如何解答含有根式的函数最值问题

李国新

含有根式的函数最值问题十分常见.此类问题的命题形式多样，解法多变，难点在于如何除去根号，将含有根式的函数最值问题化简为普通的函数最值问题.同学们需拓宽解题的思路，针对题目的条件，选择最为简便的方法进行求解.本文主要介绍解答含有根式的函数最值问题的三个技巧.

一、三角换元

二、平方

去掉根号的另一种方法，就是将根式进行平方.运用二次方根具有的非负性，将其进行平方，就可以减少根号的个数或者去掉根号，将含有根式的函数式转化为普通的函数式，这样便可根据简单基本函数的性质、图象直接求得函数的最值.

该函数式中含有三个根式，后兩个根号下的式子互为相反数，可先将这两个根式作为整体进行平方，平方后的式子为二次函数式；再利用二次函数的单调性和有界性求出平方后式子的取值范围，即可解题.

三、利用导数法

若含有根式的函数在某个区间内可导，就可以利用导数法来求函数的最值.首先对函数求导，分析导函数与0的大小关系，判断出函数的单调性，求出函数在此区间内的极值；再将其和端点值进行比较，即可求出函数的最大与最小值，从而确定函数的最值.

对含有根式的函数求导的过程较为繁琐，且容易出错，在解题时，同学们要注意谨慎计算.

虽然含有根式的函数最值问题较为复杂，但是同学们只要抓住函数式的结构特征，对根式进行合理的处理，如换元、平方、求导，就能顺利求得函数的最值，破解难题.

（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）