空射运载火箭轨迹/穿越距离优化设计

李 飞,杨 锐,闵昌万,张广勇,吕 艳,郜义蒙

(北京宇航系统工程研究所,北京 100076)

20世纪90年代,美国轨道公司设计并完成了世界上首款空射运载火箭“飞马座”,该型火箭先后完成了42次发射任务,大幅降低了卫星发射成本[1]。近年来,科学技术的进步和大型运输机运载能力的不断提升,为新一代空射运载火箭的出现提供了必要的物质和技术条件。英国“维珍”航空公司设计研制了“LauncherOne”空射运载火箭,充分利用了空基发射灵活机动、效费比高等优势进行商业发射[2-4]。但空基发射特有的亚声速、水平投放方式导致空射运载火箭轨迹设计具有以下难点：①空射火箭点火后大攻角拉起段一般处于稠密大气层[5],火箭截面载荷骤增,为了承受火箭飞行过程中巨大的弯矩需要对其局部进行结构加强,不合理的攻角拉起样式将产生过大的截面弯矩,付出较大的结构质量代价,进而影响运载能力。②有人驾驶载机进行空射运载火箭投放时必须重点关注载机安全性,在满足火箭设计约束的前提下尽可能使火箭点火后的轨迹远离载机,避免火箭尾焰对载机产生干扰,过大的安全距离同样会牺牲火箭运载能力。

空射运载火箭研制难度大、技术风险高,国内外科研机构对空射运载火箭进行了大量的研究。杨明等[6]针对空射近空间飞行器轨迹规划问题,结合各飞行段特点,建立了多段参数化轨迹优化模型,利用粒子群优化算法获得了多约束条件下的上升段轨迹;茹家欣[7]将空射运载火箭的助推段弹道设计转化为攻角、俯仰角、时间等变量的设计,通过参数优化方法实现满足卫星入轨条件的最优轨迹设计;高云逸等[8]分析了空射运载火箭点火姿态对运载能力的影响规律,得到了倾斜点火方案既能避免大攻角飞行造成的载荷问题,又能提高火箭运载能力的设计规律。聂川义等[9]通过序列二次规划方法对飞行程序角进行优化,实现了对确定优化目标的轨迹快速生成。这些相关研究在火箭上升段轨迹优化中考虑了过载、动压等因素,但对于受载机穿越距离、最大载荷约束下的最优轨迹设计鲜有介绍。为此,本文提出了一种空射运载火箭轨迹/载荷/穿越距离优化设计方法,从轨迹设计顶层对穿越距离、载荷进行约束,解决三者间强约束、强耦合问题,为未来空射运载火箭研究提供参考。

1 数学建模

1.1 质心运动方程

考虑地球为不旋转圆球模型,在半速度坐标系下建立空射运载火箭质心动力学、运动学方程：

(1)

式中：r为地心矢径,φ为地心纬度,λ为经度,v为飞行速度,θ为弹道倾角,σ为弹道偏角,FP为发动机推力,α为攻角,υ为倾侧角,G为引力常量,FL为升力,FD为阻力。

(2)

式中：Sref为气动参考面积;CD,CL分别为阻力系数和升力系数;ρ为大气密度。其中大气密度ρ按下式计算：ρ=ρ0e-h/h0。式中：ρ0为地面大气密度,取1.225 kg/m3;h为飞行高度;h0为参考常量,取7 110 m。

1.2 穿越距离模型

空射运载火箭投放后先自由下落,随后发动机点火进行轨迹拉起,火箭轨迹拉起后应与载机拉开足够的距离,从而保证载机安全。假设载机投放后按投放高度以匀速直线运动沿初始航线继续飞行,穿越距离定义为火箭与载机飞行高度达到同一高度时的相对距离Δs,如式(3)所示。由于火箭后续飞行将快速远离载机,因此当火箭穿越载机后穿越距离不再作为火箭后续飞行轨迹设计约束。

(3)

式中：sv为火箭飞行绝对距离;sp为载机飞行绝对距离;H0,φ0,λ0,v0分别为火箭投放时刻高度、纬度、经度、速度;Rm为地球平均半径。

1.3 载荷计算模型

空射运载火箭特有的大攻角拉起模式会引起载荷大幅增加,保证火箭运载能力的前提下降低火箭最大飞行载荷是空射火箭轨迹设计的主要任务之一。载荷计算中一般考虑各截面的剪力和弯矩两项,针对空射运载火箭,截面弯矩一般构成主要设计约束。本文研究中根据参考文献[10]中的截面弯矩计算公式,忽略箭体转动角加速度与角速度影响,形成火箭各截面弯矩计算公式：

