数学教材研究的分层厘思*

2023-03-23王保红韩龙淑

教学与管理(理论版) 2023年3期

王保红韩龙淑

（太原师范学院数学与统计学院，山西晋中，030619）

数学是人类理性精神的杰出代表，是形成人类认知方式的主导科学，是人类思维的精确表达方式，数学毋庸置疑地被设置为基础教育的主课程之一。而数学又具有非常特殊的学科特质，如数学思维的抽象性、表达的严谨性、语言的隐喻性、知识的累积性、发展的前瞻性等，决定了数学教育中数学知识的传承更加依靠数学教材的凝练。

“近年来数学教材研究在国际数学教育研究中发展非常迅速，可以说正处于最活跃的时期，有必要对数学教材研究领域中的一些基本问题进行深入地研究和厘清，以使整个领域得到更好地发展。”[1]因此着力探讨数学教育中教材研究的多元主体，论述为数学知识传递而进行的逐层建构，以及所具有的价值承载，以期为数学教材研究乃至数学教育研究提供可资借鉴的参考。

一、从认知主体看数学教材研究的维度

数学教材是根据国家数学课程标准编选的供教学用，并要求学生掌握的文字类和视听类基本材料。数学教材的形成、开发和使用是数学家、数学教育家、数学课程与学科专家、众多的数学教师以及学生之间相互融合的结果，是数学教材研究主体间互动的产物。

1.数学家和数学教育家决定数学教材内容的本质和取向

在数学发展中数学家的智慧凝练和丰富的数学知识，构成人类文化中重要的组成部分，是数学知识链得以形成和连续的最前端。数学教育家是数学知识传递的重要继承者、实践者和推进者，他们不仅具备宽厚的数学基础知识，而且从长期的教育实践工作中形成了与时代相契合的教育思想和理论，践行并指导着数学知识的传承，影响着当时和以后的数学教育活动。

数学家和数学教育家共同决定数学教材的根本内容及其价值取向，共同赋予了不同历史时期数学教材的科学性和时代性，为数学教材的编制以及教材在数学教与学中的应用做出了根本性的规定。

2.数学课程与学科专家实施数学教材的编制

数学课程与学科专家基于特定的国家教育方针和政策，结合教育思想和理论，凭借专业洞察力和实践经验，对数学学科的培养目标、课程水准和基本内容作出规定，并形成数学教育的指导性文件——数学课程标准。在课程标准的指导下，教材编写专家和数学教研人员及优秀的一线教师共同将国家课程标准具体化，研制出显性的文本成果，即数学教材。教材层次分明、循序渐进地安排了数学学科内容，为数学的教与学提供了组织有序的信息，方便教师和学生的课堂教学活动。

编制课程标准和实用教材是课程设计的顶层环节，是数学知识传承的重要保障和依托。数学教师以此为准则制定教学实施总体方案，分析教学对象，分解教学目标，确定教学策略，选择和设计教学媒体及教学方式方法等。

数学课程和学科专家以及相关教育人员对课程和教材的编制，保证了教育过程中的普适性、基础性、选择性和实践性，为数学教师理解教材并开发教材提供了依据，使学生理解数学知识和发展心智成为可能。

3.数学教师在教学实践中实现教材增值

数学教学是教师的教和学生的学共同组成的活动，是学校进行数学智育、学科德育和数学美育的主要途径，是学校数学教育的中心工作。教师是数学教学活动的设计者、组织者、引导者和参与者，他们以教材附载的知识、技能和价值传授为宗旨，将课程标准内化到具体的教学过程中，结合教学条件和学生特点，竭力高效高质地完成教学计划。

为了优化数学教学，数学教师不仅要尊重数学教材的权威性，还要对其进行二次开发，创造性的在数学教学活动中使用教材。针对学情数学教师会对教材有所调整、删减和补充，是对数学教材的丰富和增值。此外数学教师本身就是主体性可再生型“教材”，教师在教学活动中发挥主观能动性，通过教学将自己的经验、价值观和专业素养传递给学生，因此好教师本身就是一部生动的高品质的“活教材”[2]。

数学教师不仅是数学课程理念和数学教材的执行者，也是数学教材的研发者。通过课堂教学活动，数学教师有效地实现了对教材的再开发和增值，体现了教育过程中的灵活性和选择性，为学生更好地理解教材提供了动力支持和价值引领。

