探究含量词的双元型不等式求参问题

戴乐乐

(浙江省宁波市北仑区泰河中学)

在一些含有存在量词或全称量词的导数综合问题中,常常出现含有两个变元x1,x2的不等式,根据不同的数学用语,这些问题也体现出不同的数学含义,经过等价转化后可将所求问题变形为不同情形下关于两个函数最值的不等式问题.本文对此进行分类归纳,并通过对几个典型例题的分析,探求一些常用的解题方法,供读者参考.

结论1若∀x1∈D,∀x2∈E,都有f(x1)＜g(x2)恒成立,则fmax(x)＜gmin(x).

当x∈(0,＋∞)时,,解得x＝上单调递减,在)上单调递增,故fmin(x)＝2e,所以f(x)≥2e,当且仅当x＝时,等号成立.

结论2若∀x1∈D,∀x2∈E,都有f(x1)＞g(x2)恒成立,则fmin(x)＞gmax(x).

结论3若∀x1∈D,∃x2∈E,使f(x1)＜g(x2)成立,则fmax(x)＜gmax(x).

结论4若∀x1∈D,∃x2∈E,使f(x1)＞g(x2)成立,则fmin(x)＞gmin(x).

当x∈[1,2]时,f′(x)≥0,所以f(x)在[1,2]上是增函数,故.又g(x)的对称轴为x＝b,对于x∈[1,2],当b＜1时,gmin(x)＝g(1)＝5－2b.由,解得,这与b＜1矛盾,不符合题意;当1≤b≤2时,gmin(x)＝g(b)＝4－b2.由,得,这与1≤b≤2矛盾,不符合题意;当b＞2时,gmin(x)＝f(2)＝8－4b.由8－,得,满足题意,故实数b的取值范围是.

结论5若∃x1∈D,∃x2∈E,使f(x1)＞g(x2)成立,则fmax(x)＞gmin(x).

当x∈[1,2]时,有fmax(x)＝f(2)＝1.依题意,当x∈恒成立,等价于a≤x－x2lnx恒成立.设

h(x)＝x－x2lnx(x∈[1,2]),

则h′(x)＝1－x－2xlnx,当1＜x＜2时,h′(x)＜0,所以h(x)在区间[1,2]上是减函数,所以hmin(x)＝h(2)＝2－4ln2,则a≤2－4ln2,即实数a的取值范围是(－∞,2－4ln2].

结论6若∃x1∈D,∃x2∈E,使f(x1)＜g(x2)成立,则fmin(x)＜gmax(x).

综上,实数a的取值范围是.

(完)