海水压力到深度近似计算方法与误差分析

李超

中海辉固地学服务（深圳）有限公司 广东 深圳 518067

引言

高精度绝对水深测量在地球物理与岩土工程的研究中越来越重要，其中寻求厘米深度变化的板块构造运动和水库沉陷监测就是其中的一些例子。

在海洋工程用中，海底结构物安装和检测作业，跟踪潜水员、水下机器人（ROV）、水下自动潜水器（AUV）和结构物也需要绝对深度。取决于所进行的工作类型，跟踪这些被测物所需的精度可能不太统一。国际海事承包商协会（IMCA）提供了有关测量指南和精度的标准。

相对深度调查（相当于海底高度测量）也需要准确的深度确定。例如，膨胀弯尺寸测量需要确定管接口之间的深度差，以精确定制弯曲的跨接管；或者需要进行路径深度测量以确定长基线（LBL）声学应答器阵列深度，预期精度通常就是测量传感器精度。

测量精密准确的绝对深度是一项复杂的工作，压力到深度转换的基本概念是静水压力，其中在时间（t）与海洋某个位置（x，y，z）测得的压力可以表示为方程：

其中：x和y表示水平坐标，z是表面上z=0的垂直坐标。静水压力 (p0) 是位置(x,y,z)上方静止水团重量施加的压力的函数，由水柱的高度(z)量化；p′是海洋不断运动引起的压力的动态分量，它捕捉了压力从静态状态的所有偏离。最后，pa是作为空间和时间函数的大气压力。计算水的重量需要估计重力(g(x,y,z,t))和水密度(σ(x,y,z,t))这两个复杂的函数。

为了简化数学问题，静水压力方程忽略了动态分量，简化了假设条件。

静水压力到深度的转换正式表示为：

其中：（dz）表示深度变化，与由密度（ρ）和重力（g）定义的水柱重量引起的压力（dp）变化直接相关。

水的密度被定义为其单位体积的重量，其特征是水的溶解矿物含量或盐度（s）的函数，其温度（t）和由水柱的重量所施加的压力（p）。海洋中的海水密度在深度上、地理空间上和时间上差异很大。重力是距离地心的高度及其整体密度质量的函数，它随地理位置而变化。在物理学中，它可以看成是距离地心的高度(z)和纬度（ø）或g=f（z，ø）的函数。

即使考虑了这些变量，方程（2）没有常规解，必须采用数值积分方法。

计算深度需要测量静水压力、水密度剖面测定值和该位置的纬度。压力是用应变计或石英压电传感器测量的，密度分布是通过电导率、温度和深度（CTD）传感器测定的。

随着时间的推移，压力传感器也在不断发展和改进。第一批型号不像现代传感器那样精确，而且要贵得多。海洋中使用的第一个应变计压力传感器的精度通常为总量程的0.1%左右，而现代石英传感器的精度为0.01 %或更高[1]。近几年在研究压力传感器漂移与实时去除技术方面的研究进展将为石英压力传感器的精度提高一个数量级[2]。

1 压力深度计算的发展

公式（2）的大多数近似计算都是基于桑德斯和福夫诺夫在1976年的研究成果[3]，公式（2）的积分得到如下：

积分来自于假定静水压力为零的海面。在实际应用中，这是通过在海平面上去除压力传感器上的大气压力读数来实现的。

假设重力模型弱且线性依赖于压力：并进一步简化以深度代替压力（或z代替p），它可以在公式（3）中实现。跟据此近似值引入的深度计算的误差估计在10000m水深中为5cm。上面的重力模型非常简单，忽略了重力异常，这些异常估计会产生的影响为5000m水中高达0.5m的变化。

将上述重力模型代入方程（2），得到：

其中：g0（用m/s²表示）是该纬度的表面重力，ø（单位°）和γ是压力（p）的平均重力梯度，单位为kg/m²。α代表海水的比体积，只是其密度（ρ）的倒数，单位为kg/m3。这是海洋学文献中表达密度的一种常用方式。

公式（5）可以通过使用测量的密度分布和压力测量的数值积分来求解。为了便于讨论，本文将该方程称为流体静力深度的数值解。

桑德斯和福夫诺夫提出了一个仅基于压力的近似计算公式（5），这将消除测量密度的需要，然后增加了一个针对特定海洋盆地的表格校正项。他们建议使用如下组合关系式：

其中：∝0描述了一个被称为“标准海洋”比容的海洋学概念，而∂描述了与这个基本状态的偏差，或者一个特定海洋盆地的比容异常。将（6）带入公式（3）得到如下公式：

其中：第一项表示标准海洋条件下的压力与深度关系，第二项表示局部密度效应或与标准海洋条件偏差对深度的影响，即所谓的地势异常。

用这种方式表示压力深度关系的优点是，第一项只取决于压力和纬度。根据桑德斯和福夫诺夫的说法，第二项被认为是较低阶的，估计在5000m的深度处仅有从0m到3m影响。需要注意的是，当时提出这种近似计算方式时，压力传感器的精度低于第二个修正项的影响，因此在许多情况下，可以忽略它。

