培养高中生数学“四能”的探索与思考*

陈思源 汤建钢 ，2，T

（1.伊犁师范大学数学与统计学院，新疆伊宁，835000；2.伊犁师范大学应用数学研究所，新疆伊宁，835000）

21世纪是需要大量人才的时代，全球绝大多数的国家都非常重视初等教育，并强调要对初等教育进行普及化。我国教育部在2022年初发布了最新的工作实施方案，提出要保障优先发展教育的战略地位，保持国家财政性教育经费支出占国内生产总值比例“不低于4%”[1]，说明我国对教育的重视程度正在直线上升，正在从教育普及化逐渐迈向教育高质量发展阶段。

伴随着我国当前教育的发展，越来越多的学生迈入了高中，继续完成自己的学业，提高自我竞争力。虽然高中教育正在大力发展，但教育逐步转向高质量发展仍有一段路要走，提高当前高中生的数学能力已迫在眉睫。高中阶段的数学课程是三大课程（语文、数学、外语）之一，属于基础课程，在学好基础学科的体系之上，才能向其他学科，即物理、化学等学科方向发展。所以，学好数学对学生的未来发展显得尤为重要，当前国家也出台了相关政策，针对高中的数学课程进行改革。

一、研究现状分析

根据教育部在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《普通高中课标2020》）文件中，提到了数学学科的核心素养是在数学应用与学习的过程中循序渐进地形成、发展起来的；通过对高中数学课程的学习，培养学生从不同的数学角度看待问题，获得发现与提出问题的能力、分析与解决数学的能力[2]。高中数学课程目标诠释了经过对数学的学习之后，能充分地培养学生的数学“四能”，并顺利地对数学知识进行合理应用解决问题，在此基础上逐步发展数学核心素养。要提高高中阶段学生的数学能力，应该考虑前后两个学段之间的衔接，因为数学能力的培养是一个承上启下、逐渐深化的过程。在2022年教育部最新颁发的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《义务教育课标2022》）文件中也提到了以核心素养为导向，引导学生通过对数学知识与方法的运用，培养发现与提出问题、分析与解决问题的能力[3]。《义务教育课标2022》与《普通高中课标2020》都提到了通过对数学的学习，教师能间接地、循序渐进地培养学生的数学“四能”，最终达到在应用数学知识进行问题解决的过程之中，逐步发展数学学科的核心素养。问题解决是数学核心素养发展的焦点问题[4]，并通过培养学生数学“四能”将问题解决，又在问题解决的过程中提高学生的数学“四能”。

但在当前高中数学课堂教学中发现，高中生由于学习压力大，部分教师教学观念落后，使用陈旧的教学方式等各类因素的影响[5]，导致学生对数学的态度是倾向于分析问题与解决问题，发现问题和提出问题这两个方面的能力有着明显的不足[6]，并且对问题的分析和解决也存在一定的固化，在问题解决中始终处于被动状态，不主动运用数学知识解答，最终导致在数学的解题思路、方法和步骤等的创新性上有所不足，需要进一步提高数学教学中“问题解决”的地位[7]，从而提高学生的数学“四能”。

二、培养高中生数学“四能”的策略

数学学科的核心素养是指学生在本学科的学习和实际应用的过程中循序渐进地形成与发展起来，并且具备一定的数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的一种综合体现，是课程目标的精华。数学学科核心素养包含以下几个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。数学学科核心素养与数学能力有着密不可分的关系，整体看来培养高中生的数学“四能”是提高学生数学核心素养的必要条件，所以想要达到高中数学的课程目标，引导学生掌握数学“四能”是一个必不可少的环节。但无论是教师的教，还是学生的学，都要做出适当地变化与调整，最终学生才能掌握数学“四能”的精髓，提高其数学能力。对教师角度而言，数学教师在高中数学的教育教学中需要适当地优化与改进原有的教学方式，提倡以问题为导向，活动为载体，采用问题驱动式的教学方式[7]，引导学生在问题解决时，能从发现、提出、分析、解决这四个方面进行，并创设适当的情境循序渐进地引导学生对数学进行深入思考，同时优化学生的解题思路，并能运用不同知识内容从多种维度对问题进行解答；对学生角度而言，学生应热爱数学，从生活中发现数学，由被动转化为主动，不仅能发现数学之美，还能更有效地培养学生的数学“四能”。以下将对数学“四能”进行单独分析，探究如何培养学生的“四能”。

