数学之美：杨辉三角的奇特性质

万广磊 摘编

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡在1654年发现这一规律，所以这个排列又叫作帕斯卡三角形。

就是这个看上去平平无奇的数字三角形，却有一些非常奇妙甚至是神秘的特性，本文将一一为同学们揭晓。

最外层的数字始终是1

第二层是自然数列

第三层是三角数列

什么是三角数列？看此图，这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形。比如：3=1+2，此等边三角形可以分为2行，从上到下每一行分别是1 个点、2 个点；6=1+2+3，此等边三角形可以分为3行，从上到下每一行分别是1 个点、2 个点、3 个点；10=1+2+3+4，此等边三角形可以分为4 行，从上到下每一行分别是1 个点、2 个点、3 个点、4个点……

三角数列相邻数字相加可得方数数列

什么又是方数数列呢？与三角数列相似，它的数字始终可以组成一个正方形。

每一层的数字之和是一个呈2倍增长的数列，为2的n-1 次方。

斐波那契数列

没错，如果按照一定角度将直线上的数字相加，我们也可以从杨辉三角中找到隐藏的斐波那契数列。

分形结构

可以被特定数整除的数字，形成了奇妙的分形结构。

可以被2 整除的数字

可以被3 整除的数字

可以被4 整除的数字

可以被5 整除的数字