4.学生个体对数学教材进行自我内化与建构

数学教学活动的立足点是学生。教学活动是通过教师有目的、有计划和有组织的指导，使学生掌握数学知识，强化数学实践技能，发展数学审美情趣，形成正确的数学价值观的过程。数学教材是国家设置的学生学习的文本资源，是学生数学活动的主要材料，是学生数学知识建构和数学素养提升的基础。

数学学习是学生掌握数学学科的基本概念、原理、思维方式以及情感态度和价值观的过程，是全面提升数学核心素养的过程。在实际的教学体验中，学生通过教师的引领展开有效知识探究，学生主动进行教材内容的自我内化，促进自己的知识结构和体系的构建。

二、从知识链的传递看数学教材研究的形态

数学教材是数学知识链的重要承载物，是国家层面上对数学教育的规定性制约，它深刻地影响着当代对数学人才的培养。

1.学科形态的知识

“科学是包含由主体及其形成的共同体、实践的客体对象、主体所持有的信念背景、所使用的方法、所形成的理论成果、具体的运行机制等要素组成的复杂系统。这就要求我们从社会的、历史的、文化的、语言的、认知的不同语境加以分析。”[3]数学是由数学家共同体经过漫长的积累和若干途径获得的，经过提升总结和凝练的系统认识，形成了学术形态的数学科学知识，是数学史上探讨的人类共同的文化累积，是数学哲学上讨论的知识论范畴。

当讨论个体通过与环境相互作用后获得的知识，强调知识是一个流动、动态的混合体，随着刺激和学习而改变与更新，就进入到教育心理学层面的数学知识，将学术形态的数学知识转变为教育形态的数学教学知识。数学教育是从小学、中学到大学的有机体，变动任何一部分都会影响全身；数学教育也是从小学到大学的一个知识传递链，这个传递链可以看成一根水管，数学知识就在这个水管中流着。知识链是个整体，各个节点都影响甚至决定着知识的传递速度和成效[4]。因此，必须从人类数学文化的“大”教材中精选优择，形成适合教育的具有逻辑内涵的学科形态的数学知识体系，流入到数学知识的传递链之中。

2.教育形态的知识

数学课程的开发和数学教材的编制是适应时代要求的行为，要符合学生认知特点和教育教学规律，满足学生和社会发展需要。为了提升数学教材编写质量，有四个主要的着力点：一是要以扎实的数学功底和对数学内容本质的透彻理解为前提，挖掘数学课程育人价值的方法和能力，确保数学教材编写的教育性；二是要保证数学教材结构体系的逻辑连贯性、内容的准确性并经过规范的实证检验来体现数学教材的科学性；三是要保证教学内容的适应性、学习素材的现实性、学生认识准备的衔接性、注重个体的差异性和教材的可读性，实现数学教材编写符合学生学习心理和教师教学心理；四是要保证教材编写队伍和编辑出版团队的专业性[5]。

数学教材具有基础性和时代性，也符合教育学、心理学和美学的要求，协调了知识结构和师生心理结构之间的平衡。教材中呈现的数学教育形态的知识，是对数学学科知识近一步的精细化，将其转变成为可操作的教学程序，极大地方便数学教师进行课堂教学，也更好地帮助学生逐步系统地接受和掌握数学知识。

3.教学形态的知识

教师还必须掌握关于学生学习、教学理论、教学策略、教学评价等教学知识，才能使教师真正成为教学活动合格的设计者、组织者、引领者和参与者。基于此提出了数学学科教学知识，即MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge），它是数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）和有关数学学习的知识（CK），以及针对中小学数学教师必须掌握的教育技术知识（TK）的深度融合[6]。这是20世纪80年代以舒尔曼为代表的研究者提出的PCK理论在数学学科中的再发展。

数学教师拥有MPCK就是教师如何把数学学科知识转化为教学形态的知识，就是教师对数学教材中涵盖的知识体系进行的实践性创造，结合教学法和学习理论，充分考虑教学对象的不同、教学方法的选择、教学目标的落实，形成具有个性化的教学设计，努力实现数学教学的最优化，从而超越了教材中数学学科知识的效果，是对数学教材的二次开发，是对数学教材的有效增值。