式中：i为参考截面,i=1,2,…,K,K为参考截面的数量;n为分站点;Mi为第i截面弯矩;q为飞行动压;CN,n为第n站法向力系数;xN,n为第n站法向力作用点;mn为第n站分站质量;g为标准重力加速度;xg为质心位置;ny为法向过载;ε为角加速度,静态分析时置零;xm,n为第n站质心位置;FR为发动机操纵力;xR为发动机操纵力作用点;J为绕质心转动惯量。Δ(I)为单位阶跃函数,I<0,Δ(I)=0;I≥0,Δ(I)=1。

2 轨迹优化

近年来,国内外诸多学者对轨迹优化方法进行了深入研究,例如凸优化方法[11-12]、遗传算法[13]、伪谱法、序列二次规划法[14]等,其中伪谱法技术成熟,被广泛应用于火箭总体/弹道一体化优化、临近空间可变性飞行器轨迹优化等方面[15-16],Gauss伪谱方法(GPM)是一种基于全局插值多项式的直接配点法,它相对于一般直接配点法的优势是可以用较少的节点获得较高的精度,成为直接方法求解最优控制问题中的典型代表。本文利用Gauss伪谱法对空射运载火箭轨迹/载荷/穿越距离进行优化。

1)目标函数。

空射运载火箭上升段轨迹优化目标函数一般为运载质量最大。由于空射火箭大多采用固体火箭发动机,起飞质量一定,因此火箭运载能力可以通过相同终端条件下交班速度进行衡量,交班速度越大,运载能力越强。即：J=-vf。

2)状态量。

3)控制量。

4)终端约束。

空射运载火箭终端约束可设为交班高度Hf、交班倾角θf,如下所示：H=Hf,θ=θf。

5)过程约束。

过程约束主要包含动压约束、法向过载约束、热流约束、穿越距离约束以及载荷约束。空射运载火箭最大载荷分纵向最大载荷与侧向最大载荷,其中纵向最大载荷与动压和攻角的乘积相关,也可认为是与法向过载相关,侧向最大载荷则主要受最大动压影响。

①动压约束。q≤qmax,式中：q=ρv2/2。

②法向过载约束。空射运载火箭法向过载约束一般产生在大攻角拉起段,此时,Ny≤Ny,max,式中：Ny=(FLcosα+FDsinα)/m。

③穿越距离约束。为了保证载机安全,空射运载火箭穿越距离应大于约束值,即Δs≥Δsmin。

④载荷约束。一般情况下,火箭质心位置为箭体载荷最大点,因此近似以火箭质心位置纵向弯矩Mz约束火箭箭体最大载荷：Mz≤Mz,max。

3 仿真与分析

目前空射运载火箭总体布局分2种：一是以“飞马座”为代表的带三角翼设计方案,利用三角翼为一级拉起提供足够大的升力,但三角翼会带来气动阻力增加、结构质量增大,降低运载能力;二是以“LauncherOne”为代表的无翼设计方案,采用旋成体+“X”字形舵布局形式。本文以类“LauncherOne”两级固体空射运载火箭为研究对象,火箭以水平方式进行投放,最大可用攻角不大于25°。火箭投放高度选用波音747飞机巡航高度12 km,投放速度为Ma=0.8。一般情况下认为火箭质心与载机质心位置大于2 km以上时火箭尾焰对载机影响几乎可忽略,火箭的载荷受法向过载、动压、攻角三重因素影响,可根据结构强度设计要求反算最大设计载荷,再根据火箭的最大可用攻角规划出法向过载可使用区间,以某空射运载火箭为例,得到轨迹优化设计约束如表1所示。

表1 设计约束Table 1 Design constraints

3.1 算法验证

基于本文提出的空射运载火箭轨迹/载荷/穿越距离优化设计方法开展仿真分析,验证优化算法对不同交班条件下的适应性。空射运载火箭一般由运输机水平投放,飞机可根据飞行条件自由选择投放高度,火箭的交班条件也可根据运载要求在近空间范围内选择,因此本文针对不同投放高度、交班高度、穿越距离下算法的适应性进行验证,覆盖空射火箭的使用剖面,仿真条件如表2所示。