1.培养发现问题能力的策略

20世纪80年代，美国数学教师协会（以下简称NCTM）曾以问题解决为讨论的核心内容，在世界范围内针对数学的教育改革掀起过一场波澜，最终在反思其后的十年教学实践中发现“不关注问题的产生会制约学生的数学思维发展”[8]，没有发现问题的能力，将堕化学生的数学思维。当前高中生受学习科目多、学习压力大、教师教学方式等客观因素的影响，导致学生在发现问题的能力上有着明显的不足，缺乏自主探究性，所以如何有效、便捷地培养高中生发现问题的能力已经成为教师的重点研究内容。

教师在培养学生发现问题的能力时，应该考虑学生已有的直接经验，并通过激发好奇心带动求知欲，引导学生在生活情境中自主获得发现问题的能力，这样有助于学生的数学能力由内而外得到升华，并能从多角度的数学眼光发现问题。

以数列章节为例，课堂教学首先会讲到数列，然后从数列的定义展开学习等差数列与等比数列。在传授等差数列相关内容时，教师可以从生活中常见的例子出发:第一天存1元，第二天存2元，长此以往，第100天存100元，有发现什么规律吗？通过实例引导学生进行归纳推理，体会从特殊到一般的思想，并发现在生活中有数不胜数的内容与等差数列有所联系，从侧面激发学生的好奇心，通过好奇心驱使求知欲，归纳出等差数列的通项公式。在布置课后作业时，将原本练习课本习题的方式更改为在生活中找出有关实例并解答，不仅能复习新知，还能培养学生发现问题的能力。学习等比数列也是如此，可以借助生物学科中分裂的知识进行导入：例如一个细胞，在没有外部限制的情况下，每小时分裂由一到二，24小时后会有多少细胞？教师可以引导学生自己发现问题并进行归纳推理，从特殊归纳到一般规律，得到等比数列的通项公式，并且教师在布置课后作业时候，应倾向于从生活出发，寻找生活中有关等比数列的例子，引导学生从生活中发现数学的存在，提高从数学角度发现问题的能力。

通过对该课程的学习，学生可以掌握等比数列与等差数列二者的定义，并在生活中找寻数学的身影，有利于学生明白数学一直在其生活之中，打消数学“无用论”的想法，提高学习数学的积极性，对数学的情感抱有积极状态有助于减少认知负荷[9]，能更有效地培养学生发现问题的能力。

2.培养提出问题能力的策略

问题的提出对数学学科发展的重要性不言而喻，培养高中生提出问题的能力是当前社会对教育发展、创新的迫切需要[10]。伟大的科学家爱因斯坦曾说过，提出一个问题通常情况下比解决一个问题更加重要，因为提出问题往往需要想象力与创造力[11]。NCTM指出教师在教育教学中应注重学生提出问题的活动[12]，在我国的教育改革中，也着手于探究培养学生提出问题的能力[13]。伴随着问题提出走进当前的课堂教学研究，问题提出逐渐成为广大研究数学的教育者与一线数学教师共同关注的研究内容[14]，并发现对提出问题能力的培养，除了能加强对数学的推理能力之外，还对激发学生在数学方面的学习动机、学习兴趣，以及对提高合作、沟通能力都有巨大的裨益[15]。

