例谈证明不等式的三种常用方法

周维成

不等式证明问题的考查方式很多，常与函数、导数、解析几何、三角函数、向量等知识相结合，其解法各不相同，常见的有比较法、放缩法、综合法、反证法等.在证明不等式时，若能选用合适的方法，就能起到事半功倍的效果.本文主要介绍证明不等式的三种常用方法.

一、比较法

比较法是证明不等式的基本方法， 主要包括作差比较法和作商比较法.运用比较法证明不等式，需将不等式左右两边的式子作差或作商，然后将所得的差与0比较，所得的商与1比较.一般地，若不等式两侧的式子是多个单项式的和或差，常用作差比较法；若不等式两侧的式子是乘积形式或幂指数式，常用作商比较法.

观察这个不等式，可发现该不等式是一个与自然数 n 有关的数列不等式，于是先根据2n ≥ n + k> n ，得到 ≤ < ，分别令n=1，2，3，…，n；然后将这些式子累加，根据不等式的可加性，通過放缩证明不等式.

证明不等式问题，需要仔细分析题目中所给的已知条件和所要证明的结论，细心思考，甄别其中的差异，针对不同的问题找到适合的方法，熟练掌握并灵活运用比较法、分析法、放缩法等，来提高解题的效率.

（作者单位：安徽省庐江第二中学）