双变量不等式问题的求解方法

郑宏宝 吴晨亮

(西安市经开第三中学)

在函数与导数的问题中,双变量不等式问题常常以压轴题的形式出现在高考中,这类问题要求学生有较高的思维水平和较强的转化能力,能较好地考查学生的综合素养,因而备受命题者青睐.那么双变量不等式问题,主要有哪些解法呢? 本文对此举例说明.

1 极值点消元法

设函数f(x)有两个极值点x1,x2,如果需要证明与f(x1),f(x2)有关的不等式,或根据给出的与f(x1),f(x2)有关的不等式,求参数的取值范围,由于有两个变量(x1,x2)和参数,处理起来较困难,此时可运用x1,x2是方程f′(x)＝0的实根来建立x1,x2和参数的关系,通过消元将问题化归成单变量问题.

(1)若f(x)在(3,＋∞)上单调递减,求实数a的取值范围;

(2)若a＞0,f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:.(1)由题意可得在(3,＋∞)上恒成立,则在(3,＋∞)上恒成立,令,利用导数可求出其最小值为,故,即a的取值范围是.

(2)由(1)知x1,x2满足x2－ax＋1＝0,所以x1x2＝1,不妨设0＜x1＜x2,则x2＞1,所以

所以g(x)在(1,＋∞)单调递减,又g(1)＝0,所以当x∈(1,＋∞)时,g(x)＜0,所以即.

2 整体换元法

整体换元法也是解决双变量问题的一种方法.若能将要证明的不等式或目标代数式通过变形转化成关于(或x1－x2)的整体结构,通过将(或x1－x2)换元成t,把问题化归成单变量问题来处理,进而再构造关于变量t的函数解决问题.

(1)求函数f(x)的最大值;

(2)若关于x的方程有两个不相等实数根x1,x2.证明:.

设g(x)＝ex＋x,显然g(x)在R 上是增函数,又g(x＋lna)＝g(ln(x＋3)),所以有x＋lna＝ln(x＋3),即方程ln(x＋3)－x＝lna有两个实数根x1,x2.

由(1)可知f(x)＝ln(x＋3)－x≤2,则有lna＜2,所以a的取值范围为(0,e2).

因为方程f(x)＝lna有两个实数根x1,x2,所以

故只需证x1＋3＋x2＋3＞2,即证

1)将方程实根个数转化为ln(x＋3)－x＝lna有两个实数根x1,x2.

2)通过变形,消去a并得到关于x1,x2的表达式,进而利用换元得到关于单变量t的函数表达式.

3 转化同构法

若题干给出在区间D上,对任意的x1,x2,关于x1和x2的某不等式恒成立,且该不等式对x1和x2具有轮换对称性,则这类问题一般根据不等式的等价变形,将原不等式化为F(x1)＜F(x2)这种同构形式,进而利用函数的单调性进一步研究待解决的问题.

(1)若函数f(x)的最大值为1,求实数a的值;

(2)证明:当m＞n≥1 时,nlnm－mlnn＜2(m－n)＋nem－men.

解得a＝1.

(2)欲证nlnm－mlnn＜2(m－n)＋nem－men,只需证即证

由(1)知当a＝1时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,所以当m＞n≥1 时,.

即

nlnm－mlnn＜2(m－n)＋nem－men,

命题得证.

以上三个问题都是具有较高难度的压轴题,从三种不同类型题目的解法中不难看出,无论是消元、换元还是同构一元函数,其本质是一样的,都是将二元问题转化为一元问题来解决,这也是这类问题的难点所在.

(完)