基于神经网络分数阶滑模控制的导弹制导系统设计

王 飞, 周爱美, 王宇霄

(浙江广厦建设职业技术大学智能制造学院, 浙江 东阳 322100)

0 引言

导弹是一个快时变的强非线性系统,在进行导弹制导系统设计时,由于需要考虑导弹和目标的相对运动,因此目标的机动可以看作一类典型的外界干扰。同时,制导系统模型建立必然存在多种误差。这些因素都将极大地影响导弹制导系统的精度。鉴于此,本文主要研究存在外界干扰或系统参数摄动时导弹制导系统的设计问题。

滑模变结构控制的研究最早可以追溯到20世纪50年代末60年代初,前苏联学者的研究让控制理论从经典控制理论阶段发展到现代控制理论阶段[1]。和经典控制理论相比,滑模变结构控制理论可以分析的控制对象更加丰富,涵盖离散系统、非线性系统等。同时,滑模变结构控制系统对系统的扰动和参数变化具有较强的鲁棒性[2]。因此在进行导弹制导系统设计时,采取滑模变结构控制可以有效解决外界干扰或系统参数摄动引起的问题,保持导弹系统的全局稳定性。从20世纪80年代开始,随着计算机技术、电子技术等快速发展,滑模变结构控制由于其设计方法简单、易于实现,已从理论研究阶段走向了大规模实践阶段,并被大量应用于航空航天器、机器人等被控对象[3]。

由于被控对象常常存在时空滞后和延迟性,使得滑模控制系统不能准确工作在理想滑模面上。这就会引起系统抖震问题,从而大大制约了滑模变结构控制的实际应用[4]。针对这一现象,学者从两个方面进行了研究。一种思路是将模糊控制等智能控制理论和滑模变结构控制理论相融合,提出了可以消除抖震并具有完全鲁棒性的滑模控制系统[5]。另一种思路是采用准滑模控制方法消除抖震,但是这种方法在一定程度上牺牲了控制系统的鲁棒性。

本文在上述研究的基础上,针对经典变结构控制系统中存在抖震现象,难以在实际的导弹制导系统中应用的问题,将分数阶微积分理论引入滑模控制方法中,设计导弹末制导律;再结合神经网络的学习能力,提出一种基于神经网络分数阶滑模控制的导弹制导系统设计方法,以进一步消除传统滑模变结构控制系统中的抖震现象。

1 寻的导弹制导律的数学模型

以基础的二维平面制导问题为例进行分析,导弹-目标的相对运动关系如图1所示。图中vt,αt分别表示目标的速率和速度方向角;vm,αm分别表示导弹的速率和速度方向角;θ表示视线角;R表示目标和导弹间的相对距离。

图1 平面内导弹-目标相对运动关系示意图

由图1可以得到弹目相对运动方程,即

设导弹加速度在目标视线方向上的投影为uR,目标加速度在目标视线方向上的投影为wR,导弹加速度和目标加速度在垂直目标视线方向上的分量分别为uθ和wθ,则有

将式(4)～式(7)代入式(2)和式(3),可以得到简化方程

将VR=,Vθ=R代入式(8),可得

2 分数阶滑模制导器设计

2.1 滑模面和控制律设计

对于式(10)所表示的弹目相对运动系统,可用状态方程表示为

选取分数阶滑模面[5-7]

式中:Γ(·)为伽马函数;f(n)(t)为函数f(t)的n阶导数。

在没有扰动的情况下(d=0),对式(13)求r阶导数,且,可得

则滑模控制律

式中:ue为等效控制函数;us为切换控制函数;-1为矩阵求逆运算符;η为切换增益;sgn(·)为符号函数。

2.2 稳定性分析

将式(16)代入式(15),可得

根据式(14)的定义,在n=1且没有扰动的情况下(d=0),式(19)可改写为

因此,针对二维平面制导问题,采用式(16)所示的控制律,系统状态能在有限时间内到达切换流形,即S=0,从而可得

根据分数阶系统稳定性理论可知,只要ki>0,式(21)表示的分数阶滑膜控制系统就能在有限的时间内收敛到零点[5]。

3 基于神经网络的分数阶滑模制导律设计

根据式(16)设计的分数阶滑模控制律中包含切换增益η,η的取值大小在一定程度上决定了控制系统的综合性能[5]。如η取值过大,系统将会出现较大幅度的抖震,这将极大地影响控制精度,甚至会导致控制系统不稳定;如果η取值过小,则系统有可能不能达到切换流形。因为根据变结构控制理论,切换增益η必须满足滑模达到条件,即η≥D,其中D为干扰量的上界。

由于切换增益η的取值十分重要,因此可以采用智能算法进行优化辨识。本文采用神经网络算法进行系统切换增益的辨识,这是因为神经网络算法学习能力较强,并且可以进行并行运算[5]。

