数据驱动下带环境病毒的新冠肺炎传播模型

李淑萍，苗慧

（中北大学 理学院， 山西 太原 030051）

0 引言

一直以来，传染病都影响着人类的生存生活，威胁着人类的健康。因此科学家们经常通过建立数学模型来了解疾病的传播风险、传播速度和传播范围，从而对疾病的传播进行预测，帮助国家更好地控制疾病的传播。2019年12月出现了人传人的急性呼吸道传染病—COVID-19（新型冠状病毒肺炎，简称新冠肺炎），这是一种可以通过呼吸道飞沫和密切接触者直接传播，也可以通过接触被新冠病毒污染的环境间接传播给人类的严重传染病［1-2］。

新冠肺炎给国际社会带来不可估量的损失，对新冠肺炎的研究热度也一直持续着，众多学者建立了相关的传染病模型。Neves，Ansumali，Liu等建立了关于易感者、无症状感染者、有症状感染者、恢复者的SAIR模型，说明了确定人群中有症状和无症状感染者的实际数量对预测疫情和风险评估是很有必要的［3-5］。Wintachai等建立的与接种疫苗效率相关的带有潜伏期E的SEIR模型，模拟结果说明有效接种疫苗，基本再生数显著减小，但接种疫苗并不能立即结束疫情，还取决于疫苗的接种率和有效率［6］。Fang等也建立了SEIR模型，指出随着染病人数的增多，开发特定药物比检疫措施更重要，但是此模型没有考虑潜伏期内的传染性，降低了模型的准确性，可能低估染病人数［7］。Chatterjee等结合印度疫情早期的数据，考虑了隔离仓室Q、死亡仓室D，建立了SEIQRD随机模型，指出采取隔离措施会使得感染率及死亡率大幅度降低［8］。Giordano，Higazy等通过区分感染病例是否确诊及症状的严重程度，建立了SIDARTHE模型和分数阶SIDARTHE模型，其中I为无症状未确诊者，D为无症状确诊者，A为有症状未确诊者，R为有症状确诊者，T为有症状确诊且有生命危险者，H为恢复者，E为死亡者。从而证明了对群众进行广泛的筛查、接种疫苗及严格控制社交距离是有效的控制策略［9-10］。上述文章根据不同国家的情况建立了不同的模型，然而，这些模型均未考虑环境中的病毒导致了新冠肺炎的间接传播这一重要传播因素。

从2021年7月20日报告的南京禄口机场确诊案例可以看出，早期报告的病例为机舱保洁员。经过调查发现，由于防护洗脱不规范，可能造成个别保洁人员感染，而机场其他工作人员由于接触保洁员或者被污染的环境而感染［11］。因此，本文建立了一个考虑环境中病毒数量W的SEIRW新冠肺炎传染病模型，计算了模型的基本再生数，分析了平衡点的稳定性，并研究了应对新冠肺炎的最优控制策略。此外，利用数值模拟对理论研究进行了验证，并对早期疾病数据进行拟合，最后给出了参数敏感性分析和最优控制的数值模拟。

1 模型的建立

在文中，S(t)代表t时刻的易感者数量，E(t)代表t时刻的潜伏者数量，I(t)代表t时刻的感染者数量，R(t)代表t时刻的恢复者数量，W(t)代表t时刻环境中新冠病毒数量，模型如下，

其中Λ表示人口输入率，β表示易感者接触染病者的直接接触传染率，k1β表示潜伏者直接传染易感者的传染率，且0

2 平衡点和基本再生数的计算

3 平衡点的稳定性

下面分别讨论无病平衡点和地方病平衡点的稳定性。

3.1 无病平衡点的稳定性

定理1 当R0<1时，系统（1）的无病平衡点X0在Ω内是局部渐近稳定的；当R0>1时， 无病平衡点不稳定。

定理2 当R0<1时，系统（1）的无病平衡点X0在Ω内是全局渐近稳定的。

证明 可以将原系统（1）的染病仓室重新写为下列方程

其中 x=(E， I， W)T为染病仓室人群，y=(S， R)T为非染病仓室人群，f(x， y)=(0， 0， 0)T。

运用矩阵理论中的Perron特征向量［14］，非负矩阵V−1F的左特征向量ωT对应的特征值为ρ(V−1F)=ρ(FV−1)=R0，则可求得 ωT=(k1β， β， β1)。若 f(x， y)≥0， F≥0， V−1≥0，定义 Lyapunov函数

当R0<1时，

所以，当R0<1时，无病平衡点X0在Ω内全局渐近稳定。

3.2 正平衡点的稳定性

定理3 当R0>1时，若满足c(ab−c)>a2d及(ad−e)(abc−c2−a2d)>e(ab−c)2+ae2，系统（1）的正平衡点X1在Ω内是局部渐近稳定的。其中，

那么矩阵J |X1的5个特征值均有负实部。通过Hurwitz判据可知，系统（1）的正平衡点X1在Ω内是局部渐近稳定的。

4 最优控制策略

为了有效预防新冠肺炎的传播，制定合理且有效的控制策略显得尤为重要，庞特里亚金提出的极大值原理是最优控制理论的三大基石之一。本文运用庞特里亚金极大值原理，找到新冠肺炎的最优控制策略，旨在使得新冠肺炎的患者最少、控制成本最低。为分析控制新冠肺炎的最佳控制策略，将系统（1）改写为如下非线性微分方程组

