城市路网交通拥堵传播模型分析

黄艳国，刘红军，张升升

(江西理工大学电气工程与自动化学院，江西 赣州 341000)

1 引言

随着汽车保有量的持续增长，大大超过了同期城市交通网络和交通设施的发展速度，道路交通资源供需矛盾不断加剧，城区道路的拥堵状况愈来愈严重，这已成为影响居民生活品质、阻碍城市发展的突出问题之一。交通状态演变是一个复杂的动态过程，研究交通拥堵传播，对拥堵的形成原因和形成过程以及缓解道路拥堵具有非常重要的理论意义[1][2]。目前针对交通拥堵的现状，改善城市交通道路的交通拥堵问题，国内外学者开展了许多相关研究[3]。早期的有交通波理论，以流体力学为基本原理，将车流密度的变化类比成水波的波动，分析交通波的传播速度和方向，寻求交通流参数与车辆排队长度之间的关系，阐述车流的变化过程[4]。Cats[5]提出了一种动态随机交通分配模型，通过提高运力效益的方法对路网的可靠性和车流拥挤的演化过程进行了动态建模。Sajjad[6]等提出了一种基于机器学习的技术，根据从路网中大量高速公路环路检测器获得的数据对交通流基本图进行分类和校准，描述了拥堵在时间和空间上的传播和消散模式。JiangZhibin[7]提出了一种基于SIR传染病模型的拥堵传播模型，通过拥堵-易感-恢复的状态变化过程来描述拥堵传播过程。文献[8]利用复杂网络分析交通拥堵的动力学传播特征，建立了交通拥堵病毒传播模型。文献[10]-[11]使用模拟数据从一个校准和验证的中观动态交通流模型，并验证了模型在交通拥堵方面的应用。文献[12]通过对拥堵蔓延速度的影响因素进行量化分析，建立时变的拥堵蔓延速度模型，该模型能够描述交通事件下拥堵蔓延的特征。

在现有研究成果中，城市交通通常为复杂的空间相关性和时间相关性，具有人类行为驱动性和传播性的特征，类似于传染病在人群中的传播或言论在社会网络中的传播。随着移动传感器的发展，路网交通数据有了可靠的来源，这进一步可以实时和宏观地估计道路交通状况。本文通过交通拥堵SIR模型来模拟城市路网中的拥堵扩散，通过实时监视路网并观察拥堵路段的数量，模拟出最小化拥堵的总持续时间以及最小化恢复时间，这可为交通管理和控制策略提供一定支持。

2 拥堵特性分析

2.1 交通拥堵特征及成因分析

城市路网交通是随着车流变化而动态变化的过程，它包括行人活动、车流波动、道路结构变化之间的相互作用。交通状态一般分为畅通和拥堵，在畅通和拥堵之间存在阈值，阈值可以是车流速度、车流量、车流密度等可量化的交通流指标来表示。在不同的道路结构、不同的时间段、不同的天气状况其交通拥堵产生原因、严重程度存在明显差异。交通路网中拥堵状态的产生与交通网络的内因和外因有关，外因包括天气、突发状况等，内因包括路网结构、道路通行能力和出行需求等。拥堵状态的传播媒介为路段间运行的车流，主要集中在交叉口处。城市交通拥堵传播特征包括[13]：①交通控制策略、出行环境等多个复杂因素对交通路网的影响。②拥堵一般发生在路段口，因此拥堵传播与交叉口在路网中的拓扑结构、出行需求相关，路段通行能力越大，拥堵消散越快。③车流是城市交通路网拥堵传播的媒介。利用车辆实际速度与道路最大速度比值来定义拥堵强度，当拥堵强度大于道路的阈值时，则路段就会产生拥堵。路网中的队列溢出对路段容量很敏感，路段容量在欠饱合和过饱合的条件下难以保持稳定，拥堵还会在恢复过程中表现出碎片化，从而导致更大的空间异质性[14]。

