变中不变找规律 函数特值试一试

摘 要：中考中的定值问题，主要涉及三角形中的定值问题、圆中的定值问题和矩形中的定值问题.解决这类定值问题的方法主要是寻找变化中的不变量，先从特殊情形（比如特殊点或特殊位置）算出定值，再结合几何性质或者函数关系进行一般化的证明.

关键词：中考；平面几何；定值问题；运动；探究

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）35-0038-03

在一个给定的图形中，某些元素（如点、线、角、三角形等）按照一定的规律在运动变化，而在运动变化中，某几何量或几何量间的关系（如线段的长度、角的度数、图形的周长或面积的大小等）却始终保持固定的数值，这就是几何图形“变中不变”问题， 也称“定值”问题［1］.求解这类“定值问题”难度较大，解决的办法一般是将问题特殊化，即先从特殊情况入手，找出定值，然后再一般化处理.

定值问题常见的题型有：线段、角度定值；周长定值；面积定值；线段的乘积定值等［2］.比如，对于线段乘积为定值的问题，大多采用相似法，通过相似成比例把乘积问题转化为比例问题.此外，对于定值问题，还可以设变量x，并用x的代数式来表示其他变量，通过代数式变形计算解决问题.若计算结果中不含x和其他变量，则为定值，否则不是.这种用 “数” 来研究 “形” 的方法，是研究定值问题的常用方法［3］，同时体现了转化思想与数形结合思想.

1 三角形中的定值问题

例1 如图1，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，O是AB的中点，且AB=6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC，BC相交，交点分别为D，E，则CD+CE=（  ）.

A.2   B.3   C. 2   D.6

分析 先探究特殊位置，当E是BC中点时，CD+CE=3，当E与点C重合时，CD+CE=3， 因此只需说明点E在BC上任意位置CD+CE的值是不变的.

解 如图2，连接OC.∵等腰直角△ABC中，AB=6，

∴BC=6×cos45°=6×22=3.

∵O是AB的中点，

∴OC=12AB=OB，OC⊥AB，∴∠COB=90°.

∵∠DOC+∠COE=90°，∠COE+∠EOB=90°，

∴∠DOC=∠EOB.

同理可得∠ACO=∠B，∴△ODC≌△OEB，∴DC=BE，

∴CD+CE=BE+CE=BC=3.

点评 本题是一个选择题，我们可以通过点E的特殊位置快速选出答案.对于解答题探究定值，一般是先考虑特殊情况，得到定值，再一般化，确定求证途径.

2 圆中的定值问题

例2 如图3，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC=OB，E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC.

（1）求证：CD是⊙O的切线.

（2）小明在研究的过程中发现PEPC是一个确定的值.回答这个确定的值是多少， 并对小明发现的结论加以证明.

分析 如图4，先探究点P的特殊位置，当PE⊥OC时，易得△PCE是含30°角的直角三角形，因此PEPC=12.最后再证明一般情况下比值不变即可.

解 （1） 如图5，连接OD，DB，∵DE垂直平分OB，∴DB=DO.

∵DO=OB，∴DB=DO=OB，

∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO=∠DBO=60°.

∵BC=OB=BD，且∠DBE为△BDC的外角，

∴∠BCD=∠BDC=12∠DBO=30°.

∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+30°=90°，

∴CD是⊙O的切线.

（2）这个确定的值是12.

如图3，由已知可得OP=OB=BC=2OE，∴OEOP=OPOC=12.

又 ∵∠COP=∠POE，∴△OEP∽△OPC，

∴PEPC=OPOC=12.

点评 解决定值问题时，对于一些与定点、定长等有关的定值问题，定值一定和题目所给的“不变量”有关.因此，在“变化”的量中寻求“不变”的量是解决问题的关键.一般可先从特殊位置、极端位置或特殊数值入手，探究出这个定值，然后再借助特殊情况的思路作为探讨一般情况的基础，完成一般情况的证明.

