初中数学解题中待定系数法的应用策略

2023-04-08沈超雄

数理化解题研究·初中版 2023年12期

摘要：解题教学是一个常规教学手段，在理科学科教学中占据着较为重要的地位，不仅可以帮助学生进一步巩固所学的理论知识，还能够锻炼他们的解题技巧，提升应试能力.在初中数学解题中，待定系数法是一种广泛应用的解题方法，其本质是方程思想，将未知数与已知数等同看待，构建相应的等式，得出相应的方程组，完成题目的解答.基于此，文章主要对初中数学解题中待定系数法的应用做探讨，同时结合具体例题分享一些解题策略.

关键词：初中数学解题；待定系数法；应用方法

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）35-0053-03

待定系数法作为初中数学中重要的解题方法，是一种“执果索因”的思维方式，是判断所求结果的结构形式，根据题目条件列出待定系数的等式，得出待定系数的值.待定系数法的应用比较广泛，在初中数学解题训练中，教师围绕待定系数法安排专题训练，指导学生用于多项式除法、因式分解、解方程以及恒等式的证明等多方面的试题，帮助其学会借助待定系数法有效解答初中数学问题，不断提高他们的解题能力，为将来的中考做好充足准备［1］.

1 用待定系数法解多项式除法问题在初中数学解题教学中，应用待定系数法能解答多项式除法类试题，包括多项式的余式、求商式和整除等［2］.多项式除法属于除法的一种，

在运算过程中还要用到减法与乘法，是代数试题中一类比较常用的算法，通常是用一个同次或者低次的多项式去除另一个多项式.教师可指导学生应用待定系数法解答多项式除法问题，让他们将一个相对复杂的除法问题分解成小问题，顺利解题［3］.

例1 求（3x3-2x2+1）÷（3x2-3x+1）的商式和余式.

分析此题中被除式的最高次项是3x3，除式的最高次项是3x2，所以商式的最高次数是1，且系数是1.因此，可以将商式设为x+a，余式设为px+q，由此能够得出关于x的恒等式3x3-2x2+1＝（x+a）（3x2-3x+1）+px+q，对于一切实数x均成立，所以，x为0、1、-1依然成立，从而得出关于a、p、q的方程组.

详解设所求的商式是x+a，余式是px+q，

由此得到3x3-2x2+1＝（x+a）（3x2-3x+1）+px+q，

令x＝0，则a+q＝1；令x＝1，则（a+1）+p+q＝2；

令x＝-1，则7（a-1）-p+q＝-4；

联立起来得到方程组a+q=1a+p+q=17a-p+q=3，

解之得a=13p=0q=23，所以所求的商式是x+13，余式是23.

例2 已知x4+4x3+6px2+4qx+r可以被被x3+3x2+9x+3整除，那么p、q、r的值分别是什么？

分析在解此题时，需要先把商式假设出来，根据x4÷x3＝x可以把商式假设成x+m，故p、q、r、m都是待定系数，结合被除式恒等于商式乘以除式，以及对应系数的对比，能求得这几个待定系数的值.

详解设所得商式是x+m，

所以x4+4x3+6px2+4qx+r

＝（x+m）（x3+3x2+9x+3）＝x4+（3+m）x3+（9+3m）x2+（3+9m）x+3m，

比较对应项系数，得出3+m=49+3m=6p3+9m=4q3m=r，求得m=1p=2q=3r=3，所以p＝2，q＝3，r＝3.

2利用待定系数法解因式分解问题对初中数学解题教学来说，当因式分解中遇到一些较为复杂的二元二次多项式时，应把原多项式中的一部分进行因式分解，且转变成两个一次因式相乘的形式，就可以把整个解题过程处理的简单化.对此，初中数学教师在因式分解类试题教学中，由于二元二次多项式比较复杂，当要求学生进行因式分解时，可借助待定系数法将原多项式的一部分进行因式分解，由两个一次因式乘积代替，使其在分解中确定因式，将解题过程变得更加简捷.

例3 已知2x2+xy-y2-kx+8y-15可以分解为两个一次因式的乘积，那么这个有理多项式是什么？

分析在解题时，可以将前三项进行分解，通过两个一次因式相乘的方式来表示，再对原式进行变形，就能够采取对应项系数比较的方式求得结果.

详解根据十字相乘法可以得到2x2+xy-y2＝（2x-y）（x+y），设2x2+xy-y2-kx+8y-15＝（2x-y+m）（x+y+n）＝2x2+xy-y2+（2n+m）x+（m-n）y+mn.

比较对应项系数能够得到2n+m=-km-n=8mn=-15，

解得m=3n=-5k=7，或者m=5n=-3k=1，

所以这个有理多项式是2x2+xy-y2-7x+8y-15或者2x2+xy-y2-x+8y-15.