表2 不同条件下仿真算例Table 2 Simulation examples

优化得到空射运载火箭典型轨迹参数曲线如图1～图4所示,穿越距离如表3所示。

图1 高度-航程曲线Fig.1 Height-range curve

图2 速度-时间曲线Fig.2 Velocity-time curve

图3 攻角-时间曲线Fig.3 Attack angle-time curve

图4 弯矩-时间曲线Fig.4 Bending moment-time curve

表3 穿越距离Table 3 Crossing distance

由以上仿真结果可知,对于空射火箭不同的使用剖面,本文提出的优化设计方法可实现在满足载荷、穿越距离约束下的轨迹优化,优化结果中各项指标均不超过设计约束,优化结果与预期相符,验证了算法的有效性及参数适应性。进一步分析可知,从能量最优角度考虑,不同发射条件下空射运载火箭最优轨迹对应一级最大飞行攻角趋于攻角最大约束上界,穿越距离趋于约束下界。

3.2 参数影响分析

空射运载火箭轨迹设计的难点是在满足各项设计约束的前提下实现减载、提升运载能力,其轨迹设计主要受使用条件、设计约束、设计参数影响。本节采用3.1节的方法对空射运载火箭设计中的典型因素进行分析,为提升火箭总体性能提供优化方向。

空射运载火箭轨迹设计受发射剖面的影响,空射火箭是在一定高度、速度域内发射,一般情况下火箭发射高度越高,大气密度越稀薄,火箭飞行过程中的速度阻力损失越小,火箭最大载荷越小,因此希望火箭能够在较高高度处进行投放,充分发挥空射火箭的优势。

空射运载火箭轨迹设计常受载机运载能力和安全性的限制,其穿越距离约束直接影响火箭轨迹设计,进而影响火箭运载能力与最大设计载荷,是整个空射运载火箭设计的顶层输入。空射运载火箭轨迹设计本质是程序角设计,程序角设计的优劣决定了火箭性能的好与坏。综合以上两方面空射运载火箭穿越距离设计决定了火箭轨迹设计的可行区间,程序角设计则决定了火箭在可行区间内的总体性能。下面针对穿越距离与最大攻角进行分析,阐述两者对火箭性能的影响。

①穿越距离影响。一般而言,可近似认为穿越距离越大,火箭点火后对载机威胁越小。图5和图6给出了不同穿越距离对火箭载荷的影响。

图5 高度-穿越距离曲线Fig.5 Height-crossing distance curve

图6 最大弯矩-穿越距离曲线Fig.6 Maxmun bending moment-crossing distance curve

由仿真结果可知,火箭穿越距离增加后,载荷显著增大。这是由于火箭为了满足穿越距离要求,需要较长时间在载机下方飞行,载机所处空域大气密度较大,随着火箭不断加速,加之大攻角弹道拉起动作,导致载荷显著增大。载荷增加后,为了保证火箭完整性,必须对结构进行加强,进而使火箭性能下降,由此可见穿越距离是影响空射火箭轨迹设计的重要因素。

②最大攻角影响。空射运载火箭点火后需要以大攻角快速拉起,受载机巡航速度影响,火箭大攻角飞行阶段一般处于亚声速,大攻角飞行带来姿控设计难度,图7～图10给出了不同最大攻角对火箭性能的影响。

图7 攻角-时间曲线Fig.7 Attack angle-time curve

图8 不同最大攻角下高度-穿越距离曲线Fig.8 Height-crossing distance in different maximum attack angle curve

图9 末速-最大攻角曲线Fig.9 Terminal velocity-maxmum attack angle curve

图10 最大弯矩-最大攻角曲线Fig.10 Maxmum bending moment-maxmum attack angle curve

由仿真结果可知,在一定范围内,火箭最大攻角越大,穿越距离越小,最大载荷越小,运载能力越高。提高火箭最大攻角可使火箭快速穿越稠密大气,降低阻力损失,对载荷及运载能力是有利的。空射运载火箭最大飞行攻角是穿越距离、姿控能力、火箭性能三者之间的权衡,在满足前两者要求的前提下提高最大攻角可有效提升火箭运载能力。

4 结束语

本文针对空射运载火箭面临的载荷、穿越距离问题,推导了机箭穿越距离模型,并利用该模型提出了轨迹/载荷/穿越距离优化设计方法,该方法能够快速获取满足各项约束条件的最优能量轨迹。同时本文对空射运载火箭中典型设计参数对火箭性能的影响进行了详细分析。由仿真结果可知,火箭在姿控能力允许的范围内以大攻角进行拉起、缩短穿越距离(需满足载机安全性要求)、提高投放高度对空射运载火箭降低最大飞行载荷以及总体性能的提升有利,为未来空射运载火箭研制提供优化方向。