2.2 基于传染病传播思想的交通拥堵特性分析

传染病有三种典型的个体：易感染者S，与感病者接触后易受到感染；已感染者I，可以传播给S类个体；移出者R，被隔离或因病愈而具有免疫力的个体，既非易感染者S也非已感染者I[15]。同时也有两个传播过程，首先是易感个体与感染个体接触后发生感染，若没有通过及时隔离和治疗，感染者会继续传播给接触的人，然后若每个感染个体被隔离和控制，将会变成移除状态，这个状态的个体将不会再次感染上病毒，也不会再去感染其它个体[16]。在传播过程中，感染者作为传播源，携带者受到病毒的感染，也会变成传播者。传染病的传播过程如图1所示，图中圆形表示个体，箭头指向表示传播方向。

图1 传染病的传播过程

根据传染病的传播过程，来分析城市道路拥堵的传播过程。城市路网结构由路段交叉口和路段组成，因此采用路段来分析交通拥堵传播过程。为了能更好的表示交通拥堵的传播，首先构造交通拥堵信息传播的路段，如图2所示。若L0路段处发生交通拥堵，下游路段L5、L6、L7会变得畅通，当后续车辆陆续到达该处时，会将该处的拥堵状态以传递的形式传播到L1路段，邻近路段L3和L4也会造成一定程度的拥堵。若拥堵持续，则L2也会加入拥堵状态，拥堵会通过道路传播到上游路段，同时，由于道路本身的通行能力机制作用和交通管理人员的共同作用，下游路段拥堵会逐渐消散，而且上游路段拥堵蔓延会继续向后传播，若交通拥堵一直持续，则最终会由点到线，甚至到面的传播。邻近的非拥堵路段在拥堵路段发生时，可能受其影响，被“感染”成拥堵路段。也可能会因拥堵源慢慢消散或者交通控制策略，使得上游拥堵得到缓解变成非拥堵路段。这种现象与传染病的传播具有一定的相似性，都具有渐变过程和人工干预特性。对于渐变性，路段成为拥堵路段前，具有易感和免疫特点。对于人工干预性，医疗水平可以控制传染病的传播，交通控制也能减缓拥堵。因此传染病与交通拥堵有类似的传播规律，可借鉴传染病模型来研究交通拥堵的传播规律。本文根据研究需要，选用交通流速度、排队长度、行程时间等数据，并对数据处理得到可作分析需要的数据结构。

图2 拥堵传播道路结构

3 基于SIR的交通拥堵传播模型

3.1 SIR模型

SIR 模型中节点状态分为易感染态(S)、感染态(I)和治愈态(R)。治愈态节点是由感染态转化到正常状态的节点，将不再受感染节点的影响。易感染态节点被感染后将会以β的概率转换为感染态节点，而感染节点会以概率μ恢复为治愈节点，三种状态之间的转化过程如图3所示。

图3 SIR模型状态转化过程

假设在t时刻，s(t)为易感态的个体占比，i(t)为感染态的个体占比，r(t)为治愈态的个体占比，则传染病SIR模型的动力学方程如(1)所示，在传染病SIR模型中，感染初期时，感染态个体的数量与时间成正比，但随着时间的延长，由于模型中有治愈态的节点，因此会有部分节点被治愈并且不会再次被感染。当传播持续时，整个传播范围内可能只存在易感态和治愈态两种节点。

(1)

3.2 交通拥堵传播模型

由于SIR模型的拓展能力和运算效率较高，可以较快的发现拥堵的传播规律，因此可以构建交通拥堵传播模型，并呈现路网中交通拥堵随着时间和空间变化而进行扩散、消散甚至转移的过程，拥堵的消散可以看作是拥堵传播的逆过程。在提出的路网理论框架中，节点表示交叉路口，路段表示任意两个交叉口之间的道路。对于路网中的每个路段，都有随时间变化的速度vi(t)，将路段上的最大限速表示为vimax(t)，定义

(2)

