构造偏移函数在“极值点偏移”问题中的应用

王丽萍

(山东省淄博市高青县第一中学)

极值点偏移问题是高考命题的常考题型,此类问题题型丰富,方法灵活,是考查学生思维能力的重要载体,且常以压轴题的形式出现,因此也成为学生解题中的难点问题.极值点偏移问题的求解方法较多,常用的主要有构造偏移函数、比值换元以及对数均值不等式等.本文通过分析极值点偏移问题的命题背景,重点归纳总结构造偏移函数法的本质,并应用其处理2022年高考全国卷导数压轴题,以期帮助学生提升解题能力.

1 考题展示

题目(2022年全国甲卷理21)已知函数f(x)＝.

(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;

(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则

x1x2＜1.

本题的命题背景就是极值点偏移,此类问题在近年高考中屡见不鲜,包括2021年高考全国Ⅰ卷第22题.下面从背景分析、通法研究、考题解答、问题变式这几个视角对命题视角及解答方法进行探究.

2 背景分析

设方程f(x)＝m的两个根分别为x1,x2,函数f(x)的极值点为x0.

如果x1,x2的中点恰好为x0,即,这种情况我们称极值点无偏移.此类函数在x＝x0两侧,函数值变化快慢相同,常见的二次函数就是无极值点偏移类型的函数.

以此为背景的问题我们称为极值点偏移问题.

3 通法研究

通过对背景的分析,我们不难发现极值点偏移问题有如下几个特征:存在x1,x2且x1≠x2,使得f(x1)＝f(x2);x＝x0是函数的极值点,即函数增减区间的分界点;要证明的是x1＋x2＞2x0,x1＋x2＜等.

对于证明x1＋x2＞2x0的情况,即2x0－x1＜x2,其中x1＜x0＜x2,所以x2与2x0－x1在同一单调区间(x0,＋∞)内,x2与2x0－x1的大小关系可通过f(x2)与f(2x0－x1)的大小关系来判断.又因为f(x1)＝f(x2),从而将问题转化为判断f(x1)与f(2x0－x1)的关系,而这两个函数的变量均为x1,故可构造函数g(x)＝f(x)－f(2x0－x),利用该函数的性质进一步判断.

4 考题解答

下面利用构造偏移函数法解答2022年全国甲卷理科第21题.

(1)函数f(x)的定义域为(0,＋∞),求导得

由f′(x)＝0,得x＝1,在(0,1)上,f′(x)＜0,f(x)单调递减;在(1,＋∞)上,f′(x)＞0,f(x)单调递增,所以fmin(x)＝f(1)＝e＋1－a.

由f(x)≥0,得e＋1－a≥0,所以a≤e＋1,即a的取值范围是(－∞,e＋1].

(2)若f(x)有两个零点x1,x2,则由(1)可知e＋1－a＜0,a＞e＋1.

令0＜x1＜1＜x2,欲证x1x2＜1,即证.即证明.

又因为f(x)在区间(1,＋∞)上单调递增,所以只需证明,又f(x2)＝f(x1),所以只需证.

通过考题解答不难发现处理极值点偏移问题有几个关键环节:1)求函数的极值点;2)对所证结论进行相应变形;3)构造偏移函数,将双变量问题统一为单变量问题,求函数的单调区间.

5 问题变式

2022年高考全国甲卷这道导数题,从命题形式上来看属于比较规范的极值点偏移问题,而有些问题表面上看与极值点偏移类型不符,但通过等价变形,可转化为极值点偏移问题.

变式1已知函数.

(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;

(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则

x1x2＜2.

分析本题将第(2)问中x1x2＜1,改为x1x2＜2,2不是函数f(x)的极值点,不能机械地套用通法.如果x1x2＜1,则必有x1x2＜2,所以问题的解答仍从证明x1x2＜1入手.另外还有些题目将其中的极值点参数化,但解题所用的通法不变.

变式2已知函数,若存在x1,x2且x1≠x2,使得f(x1)＝f(x2),证明:.

分析本题从所证的结论看,与极值点偏移类型不符,我们先来研究函数的单调性,对函数求导得即f′(1)＝0,当x＞1时,f′(x)＜0,函数f(x)单调递减;当x＜1 时,f′(x)＞0,函数f(x)单调递增.因此,证明,即证,即证,进而转化为极值点偏移问题.

变式3已知函数,x1,x2是函数f(x)的两个零点,且x1＜x2.

(1)求实数a的取值范围;

分析若本题第(2)问也按变式2的方法,先求函数f(x)的极值点,但求导后发现导函数的零点无法求出,使解题陷入困境.

高考中的极值点偏移问题,虽然较为抽象,综合性强,问题的求解要求学生具有较强的数形结合能力、化归与转化能力,但是只要我们能准确识别条件、抓住转化关键点、明确问题求解的通性通法,即可化难为易,轻松破解.

(完)