知方法 明算理 悟本质

吴俤仙 郭秋妹

（福建省武夷山实验小学 福建省德化县尚思小学）

“摆一摆，想一想”是人教版数学一年级下册“综合与实践”中的一个知识。这个知识复杂、抽象，又有较强的逻辑性，对于以具体、形象思维为主的小学生来说，要学好、学深、学透，显得力不从心。教师应立足教材的内在联系，关注学生现实起点，让学生有足够的时间和空间，经历操作、观察、推理、验证等数学活动，使每个学生各得其所地发展。

一、动手操作，调整策略知方法

学生在学习本节课“摆一摆”前已有两方面的经验。一方面，会用圆片表示具体的数量：知道了“8”可以用8 个圆片表示；“12”可以在计数器十位上摆1 个圆片，个位上摆2 个圆片表示。另一方面，建立了数位与位值的概念：知道11 左边的“1”在十位上，表示1 个十；右边的“1”在个位上，表示1 个一；两个“1”所在的位置不同，所表示的意义也不同。教师要基于学生已有的认知起点和思维特点，引导学生动手操作、自主探究摆的方法，并调整、优化摆的策略，从而实现由无序摆到有序摆的思维提升。

教师在黑板上贴出数位顺序表（如图一），问：“用1 个圆片在这个数位顺序表上摆数，怎么摆？各表示什么意思？”学生畅所欲言。“把这个圆片摆在个位上，表示1 个一，这个数是1。”（如图二）“把这个圆片摆在十位上，表示1 个十，这个数是10。”（如图三）

图一

图二

图三

“用2 个圆片在这个数位顺序表上摆数，怎么摆？”学生有了1 个圆片的初步经验，很快地摆出了2、20、11 三个数：“把这2 个圆片摆在个位上，这个数是2。”“把这2 个圆片摆在十位上，这个数是20。”“把这2 个圆片1 个摆在十位上，1 个摆在个位上，这个数是11。”（如下图所示）

学生通过两次动手操作，对怎么摆积累了一定的经验。教师要求学生以小组为单位，先列出一个数位顺序表，然后在表上画出用3 个圆片所摆的数。学生交流“画”出来的数时，为或重复，或遗漏，或没有一定的顺序而争执不休。教师趁热打铁，“同学们在纸上‘画’出了21、30、3、12 四个数。听起来有点乱，要是在数位顺序表上摆一摆，怎么摆？”

一个学生跑上讲台，把3 个圆片摆在数位顺序表的个位上，说：“把这3 个圆片摆在个位上，这个数是3；然后移1个到十位，这个数变成了12；再移1 个到十位，变成了21；把最后剩下的1 个也移到十位，所得的数是30。也就是说，用3 个圆片摆数，可以摆3、12、21、30 四个数。”（如下图所示）

另一个学生深受启发，汇报了与上台学生相反的摆法。思路不同，方法有异，得到了30、21、12、3 四个数。（如下图所示）

学生操作后，教师用课件演示两个同学的摆法，追问：“你们觉得要怎样摆才能做到不重复、不遗漏？”在交流中，学生逐步明确：把要摆的所有圆片放在个位（十位）上，然后向左（向右）逐一移动一个圆片，直至把圆片都移到十位（个位）上，这样才能做到有序，既不重复又不遗漏。

以上教学，学生用1 个、2 个圆片进行摆数，唤醒摆数的已有经验，温习了数量、数位和位值的意义。用3 个圆片画可以摆的两位数时，因“乱”打破认知的平衡点，造成思维上的冲突，迫使学生用圆片摆数时，要按一定的顺序来摆，初步感受了摆数的方法和不遗漏的“绝招”。整个过程自主、开放，学生经历了实物—符号—初步抽象的学习过程，有效地实现了无序思维向有序思维的自觉转换与突破。更重要的是，学生在操作中思考，在思考中调整，在调整中优化，不知不觉触摸到数学的本质，改造与提升了“已有的学习经验”。

二、纵向沟通，数形结合明算理

以上环节，学生对摆数的方法有了初步的理解和掌握。但是，我们在教学中也发现，多数学生在思考4 个、5 个、6 个圆片可以摆哪些数时，仍懵懵懂懂。有的摆圆片，有的画图示，有的比手势，一片茫然，底气不足。究其原因，学生用圆片摆数，有圆片依托，思维嫁接在具体事物上，思路清晰，条理清楚；一旦离开圆片，失去了支撑的具体事物，思维由简单变成了复杂，由具体变成了抽象。对于“圆片”可以组成哪些数，可以组成几个数，就心中无数了。

其实，圆片摆数，其背后隐藏着一年级上册学过的“数的组成与分解”的知识和技能。教学时，很重要的一条就是要沟通“数”与“形”之间的联系，促进学生借“形”学“数”，“数”“形”结合，找到摆数的“根基”——算理。