中λi(t)是路段实际速度vi(t)与路段最大速度vimax(t)的比值，使用阈值ρ将每个路段分为处于拥堵si(t)=1和自由流状态si(t)=0状态，其中ρ是代表不同拥堵级别的预先确定的阈值。

(3)

在道路平均混合的假设下，使用微分方程(ODE)系统描述拥堵传播的动态过程，模型的动力学方程如下所示：

(4)

(5)

(6)

其中c(t)为路网中拥堵道路的占比，f(t)是自由流道路占比，r(t)是恢复的道路占比，k表示拥堵节点处与其相邻接触的路段数。假设在道路上的车辆数保持动态平衡，所以c(t)+f(t)+r(t)=1。此外，R0=kβ/μ对应于传染病模型中“基本传染数”。一般与拥堵周期，传播方向，路段车辆的接触频率有关，R0越高，拥堵在整个路网中传播的速度越快，如果R0≤1，则拥堵不会在路网中传播。若已知R0，建立的模型可用于预测拥堵何时达到高峰以及恢复需要多长时间，这可用以优化各种流量管理和控制策略。

3.2 参数分析

根据上面建立的交通拥堵传播动力学方程可以看出，需要通过参数分析确定参数的范围。如果参数估计的过低会导致规律的无效性，估计过高会导致规律的单一性，因此参数的估计尤其重要。为了估计所提出模型的参数，使用带有模式搜索算法的普通最小二乘(OLS)方法，进行参数估计，如式(7)所示。将公式化为一个最小化问题，找到最小化模型均方根误差的参数值。

(7)

其中L为误差和，为使能较准确地估计参数，应使L尽可能小，yi为第i组因变量，xi为第i组自变量，w为系数变量，利用每组交通数据进行参数估计。对于不同的路网结构基本传染数R0一般是不相同的。例如不同的道路等级和道路的容纳量其传染数不同，在早晚高峰时期以及平峰时期，车流具有不同的变化规律，所以每个时段内的拥堵恢复概率也不相同，这要根据具体的道路和周围路网结构来进行计算。

4 仿真验证与分析

4.1 路网数据获取

依据交通平台对路网结构进行获取，从整体出发，按照不同权重进行计算，例如在某一路段上行驶的车辆越多，那么整体路网中所占的权重就越大，对所有道路进行加权，然后依据出行市民对交通状况的反馈，对大量数据进行聚类分析，将拥堵数据转换成具体的交通指数[17]。优势在于信息丰富、数据量大以及数据具有很强的动态性。在高德地图交通平台上选取不同城区为分析对象，交通数据选取2021年1月某日特定时间上下班高峰期的数据，包含杭州市不同城区拥堵指数和速度如表1所示。为了数据的准确性，在智慧交通数据平台上获取杭州市的相同时段数据和相同类型数据同时分析，模拟路网流量拥堵的传播动态过程。拥堵指数为实际行程时间与畅通行程时间的比值，拥堵指数越大代表拥堵程度越高。

针对不同城区，选取萧山区里的北塘河公路作为研究对象，北塘河公路从长山一号桥到中新桥，东向西走向，从东向西的交叉路依次是建设一路、通惠北路、宁税路和宁东路。现根据研究需要，对路网及周边结构进行获取，由于路网结构图太大，这里只截取部分如图4所示。

图4 北塘河公路道路路网

4.2 仿真分析

在道路结构路网中，从拥堵道路的数量是增加或减少，可以直观的看出拥堵是在传播还是在消散。因此SIR模型作为一种三态模型，符合现实交通情况，对北塘河公路由西向东的车流流向方向，选取邻近的50条支路来构成一个路网，若选取的支路数越多就越符合真实的拥堵传播，由于道路数较多，这里就不列举出来了。以选取的工作日为基础，以北塘河公路和宁税路的交叉口为中点，如上图4所示，图中直线为北塘河公路，箭头位置为交叉口。在上下班的高峰期时，以某个时间点根据车流的速度变化根据式(2，3)计算道路λi(t)值，根据道路的阈值来判断道路是否为拥堵，当拥堵开始时，用交通拥堵模型来计算出拥堵的道路占比和恢复道路占比，如图5所示。