例4 已知等式p2+q2＝7pq，且滿足该等式的正实数p、q，能够让有关x、y的多项式xy+px+qy+1分解为两个一次因式之积，请问p、q的值分别是什么？

分析根据条件p2+q2＝7pq，且p、q是正实数，利用配方法分析p+q和pq的关系，因多项式xy+px+qy+1可以分解成两个一次因式之积，便可借助待定系数法把pq的值给求出来，并得到p+q的值，顺利确定p、q的值.

详解因为p2+q2＝7pq，且p、q是正实数，所以p+q＝3pq，又因为多项式xy+px+qy+1可以分解为两个一次因式的积，所以xy+px+qy+1＝（ax+b）（cy+d）＝acxy+adx+bcy+bd，通过对应项系数对比，

可以得到ac＝1，bd＝1，ad＝p，bc＝q，

所以pq＝abcd＝1，

所以说p＝32+52，q＝32-52，或者p＝32-52，q＝32+52.

3 利用待定系数法解高次方程问题

方程，作为学生从小学时期就接触和学习的一类知识，在整个数学课程体系中占据着极为关键的地位，既是一类特殊的理论知识，

也是学生进行解题的一种常用工具，重要性不言而喻.不过对于初中学生而言，还没有学习到有关高次方程的解题方法，当遇到此类特殊的方程类试题时，教师可以指引他们采用待定系数法，找到这些一元高次方程中根存在的某种关系，从而将高次方程转变为低次方程，使其能够借助待定系数法的优势顺畅解这类方程.

例5 已知方程2x4-5x3-24x2+53x-20＝0的两个根之积为2，那么该方程的解是什么？

分析通过分析方程根和系数之间的关系，发现两根之积是2的一元二次方程，假如二次项系数是1，则常数项为2，故应用待定系数法时能够搭配假设法完成求解.

详解设2x4-5x3-24x2+53x-20＝（x2+ax+2）（2x2+bx-10）＝2x4+（2a+b）x3+（ab-6）x2+（-10a+2b）x-20，

对应项系数比较，得到2a+b=-5ab-6=-24-10a+2b=53，解之得a=-92b=4，所以原方程可以转化为（x2-92x+2）（2x2+4x-10）＝0，

求得x1＝12，x2＝4，x3＝-1+6，x4＝-1-6.

例6 已知方程x4+（x-4）4＝626，求该方程的实数解.

分析解答本道题目时，可以利用待定系数法，推导出方程的两个实数根，然后继续利用待定系数法进行因式分解，最终完成解题.

详解因为626＝54+14，

能够看出5和-1是该方程的两个根，

令x4+（x-4）4-626＝2（x+1）（x-5）（x2+px+q），

当x＝0时，q＝37，

当x＝4时，p＝-4，

所以原方程可以变为2（x+1）（x-5）（x2-4x+37）＝0，

又因为（x2-4x+37）＝0没有实数根，

所以原方程的解是x1＝-1，x2＝5.

4 应用待定系数法解代数式恒等变形问题

代数式恒等变形属于解析式变换的一种，就是将一个代数式转变成另外一个同它恒等的代数式.在初中数学解题训练中，会经常安排几道有关代数式恒等变形类的试题，教师可提示学生应用待定系数法，按照实际要求对题目中的代数式进行恒等变形处理，让他们先把一个符合条件且含有待定系数的恒等式给假设出来，再借助恒等式的性质求出各个待定系数的具体值，也可以将待定系数消除掉，由此完成解题，这样解题过程显得十分清楚和简洁.

例7 已知有一个多项式xy（3x+2）（5y+2），请证明这个多项式是含有整数系数的两个多项式的平方差.

分析从本质看，本题需要把题设中的多项式通过两个整式的平方差形式表示出来，但是这两个整式属于未知条件，所以可设为A和B，随后借助待定系数法进行证明.

详解设xy（3x+2）（5y+2）＝A2-B2，A、B均代表整式，则（3xy+2y）（5xy+2x）＝（A+B）（A-B），

令A+B＝3xy+2y，A-B＝5xy+2x，

解之得A＝4xy+x+y，B＝-xy-x+y，

所以說xy（3x+2）（5y+2）＝（4xy+x+y）2-（-xy-x+y）2.

例8 已知多项式x4-6x3+13x2-12x+4，请证明该多项式能够通过完全平方式来表示.

分析这道题目中出现的是四次多项式，其应该是二次三项式的平方，所以可以假设原代数式恒等于（x2+px+q）2，该式子中的p与q便是待定系数.

详解设多项式x4-6x3+13x2-12x+4＝（x2+px+q）2，

化简变形后为x4+2px3+（p2+2q）x2+2pqx+q2，

通过对应项系数的比较可以得到2p＝-6，p2+2q＝13，2pq＝-12，q2＝4，

解之得p＝-3，q＝2，