其中

u1：治疗策略，用于提高染病者的治疗恢复率；

u2：隔离策略，用于减少易感者与染病者和潜伏者的直接接触率；

u3：环境卫生策略，用于减少、杀灭环境中存活的新冠病毒；

u4：环境卫生隔离策略，用于减少易感者与被污染的环境的的间接接触率。

控制函数集U=L∞([0， T]， [0， 1]4)且∀t∈[0， T]（T为最终时间）。考虑目标函数

现将最优控制策略问题描述为

4.1 最优控制解的存在性

证明 根据最优存在理论［15］，有

（i） 对任意控制变量(u1， u2， u3， u4)∈U，系统（9）的初始值均为负；

（ii） 控制集是闭集且是凸集；

（iii） 系统（9）右端线性函数满足初始条件，所以在控制集U上有界；

（iv） 目标函数（10）的被积函数在控制集U上是凸集，且存在常数c1， c2，使得

因此，系统（9）存在最优控制解，证毕。

4.2 最优控制解

下面通过庞特里亚金极大值原理［16］来得出最优控制的解。将哈密顿函数定义为

其中 λ1(t)， λ2(t)， λ3(t)， λ4(t)， λ5(t)是各状态的伴随变量。

5 数值模拟

数值模拟包括四个部分，第1小节稳定性分析，验证了无病平衡点和正平衡点是全局渐近稳定的；第2小节数据拟合，说明了考虑环境病毒的模型比不考虑环境病毒的模型的染病者数量更贴合实际情况；第3小节参数敏感性分析，展示了R0与参数的相关性；第4小节给出了最优控制策略。

5.1 稳定性分析

定理1和定理2验证了无病平衡点的全局稳定性。运用Matlab数值模拟，假设Λ=100 ，β=0.000 2 ， k1=0.5 ， β1=0.000 1 ， μ =0.069 ， δ =0.000 02 ， k=0.86 ， α =0.006 6 ， γ =0.94 ， m=0.007，μ1=0.06，则R0=0.44<1，新冠肺炎消亡，图2（a）直观验证了系统（1）的无病平衡点是全局渐近稳定的。

定理 3 验证正平衡点的局部稳定性。假设 β=0.002 ， β1=0.000 15 ， δ=0.000 18 ， α=0.02 ，m=0.03 ， μ1=0.029，则R0=4.37>1，新冠肺炎流行，如图2（b）表明系统（1）的正平衡点是全局渐近稳定的。

5.2 数据拟合

本文着重考虑了环境中的病毒使得新冠肺炎间接传播，为证明模型（1）更贴合实际情况，我们将环境传播的仓室W去除，分析如下模型

我们查找了新冠肺炎爆发前期2020年1月21日到2月5日全国的确诊病例数据［17］以及模型（1）的参数（如表1所示）。将模型（1）和模型（13）用Matlab进行拟合，从图3可直观看到带有环境病毒的系统与实际数据更吻合，而不带环境病毒的系统则低估了患病人数。由此，环境中的病毒间接传播造成感染的假设成立，在现实新冠肺炎疫情防控时不容忽视，提醒政府部门要重视对环境的清洁与保护，有健康隐患的地方更需要进行消杀。同时，公民个人也要注意在公共场所正确佩戴口罩，回家勤洗手，多通风，尽量避免接触有环境污染的地方。

5.3 敏感性分析

拉丁超立方抽样是一种有效的统计抽样技术，已广泛用于分析传染病模型领域，本文采用拉丁超立方抽样法和PRCC法在Matlab中进行数值模拟，从图4中可以直观的看到对基本再生数R0有重大影响的参数。其中 μ ， μ1， γ ， α 与 R0呈显著负相关，Λ ， β ， β1， m ， k ， k1与 R0呈显著正相关。进一步表明环境中的病毒间接致人感染的传染率β1和染病者对环境的释放病毒速率m对基本再生数R0的影响极大，环境中的由病毒导致的间接传播不容忽视。

5.4 最优控制策略

令 Λ=100，β=0.002，k1=0.5，μ=0.069，δ=0.001 8，k=0.86，α=0.02，m=0.03，β1=0.000 15 ， γ=0.94， μ1=0.029，则R0=4.37>1。这时得到的最优控制策略如图5（a）所示，出于对医疗技术和成本的考虑，每种控制策略都有局限性，因此设 u1， u2， u3， u4的最大值分别为 0.8，0.9，0.6，0.7，随着时间的变化，所有控制策略均逐渐减小。在图5（b）和图5（c）中，我们比较了具有最佳控制和没有最佳控制的染病者的数量及环境中病毒数量的图的轨迹，发现采取最优控制方法后，染病者和环境中新冠病毒数量快速减少，说明我们的最优控制策略很有效，可使染病人数及环境中的病毒数量控制在相对较低水平。

6 讨论

本文基于环境中的病毒对新冠疫情传播的影响展开分析，首先计算了基本再生数R0，分析了平衡点的稳定性。然后通过数据拟合和敏感性分析，证实了环境中的病毒间接传播不容忽视。最后我们说明了隔离和环境卫生等策略是控制和预防新冠肺炎的有效措施，为政府部门和个人应对疫情提供了建议，对外界被污染的环境须及时消杀，个人须注意采取防护手段，尽量避免去人口密集的地方，防止接触被新冠病毒污染的环境。