美国教育家Silver重新定义了曾被全球数学教育家所普遍接受的有关问题提出的理论，认为问题提出是探索情境后提出新问题[16]；研究者Zaenab尝试放弃讲授法的授课模式，而引入了更加有趣新奇的“问题提出”的学习模式，并对学生的数学能力进行研究发现，“问题提出”的教学模式有助于培养学习者提出问题的意识[17]；研究者English针对小学阶段的学生进行研究，探究数感在数学问题的提出上所存在的特性，发现学生的数感强，提出的数学问题无论是运算量上还是结构复杂程度上，其表现出相对均衡的态势[18]；Winihati等人以问题提出为基本，通过纵向对比传统教学、问题提出、合作学习三种教学模式对学生数学的影响，发现合作学习的模式对培养学生提出问题的能力极具影响力[19]，能形成适当的竞争，提高自我内驱力。总结以上研究发现，问题提出的能力可能不是一种自然技能，教师可以进行适当的教学干预以提升学生提出问题的能力[20]。目前较好的教学干预是由Brown与Walter提出的一种教学方法“否定假设”法（what-if-not）[21]，但教师始终只是一个引导的作用，最终需要学生通过自我努力，提升问题提出的能力。要想培养高中生提出问题的能力，教师应当摒弃老旧的教学方式，开展合作学习模式，增强对数字的敏感度，并创设适当的情境，通过学生之间的良性竞争实现提出问题能力的培养。

以排列与组合的教学为例，教师可以组织学生以小组为单位开展教学活动，从生活中“涂色问题”入手（如图1），一共有五种颜料，每部分只涂画一种颜色，相邻部分涂不同色。随后教师提出若进行全排列得出答案是否正确，引导小组成员之间进行讨论，小组与小组之间进行竞争，学生能提出问题：先进行排列再运用组合、先进行组合再运用排列以及进行全排列之后减去重复的部分，以哪个序号为中心进行排列等，最终通过一系列的合作与竞争，计算出结果，共计240种，达到培养高中生提出问题的能力，提高数学核心素养的目的。

图1 涂色问题

3.培养分析问题能力的策略

分析问题能力是通过一个或若干个已知条件去判断未知的一种能力。《普通高中课标2020》中提到要锻炼学生的数学思维，离不开对问题进行分析的能力，所以分析问题对锻炼高中生思维模式、推理能力有着不可撼动的地位。学者Cheng通过对问题解决后提出数学问题的研究，发现分析问题对培养学生提出问题的能力有着积极作用，在解决问题时又需要分析问题作用铺垫[22]；Lavigne等研究者经研究发现，统计分析对培养提出问题的能力起到不可或缺的积极作用[23]。研究表明分析问题在整个问题解决的过程中是一种承上启下的作用，在数学“四能”中扮演着衔接的角色。

在分析问题时，一般有两种途径:一种是分析现有的条件提取出有用的结论，另一种是对未知问题进行分析，观察需要多少条件才能推理出来，假设现有的已知条件不足以对应未知的缺口，那是否可以通过已知条件与自身已有的经验推导分析出其他条件来解决未知问题？通过层层递推，最终找到解题思路。教师在课堂实际教学过程中，引导学生结合自己已有的经验进行独立的思考，并尝试分析问题，有助于培养学生分析问题的能力，最终即便学生不能获取解决问题的思路，也能发现自己学习的不足之处[24]。

以立体几何初步的内容为例，在此章节中会学习到空间中直线、平面的平行和垂直，当教师在课堂教学中讲解到这两者关系时，可以逐步引导学生联系在小学、初中阶段已有的间接经验,以及生活情境中原有的直接经验，帮助学生有效地综合分析空间中线、面问题。这不仅能锻炼学生的空间思维观念，还能分析如何证明线与线之间、面与面之间、线与面之间以及线面综合问题的平行和垂直关系，达到培养学生分析问题能力的效果。

4.培养解决问题能力的策略

国外研究者McLeod在针对解决数学问题的研究过程中，提出了情感因素的理论框架，情感由情绪、信念、态度构成，三者既能表现为积极因素也可以呈现出消极因素，其中反应最激烈的是情绪[25]。我国研究者发现，对数学情感抱有积极的态度有助于减轻数学焦虑[26]；对数学情感抱有消极的情绪与学生的数学成绩呈反比关系，数学成绩与积极情绪呈正比关系，情绪等环境因素可预测学生的数学学业成就[27]；高中生的数学学业成就与数学厌倦情绪呈正相关[28]。通过对国内外学者研究发现总结得出，是否能顺利解决数学问题，提高数学能力会对学生的情绪造成影响，学生情绪又与学习动机挂钩，表明学生解决数学问题的能力与学习动机呈正相关，培养学生解决问题的能力能有效提高学生的学习动机。