1.1 联合国教科文组织（UNESCO）近似计算方法

福夫诺夫和米勒德在1983年通过拟合压力的四阶多项式代入到基于EOS-80密度公式精确计算值的表中，导出了公式（7）第一项更精确的近似计算。此表包括在0～12000 dBar范围内的值，拟合后的精度估计为0.0002m或更高。这是相对于测试数据的相对精度，而不是绝对测量精度[4]。联合国教科文组织压力到深度关系公式为：

其中：ø为纬度。地势异常可以通过解析公式（7）中的第二项，提高该近似计算的精度。为了便于比较，本文将把两种方法称为“教科文组织密度法”公式（7）和忽略地形异常的“教科文组织压力法”公式（8）。

1.2 平均密度近似计算方法

对公式（5）最简单的近似计算是假设密度不取决于压力，然后用从海平面的测量水深的平均密度（ ）替代。

针对测量水深的压力计算公式：

这是忽略了海水可压缩性的压力与深度的线性关系。压缩性效应由海水的体积弹性模量来描述。据福夫诺夫和米勒德在1983年研究成果中的估计，海水压缩在1500m的水深中约为1%。

1.3 数值解

下面给出公式（5）如何用数值积分方法消除了前面描述的压力到深度近似计算的需要。然后将该解决方案与不同的近似值进行比较，以突出它的不准确性和局限性。公式（5）可以用一种称为“梯形积分法”的数值积分方法来求解。应遵循的步骤有：

1.3.1 对从海面到海床的水柱进行CTP剖面分析。理想情况下，应该每1dBar（大约1m）测量一次，在浅水区的间隔要略小。按照WG51-1991的规定处理CTD记录的数据；

1.3.2 根据福夫诺夫和米勒德在1983年的研究，使用EOS-80公式计算剖面密度，并根据测量位置的纬度，使用国际重力公式计算局部表面重力；

1.3.3 采用合适的数值积分方案来计算密度对压力的积分，如梯形积分。理想情况下，制作一个表格，其中一列为增加的水柱压力，一列为每个压力相对应的密度对压力的积分值。

该方法适用于计算有CTD剖面数据的深度。

2 海洋工程深度测量实践

目前，我们在海洋工程水深测量实践中，Tritech与Valeport两家公司的高精度深度计系列产品较为常见。

Tritech产品使用的计算公式为[5]：

其中：p单位为PSI，为数字石英深度计测量的绝对压力；a单位为mbar，是海面大气压力；d是CTD测量的海水剖面平均密度；0.01450377 是mbar到 psi的转换系数；0.70307 是标准密度的水由psi 到米转换系数；Glocal是当地重力加速度。

从上面公式可以看出，计算深度计算考虑了当地的重力加速度，这是纬度的函数。深度计算中使用的当地重力加速度值由以下公式计算得出：

其中：Ge为9.7803184m/s²，B1为0.0053024，B2为-0.0000059，Lat单位为°，是当地纬度。

Valeport产品介绍中指明使用完整的UNESCO深度计算公式，以实现更准确的深度测量；同时使用UNESCO的标准方法，对水密度变化进行积分，由压力计算深度，而不是仅平均密度的简化方法。

Tritech产品使用的是使用密度和重力公式的静水力学方程，而Valeport产品是使用的完整UNESCO深度计算公式。两种产品的石英压力传感器精度相同，我们可以通过比较两款产品的计算结果来评估两种计算方法的精度。

2021年，作者通过南海陵水海域1500m水深区域的工程项目，ROV同时安装上述两款深度计并对它们的测深结果进行了比较。按操作规范，在海面处Set Tare，导入相同CTD密度剖面，通过在ROV工作层采集的计算深度的比较，两款设备的深度平均值差0.001，标准方差相差0.01（净值均小于0.02）。由此在海洋工程深度测量的需求上看，静水压力方程的数值积分与联合国教科文组织密度公式深度计算结果基本一致并满足工程实际。

3 结束语

基于压力的深度近似解方案的误差现在通常大于压力传感器的误差。应利用现代海上测量装备提供的丰富密度数据计算深度，从而发挥石英基压力传感器精度的全部潜力。

静水压力方程的数值积分得到了与联合国教科文组织密度公式相同的深度计算，可以被认为是一个更完美的解决方案。实践中，通过基于密度得到的深度近似计算值与联合国教科文组织的压力计算结果对照是对密度测量的一个很好的粗检查。

平均密度公式应谨慎使用，并在其规定的范围内使用。

对于这里所讨论的相对深度计算，误差通常小于压力传感器的精度。这与石英压力传感器表现出的压力变化范围小和高分辨率的优势有关。