图5 路网拥堵和恢复曲线

针对北塘河公路路网结构，由于每个交叉口都有三条出口，所以节点分布平均值k=3，对于较大的ρ值，不同路网之间的R0差异会增大，这主要是由于ρ较大时拥堵的定义模糊。因此随着ρ的增加，路网之间的差异会影响所研究路网中已恢复流和自由流路段的比例，这与理论SIR模型的情形一致。当分别将北塘河公路路网中周日和工作日进行对比时，根据从基于仿真的动态交通模型和已识别的拥堵道路获得的交通数据，路网中拥堵路段c(t)的比例变化，如图6和图7所示。显示了上午高峰时段6：00-10：00的出行需求曲线数据，依据实际交通数据与基于仿真的数据之间的比较，不同ρ值下c(t)随时间演变，其后数小时为恢复期。

图6 路网模型数据和周末数据比较

图7 路网模型数据和工作日数据比较

尽管所选不同日期的出行需求模式存在差异，但通过数据分析，估计R0值在ρ=0.2-0.3时相差甚微，而在ρ=0.3-0.4时仅略有变化，这表明可以以R0为基础的基本传染数来研究拥堵演化过程，这也与路网交通的传播动力学规律一致，使用较小的ρ值可以更好地与较大的ρ值相比。例如当使用ρ=0.2时，路段中拥堵路段的比例在模拟的第一个小时内几乎没有拥堵，路网中路段尚未形成拥堵。但是当使用ρ=0.9时，路网中将近20%的路段开始形成拥堵，其中路网的拥堵传播曲线如图8所示。

图8 不同ρ值下的i-s曲线

当ρ增大时，拥堵传播和消散均呈指数下降，在排队理论中，队列的大小取决于到达和离开曲线之间的差异，而不是单个到达和离开速率。随着时间的推移，从t=0附近的低值开始，然后逐渐增加，直到在大多数路段到达峰值时才达到t=200min，然后逐渐减小，直到t=400min，如图9所示。

图9 给定ρ值下的c(t)曲线

与交通流理论和运动波理论相一致，在模拟数据中的差异表明了交通拥堵遵循非随机的空间扩展模式。不同的需求对拥堵传播和消散动态存在影响，对于负载为1小时并随后恢复数小时的同一路网，进行了多次仿真，通过减少或增加需求，同时保持交通运行模式相同。然后用模型进行求解。当需求增加时，同一路网的拥堵路段比例也会增加，恢复拥堵则需要更长的时间。路网中的交通拥堵情况受到1小时高峰需求的影响，随后是从t=60min开始的恢复期，路网中拥堵路段的比例随时间演变，c(t)根据需求曲线在t=75min时达到其峰值。当任何给定ρ的需求增加时，路网拥堵的范围将变大并且恢复需要更长的时间。在现实世界中很难预知出行需求，智能手机客服端在一定程度上会获取一段时间内的出行需求，并与路网中的拥堵传播和消散建立关系。在宏观层面，当路段从拥堵中恢复时，它会直到下一个高峰期才会再次变得拥堵。

5 结论

交通拥堵传播规律性研究，是制定交通管理、控制和诱导措施的重要基础。基于拥堵传播SIR模型，对拥堵过程进行了分析，以实际交通网络为研究对象，结合相关交通数据，通过模型对交通拥堵的传播过程以及交通拥堵的特征进行了相关研究，拥堵传播为一种扩散现象，并随着出行需求的增加拥堵程度愈严重，根据交通数据特征信息，对于不同地区，由于城市路网的拓扑结构和出行需求不同，其拥堵传播和消散的时间也是不同的。从实际和模拟两方面表明，可以通过模型来分析城市交通拥堵的传播和消散过程，验证了模型的有效性，对相关交通拥堵演化模式研究有一定的参考价值。若引入考虑多个周期的其它交通状态，增加后续交通数据量可以更深入研究拥堵的恢复过程。