解决问题是数学活动的核心内容，也是它的存在目的[29]，但如何培养学生解决问题的能力是许多研究员和一线教师研究的重点内容。经调查发现，重视解题方法而忽视解题思维是解决数学问题的一大陷阱，解决问题的过程应该有足够的思维活动过程[30]，想要激发学生的思维活动，需要教师进行适当的言语调控。大量教育家对教师语言进行研究发现，教师在学生解决问题的过程中运用启发式提示语，有助于学生对关系、意义有更加深入的思考与探究，特别是探究是否能与其他的意义与关系之间的转化，同时指出所有的问题之中都贯穿思考是解决数学问题最常见、最基本的思考方法[31]。教师在情境创设的教学过程中可以借助启发式提示语，帮助学生提高解决问题的能力。

在实际的课堂教学中，教师在向学生传达如何运用启发性提示语解决问题时，无论是课堂互动上还是情境创设上都会有所欠缺，所以教师可以通过示范教学来培养学生解决问题的能力，这样不仅能充分调动学生的听觉、视觉形成表现与联系，还能引导学生在观察、思维、模仿、操作中掌握要领，领悟精髓[31]。教师可以通过使用适当的材料，亲临课堂进行演绎，经过一系列的动态展示，引导高中生对启发式提示语有更加生动、直观的认识，从而培养学生解决问题的能力。

三、培养高中生数学“四能”的思考

1.加强问题解决过程的完备性

数学“四能”是不可或缺的一个整体，它们之间相辅相成，发现问题的能力、提出问题的能力，分析问题的能力、解决问题的能力是问题解决所需完备的四种能力。当学生拥有这四种能力时，教师可以在课堂教学中引导学生经历发现、提出、分析、解题问题的全过程，这样的过程能促进学生数学逻辑的完整性，对未来的数学发展具有实质性的价值。当前的高中数学教学现状是，教师对问题解决的重视程度依旧很高，但更加注重的是对学生解题方法、技能的训练，不愿花费时间引导学生去探究问题是如何被发现、提出的。事实上，发现问题才是探究科学的基础，提出问题在数学中占有创新地位，但在高中阶段却本末倒置，所以引导学生在问题解决中经历发现、提出、分析、解题问题的全过程具有现实的意义。

基于此，教师应当增加对数学“四能”的重视，才能培养好学生的数学“四能”。在课堂教学中，教师可以结合生活情境，有意识地引导学生用数学的眼光去观察、发现问题，并运用恰当的数学语言对发现的问题进行渲染，在特定的逻辑线索和数学关系中提出问题，并运用启发式提示语，引导学生对问题进行深入思考探索，最终用数学的思维、方法去分析、解决问题。通过对问题进行发现、提出、分析、解决的全过程有利于学生对数学技能、知识的运用，产生多种策略及方法来解决问题，还能强化学生主动对数学进行表达、交流，提高学生的自我效能感。更重要的是，通过加强问题解决过程的完备性，不仅能有效地培养学生的数学“四能”，而且能将数学核心素养自然而然地融入其过程之中。

2.应用项目式学习模式

项目式学习是一种动态的学习方式，以学生为中心，在特定的环境下，通过数学的理论知识和现实相关领域进行耦合，为学生创设具体的、有价值的任务情境[32]，最终由学生创建团队解决一个开放式的问题，在解决问题的过程中积累数学经验，对知识进行同化和顺应，这种学习模式能有效地激发学生的自我内驱力。结合《普通高中课标2020》，发现项目式学习的主要过程是依托于教学目标，结合本章节教学内容的特色，由教师设计出具有情景化的主题内容，引导学生在情境中发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，这与培养高中生数学“四能”的过程极度吻合。所以教师在教学活动的展开中可以利用项目式学习的方式培养学生的“四能”，而项目式教学的核心在于情境的创设和学生之间的合作学习。

