做好了铺垫. 幂存在底数和指数，因此在研究过程中，應对“加法”进行分类讨论，所应用的法则为整式的加法法则.

由浅入深的问题驱动，使得学生的思维拾级而上呈现螺旋式上升. 尤其在前三问充分理解的基础上研究问题4，由于学生的思维已经处于一个较高的阶层，研究幂的乘法法则能实现自主分类、猜想与验证，因此深挖数学运算的基本技能，是促进学生思维发展的关键.

深挖操作内涵，渗透数学思想

实践操作是知识的再创造与再发现的过程，对新知的建构与数学思想的形成具有重要意义. 但有些教师对操作的认识仍不充分，认为操作与考试没有多大关系，常以视频演示的方式一带而过，或干脆让学生自己操作“玩一玩”. 殊不知，数学思想方法是在活动过程中迸发出来的，且随着活动的精细度与复杂度逐渐加深，朝着更高级的形态发展. 陶行知先生的“做中学”理念在教学中取得的成就，就是对实践操作重要性的最好诠释.

案例4  “丰富的图形世界”教学.

七巧板是学生熟悉的益智玩具，具有激趣、启智等作用，它对培养学生的形状概念、视觉辨析能力以及手眼协调性等有着重要影响. 将七巧板相关的内容安排在初一阶段，有些教师认为这个操作活动过于简单，而且考试又不会考，便选择一带而过的教学方式. 其实，利用好七巧板的教学功能，不仅能让学生感知图形间的形状、位置、大小等关系，还能形成用数学的眼光、语言与思维看待事物的能力.

为了利用本节操作课发展学生的数形结合思想，笔者特精心设计了一系列有深度又有高度的问题与操作活动，以启发学生的思维.

问题：七巧板是大家熟悉的玩具，它是由哪些图形组成的？各个图形之间有什么联系与区别？

操作1：请用一张纸制作一组完整的七巧板;

操作2：请大家利用自己制作出来的七巧板拼搭出你自己满意的图形，并在组内交流拼图过程;

操作3：将你的拼图过程口述展示给全体学生，看看大家能否拼出与你一样的图形.

设计意图 问题的提出，主要是为了引导学生理性分析七巧板中每块图形的大小与形状，为接下来的操作活动奠定基础. 学生在解读各个图形的要素时，不仅巩固了对图形研究的常规思路与方法，还进一步提炼了数学语言.

操作1是由经验到实践的过程，此环节意在培养学生的动手能力，既是对问题经验的验证，也为接下来的活动操作提供了工具;操作2的拼图已经不是简单的拼图，而是让学生带有审美的观念去拼出自己满意的图形，具有渗透“数学美”的目的;操作3的设计，以训练学生用数学语言表达想法的能力.

陶行知先生认为，做是教的中心，也是学的中心，“做数学”是让学生在实践中体验、思考、感悟与创造的过程，也是渗透各类数学思想方法的主要途径. 学生拼七巧板的过程既能锻炼自身动手、动脑、动口的能力，还能有机地融合数形结合思想，对七巧板的数与形形成更高层次的认识.

总之，充分挖掘课标与教学内容背后所隐含的教学价值，带领学生亲历丰富的实践活动，不仅能促进学生数学思维的高速发展，还能帮助学生形成良好的数学思想方法，从真正意义上体现出数学教学的“育人”价值，为学生数学核心素养的形成与发展奠定基础.