上面用3个圆片摆数，按有序思维考量，就是从“个位”或“十位”摆起的两条思维“路径”。这两条“路径”“退”到数的认识中，就是“数的组成与分解”。（如下图所示）

从3 的组成与分解可以很直观地看出：3 的组成的第一个加数，相当于圆片摆在数位顺序表中十位上的数；第二个加数，相当于数位顺序表中个位上的数。3 的分解左边的数，相当于圆片摆在数位顺序表中十位上的数；右边的数，相当于数位顺序表中个位上的数。所以用圆片摆数，可以在学生积累了一定摆数经验的基础上，引导学生把所摆的数进行组成、分解，再根据组成、分解的图示进行写数，甚至可以借助已十分熟练的“数的组成与分解”直接写数，从而打通“数”与“形”结合的通道，明确摆数中的算理，减缓摆数的坡度，提高摆数的正确率。

摆数的思维起点是数的认识，组成与分解是其内在的逻辑关系。组成与分解的两个数，相当于两堆圆片，一堆放在个位上，表示几个一；另一堆放在十位上，表示几个十。其间的道理是相通的，方法是一样的，只不过从数的组成与分解这个角度来摆数，更为熟练，更为简单，更好操作与理解。

三、拓展延伸，整体观察悟本质

通过三次摆数的实际操作，加上3 的组成、分解对“用3 个圆片摆数”的印证，深化了学生对算理的理解。学生在此基础上，对4 个、5 个、6 个、7 个、8 个圆片等可以摆的数已十分清晰、明了。所以教师可以直接问学生，“4 个、5 个、6 个、7 个、8 个……18 个圆片摆数，怎么摆？”根据学生所摆的数及个数，逐一板书。（如下表所示）

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很多教师在教学本节课时认为，一年级学生只要初步知道摆数的方法即可。所以只让学生用1—9 个圆片摆数，然后观察所摆的数，发现其中的特点：“所摆的数的第一列，正好是圆片的个数”“所摆的数的个数比圆片的个数多1”“所摆的数每一位上的数的和正好是所摆圆片的个数”“圆片的个数越多，所摆的数的个数越多”……

这些本质与非本质属性的“发现”，对于一年级学生来说，可以视为一种创造思维的历练。针对1—9 个圆片所摆的数，其发现无可厚非；然而从第10 个圆片所摆的数开始，其发现正确吗？如果不加以引导与纠正，可以说是教师教学上的过失。

观察如上用10—18 个圆片所摆的数，不难发现，与用1—9 个圆片所摆的数所发现的规律又是不同的。“用1—9 个圆片摆数，所摆的数的个数比圆片的个数多1。从用10 个圆片摆数开始，则规律不同，所摆的数的个数比圆片的个数逐次少1。”“从用10 个圆片摆数开始，圆片的个数越多，所摆的数的个数越少。”这究竟是为什么？

用10 个圆片摆数，不管是十位还是个位，在一个数位上最多只能摆9 个圆片。从数的组成分析，0+10＝10这个等式在顺序表上不能成立，只有1+9 ＝10、2+8 ＝10、3+7 ＝10 ……这些等式才能成立；从数的分解来看，10 分解成0 和10 在顺序表上也不能成立，只有分解成1 和9、2 和8、3 和7 等才能成立。因为一个数位上的数字至多只能是9，所以10 个圆片摆数，所摆的数的个数自然比圆片的个数少1。由此也说明了一个潜在的算理，用组成与分解考虑摆数时，其中最大的一个数只能是9。圆片个数超过9 时，“所摆的数的个数比圆片的个数多1”“圆片的个数越多，所摆的数的个数越多”这两个发现也就站不住脚了。

用19 个、20 个、21 个圆片……摆两位数，因其中至少有一个数要大于9，所以没办法用这些圆片摆两位数，道理也在其中。

用1—18 个圆片所摆的数，如下图所示。

规律要在全面、系统的知识体系中寻找，千万不要在小范围内妄加总结。像上面所述，如果让学生观察用1—18 个圆片所摆的数的规律，就不会获得那些隐性的错误、伪装的本质属性。因此，教师要与学生一起，从1 个、2 个、3 个圆片摆起，拓展、延伸到摆18 个圆片，再引导学生从整体观察，就不会被假象所迷惑，从而认清知识的规律，获得全面、系统、正确的数学本质，促进学生知识、能力、思想同步发展。

“摆一摆，想一想”，学生“摆”出来的不是几个圆片，而是智慧；“想”出来的不是简单规律，而是数学本质。整个过程，学生领略了“数”与“形”的完美结合，亲历了动手操作、列表统计、整体观察等数学活动，在步步深入的学习中，知方法、明算理、悟本质，理解了知识的“本”，感受了数学的“魂”，积累了丰富的数学活动经验，提升了数学能力核心素养。