（1）重视问题与生活情境的结合

高中阶段的数学内容难度大，抽象系数高，学生不易掌握到其精髓，成为众多教师的烦恼。但多年来经过对高中阶段课程优化的实践发现，开展项目式的学习模式，根据本章节涉及的数学内容创设出适合的情境，将问题与生活情境进行联系，有助于问题解决，从而培养高中生的数学能力。将二者进行联立，教师不仅能引导学生体会直接经验，使学生运用到教师所传授的间接经验，还能通过揭示数学发展的脉络以及数学背景，进一步帮助学生解决生活中的实际问题，最终能激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的数学“四能”。虽然生活情境的创设的确有助于推动教学质量的提高，以及教学方式的进一步优化，但在实际的课堂教学中也存在着一些问题，如创设的情境与现实生活脱轨，数学内容与创设的生活情境二者之间的关系处理不当，情境对数学本质的理解产生了过度的干扰等。

创设的情境是否合适并不单单取决于其本身，而在于能否通过在所创设的情境中解决的问题能够揭示数学的本质[33]，由此可见，如何把握好问题解决与生活情境之间联系很考验教师的能力。不同的情境，蕴含的学习效果对应着不同的内容，教师应当把不同的教学情境及教学活动应用于培养学生不同方面的数学“四能”，通过对数学的应用能发展哪方面的数学核心素养作为未来高中课程教学设计的着重思考点。教师在高中课堂教学中要突出问题导向，通过适配的生活情境的展开，有效地驱动教学过程，启发学生的数学思维，引导学生在问题解决的过程中培养其数学“四能”。

（2）提高问题解决的合作性

项目式学习模式的另一个核心内容是学生创建学习小组，每位学生各自拥有自己的角色，并且相互切换，进行合作学习。而合作学习从课堂教育的角度来说是指组织学生学习的一种形式，学生通过在小组中完成共有的作业或任务，从而进行的一种互助式学习方式，并且这种学习方式在当前世界各国的数学教师学习或工作时也常常运用到[34]。合作学习有利于提高问题解决的效率，还能衍生出不同的问题解决的方向，对培养学生的数学“四能”也会产生积极的影响。

教师在课堂教学中可以将四位学生为一个小组，1～4号分别代表学生的数学能力从高到低，教师在进行情境设问时，小组各成员之间可以进行讨论。当小组内部讨论出结果后，可以与其他小组进行竞争，激起其他小组内部紧迫感；若小组内部讨论无果，可以由数学能力较高的1号与2号同学尝试与其他组成员进行探讨，在得出结论后返回本小组内部讨论、学习。这样的合作学习方式有利于在课堂上高效地对问题进行解答，并且不同数学能力的学生对问题各抒己见，对此其他同学与自己的见解有何不同，以此弥补不同学生在不同数学“四能”维度的不足，升华学生的数学“四能”，最终进行全方位提高。

3.引入翻转课堂教学模式

翻转课堂是近年来由于信息技术的快速发展而火热的一种教学模式。从数学学科的角度看，教师不占用课堂上的时间传授数学知识，而是利用信息技术提前录制好视频，学生在课前或者课外的时间观看视频，将课堂上的时间归还学生，用于教师与学生、学生与学生之间互动学习。翻转课堂的教学模式十分契合高中生数学“四能”的培养，高中的数学课程难度大、内容多，教师一味地运用传统的教学模式，容易导致学生在课堂上自主思考的时间减少，不易培养高中生的数学“四能”，绝大多数的学生只能将教师所讲的内容记住，并不会深挖其数学知识点或公式的来龙去脉。但运用翻转课堂教学模式，引导学生利用课外或者课前的时间通过信息技术的方式对数学的知识进行学习，能给予学生充足的时间发现和提出问题，在课堂上通过师生互动或者生生互动，加上教师点拨，引导学生分析和解决数学问题，并从中继续发现和分析问题，这样能够有效地培养高中生的数学“四能”，发展高中生的数学核心素养。

数学问题的解决，需要一定的数学能力作为基础条件，但培养高中生的数学能力不是一朝一夕能够完成的，需要教师、学生、教学方式等多方面的配合，即教师应当结合所能利用的全部资源条件循序渐进地培养高中生的数学能力。在教育改革的今天，培养高中生的数学“四能”应当作为教师课堂教学中的重要任务，并在不同的教学环节有所渗透，才能更好地对问题进行解决，发展高中生的数学核心素养。