设ξ=[ξ1,ξ2,…,ξl]为神经网络的输入向量,l表示输入层节点数。Br=[b1,b2,…,bj,…,bm]T为神经网络的基宽度向量,其中bj为第j个节点的基宽度,且为大于零的数,m表示径向基层节点数。h=[h1,h2,…,hj,…,hm]T为径向基向量,其中hj为高斯函数。hj的表达式为

式中:cj=[cj1,cj2,…,cji,…,cjn]T为第j个径向基节点的中心矢量,其中cji表示第i个输入节点对应的第j个径向基层节点的中心;‖·‖ 为范数运算符。

因为各状态矩阵的(0，n-1)，(0，n-2)元素值相加即可求得在t时刻系统处在危险状态的概率PFD。依据该情况，可以引入一个元素数与系统状态相同的危险失效向量Vd，应注意的是该向量表示的不是系统在某状态的概率，而表示在要求的情况下系统能够处于该状态。所求的为危险失效概率即FDD和FDU，因而“1oo1”模型的危险失效向量Vd=[0011]T。以此有n个状态的系统危险失效向量Vd=[00…11]T，Vd中的元素为n个。因此，可得PFD(t)的公式为

设神经网络的权向量为W=[w1,w2,…,wj,…,wm]T,其中wj为第j个节点的权值,则网络第k次迭代的辨识输出

式中:wj(k),hj(k)分别是第j个节点第k次迭代的权值和径向基。

通过上述神经网络系统整定切换增益η,只需要定义神经网络的两个输入量

式中:S(k)为第k次迭代的滑模面。神经网络第k次迭代的整定指标函数

根据式(15),可得控制矩阵

式中:u(k)为控制律第k次迭代的系统输入。根据梯度下降法,第j个节点第k次迭代输出权公式[5]为

第j个节点中心矢量的第k次迭代公式为

根据上述迭代算法,可以整定出合适的开关切换增益系数,使得系统满足一定的控制性能。

4 基于神经网络的分数阶滑模制导律鲁棒性分析

首先讨论一种能控标准型状态方程,表达式为

式中:xi+1为第i+1个状态变量;n为状态变量数;a(t)=[a0,a1,…,an-1]为状态矩阵;x=[x1,x2,…,xn]为状态向量; Δa(t) =[Δa0,Δa1,…,Δan-1]为状态参数摄动矩阵;b(t)为输入参数;d(t)为系统干扰量。

由文献[8]证明可知,线性时变系统的滑动模态对外界干扰和系统参数摄动保持不变性的充要条件为

式中:rank(·)为矩阵秩函数;D为干扰量上界值向量;ΔA为系统参数摄动。

对于能控标准型而言,有B=[0,0,…,b(t)]T,D= [0,0,…,d(t)]T。因 此,式(33)所示能控标准型必然满足式(34)。而式(10)所示弹目相对运动状态方程作为式(33)所示能控标准型的特殊情况,也必然满足式(34)。所以采用分数阶滑模控制理论设计制导律时,制导系统具有较强的鲁棒性[8]。

在导弹末制导问题研究中,可以将目标机动视为制导系统的外界干扰。从式(10)中不难发现,状态方程中有系统参数-2/R和-1/R,在实际探测过程中,和R的测量存在一定的误差,系统存在摄动是在所难免的。因而,采用分数阶滑模控制理论设计制导律是有一定研究意义的。

5 仿真验证

对设计的基于神经网络参数整定的分数阶滑模制导律的性能进行仿真验证。

基于平行接近原理的末制导性能指标要求是能够精确跟踪给定的视线角θd=60°。其他仿真条件:目标进行机动时速度方向角满足αt=3sint,目标机动速度大小满足vt=100+20sint,导弹和目标的初始距离为5 000 m,初始视线角为45°,初始视线角变化率为0.2 rad/s,导弹初始速度的方位角为60°,导弹机动速度大小固定为500 m/s。

末制导的目的是控制跟踪视线角θd,令e=θ-θd,则控制参数选择滑模面,神经网络参数ρ=0.6,α=0.04。

视线角跟踪仿真结果如图2 所示。可以看出,导弹的目标视线角可以在有限时间内从初始值快速收敛于新的视线角位置,实现精确跟踪。

图2 视线角跟踪

图3为导弹和目标运动相对距离仿真结果。可以看出,选择式(10)所设计的制导律,实现了导弹和目标之间的相对距离快速减小到零的目的,也就是说导弹可以成功拦截到目标。

图3 导弹和目标运动相对距离

6 结论

本文把神经网络引入到滑模控制系统中,结合分数阶微积分理论,设计了神经网络分数阶滑模控制器,并将这种控制器应用到导弹制导系统的设计中。考虑到传统滑模控制系统的切换增益对系统性能的影响,利用神经网络的学习能力,整定开关切换增益。经过分析,设计的分数阶滑模面具有较好的控制性能,同时通过结合神经网络算法优化整定滑模控制中的切换增益,可以在一定程度上减少抖震。但是如果要完全消除抖震,还有待后续的进一步研究。