3 矩形中的定值问题

例3 如图6，在边长为3的正方形ABCD中，点E是CD边上一点，点F是CB延长线上一点，AF=AE，连接EF，交AB于点K，过点A作AH⊥EF于H，延长AH交BC于点G，连接HD，若BG=2，则AK·DH=_______．

分析 可证Rt△ADE≌Rt△ABF（HL），从而可得∠DAE=∠BAF，再证△ADH≌△CDH（SSS），可得△AEF为等腰直角三角形，从而可证△AKF≌△HED，可得AKEH=AFDH，可證∠BFK=∠BAG，可得tan∠BFK=tan∠BAG，可求23=BKBF，设BK=2x，BF=3x，则AK=3-2x，可证△AKH≌△FGH（ASA），可得3-2x=2+3x，即可求解．

解 ∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠ADE=∠ABC=∠ABF=∠DAB=90°，在Rt△ABF和Rt△ADE中，AB=ADAF=AE

∴Rt△ADE≌Rt△ABF（HL），∴∠DAE=∠BAF，

∴∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠BAE+∠DAE=90°，

∴△AFE为等腰直角三角形，

∵AH⊥EF，∴点H是EF的中点，∴AH=EH=FH=12EF，

如图7，连接CH，∵四边形ABCD为正方形，∴CD=AD.

∵点H是EF的中点，∠DCB=90°，∴CH=12EF，∴AH=CH.

在△ADH和△CDH中，AH=CHDH＝DHAD=CD，

∴△ADH≌△CDH（SSS）， ∴∠ADH=∠CDH=45°，

∵△AEF为等腰直角三角形，∴∠AFE=45°，

∴∠AFK=∠EDH=45°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BKF=∠CEH，

∴∠AKF=∠DEH，∴△AKF∽△HED，

∴AKEH=AFDH，∴AK·DH=AF·EH.

在等腰直角三角形△AFH中，AF=2FH=2EH，

∴EH=22AF，

∵∠BAG+∠AGB=∠AGB+∠BFK=90°，

∴∠BFK=∠BAG，

∴tan∠BFK=tan∠BAG，

∴BGAB=BKBF，即23=BKBF，

设BK=2x，BF=3x，则AK=3-2x，

在△AKH和△FGH中，∠BAH=∠GFHAH=FH∠AHK=∠FHG，

∴△AKH≌△FGH（ASA），∴AK=FG，

∴3-2x=2+3x，∴x=15，

∴AF2=AB2+BF2=32+352=23425，

∴AK·DH=AF·EH=22×23425=117225．

点评 根据正方形和三角形的性质以及一般角的三角函数值等，找出AK=FG，从而可得3-2x=2+3x是解题的关键．

4 平行四边形中的定值

例4 如图8，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3，∠BAD=120°，N为AB上一点，E为BC上一点，BE=AB，AB=4AN，P、M分别为AE，BC上两点，当NP+MP=3时，AP=_______．

分析 本题主要考查了平行线之间的距离和等边三角形的判定和性质，先证明△ABE是等边三角形，再在AD上取点Q，使AQ=AN，构造△AQP≌△ANP（SAS），将折线线段和转化为平行线之间的距离，得出M、P、Q在同一直线上，并且PQ⊥BC，通过解三角形求出AP．

解 ∵在平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，∴∠B=60°，

又∵BE=AB，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE=∠DAE=60°，

如图9，过点A作AH⊥BC垂足为H，

在Rt△ABH中，AH=ABsin∠B=2×32=3，

在AD上取点Q，使AQ=AN，即AQ=14AB=12，

∴△AQP≌△ANP（SAS），∴QP=NP，∴NP+MP=QP+MP≥AH，

∵NP+MP=3，即：QP+MP=AH，

∴M、P、Q在同一直线上，并且PQ⊥BC，

∴AP=AQcos∠QAP=12÷cos∠QAP=1．

对于一些与定点、定长等有关的定值问题，可以将问题引向特殊情形，先求出这个定值， 再进行证明，探索出的定值必须通过证明才能明确其正确性，要论证的问题就是特殊情形与一般情形的固定关系.也可直接设参数进行推理、计算，并在计算中消去参数，得到定值.得到了定值，做题时就有了明确的目标与方向，再证明一般情况下结论成立即可.

参考文献：

［1］ 吕小保.中考“定值”问题探究［J］.中学生数学，2010（06）：41-43.

［2］ 刁琴，石勇国.中考熱点题型“动点最值问题”的反思［J］.数学通讯，2023（01）：50-51.

［3］ 刘贤华.中考最值问题分析及解题技巧［J］.数理天地（初中版），2022（19）：29-30.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者简介：陈通（1986.10-），男，江苏省泗洪县人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.