4.学习形态的知识

数学教师是数学教材的先行学习者，理解和研读教材、增值教材的目的都是为了学生个体对数学知识的获得和数学素养的提升。学生个体位于数学知识链的传递和建构的最末端。“教师只有把教材中学习的新内容与学生头脑中原有的认知结构相联系，活化出一幅幅学生学习的场景，才能有助于学生开展有意义学习，从而产生新的认知结构，使教材真正成为学生学习的认知地图，把‘学术形态’‘教学形态’的知识转化为‘学习形态’的知识”[7]。

现代课程与教学观已经转向“学习者中心”，确立“学生发展为本”的核心理念。要求将学生从被动学习者转变为能动的学习者，从表层学习者转变为深度学习者，注重学生获得“优质知识”，注重“问题产生、问题分享和问题深化”的教学设计[8]，不仅使学生获得数学基础素养，更要获得发现问题等富有创造力的高阶认知能力。现代的学生处在知识讯息爆炸式增长的稠密环境，有强烈的求知欲和自我表达的愿望，更能提升学习的主动性而产生有意义学习，更好地获得个体数学知识的更新。

三、从价值取向看数学教材研究的价值承载

1.课程理念的实施承载着国家教育意志

德国学者Rezat指出任何数学课本的开发都有其特定的历史背景，形成有其文化氛围，产生有一定的目的，使用有其特定的意图[9]。依照特定历史时期国家性质制定的教育目的和方针政策，是课程设置和教材编写遵照的根本所在。

遵照党的十九大提出的“要全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人”，教育部制定了《普通高中数学课程标准（2017年版）》。据此人教版高中必修教科书A版于2019年发行，该教材注重先进的教育思想和教育理念，反映社会发展的新变化和科技进步新成果，既能通过适当的方式呈现人工智能、大数据技术提升学生数学建模和探究的综合能力，又能在情境创设、任务设置等方面紧密联系当今社会及生活实际，培养学生的社会参与意识和能力。

如将2019年1月1日起执行的向国家缴纳的个人所得税计算法作为实例，用函数概念及其蕴含的数学思想方法解决实际问题。该题目既能提高学生学习兴趣，又能提升学生数学建模素养，还能在教育领域体现国家意志。再如在“指数函数和对数函数”章节中引入考古学家利用遗址中碳14残留量，测定良渚文化遗址存在于公元前3300至公元前2500年，说明中华5000年文明史是有实证依据的。党的十九大指出文化是一个国家和民族的灵魂，该题目凸显对我国传统文化的自信和认同，坚定文化自信，厚植文化底蕴，通过数学教材传承中华民族优秀传统文化。

2.教师理解和开发教材实现自身专业发展

数学教师理解教材并二次建构增值教材，实质上也是对教师数学专业素养和品质的提升。“教师教材理解包含教师对教材知识、教材组织形式、教材价值、教材时代使命的理解等。新时代人才培养的根本任务是立德树人，这要求教师教材理解将走向知识体系、方法论、思维方式与价值观的融合。”[10]

事实上PCK概念的提出就是源于对教师专业发展的反思，解决学科知识和教育专业知识相分离的问题，MPCK的研究旨在丰富教师的数学学科教学知识。教师理解教材本身就是在丰富MPCK，使具体的教学过程既有方法论的指导，又有教育宗旨和价值观的渗透，从而提升课堂教学质量和教师的专业水准。

3.学生理解和内化数学教材实现自我成长

现代课堂教学和学习观的确立，抛弃了“学习”的划一化、被动性、个人主义倾向，强调学习的自主性、活动性、协同性，认为“学习”是主体经验的不断积累和不断重构的内在体悟的过程，提倡“以学习者为中心的三位一体的价值导向”，从“知、智、志”三方面说明教育的根本目的，即科学知识的传递和获得、能力和智慧的培养以及个人志趣、人格、意志、自信心等方面的综合素养提升。

尽管数学学习必然要求以获得夯实的学科知识和技能为基础，但在对数学知识的探寻过程中，学生学会从数学角度发现和提出问题，通过对富有挑战性的问题的分析和解决，促进知识之外的自信心和意志、价值感的获取，实现学生自我成长、境界提升和生命完善。

四、数学教材研究的启示

数学教材研究是“对数学教材本身及教材与其他因素之间关系的科学研究”，从数学教材研究的角度出发，厘清了教材研究的多元认知主体，分析了教材研究的客体的形成，主客体共同影响了作为自变量的教材和作为因变量的教材，解读了数学教材研究的主客体共同的价值承载，展示了数学教育在数学知识链的传递中体现的更丰富的意义和内涵。这些数学教材的研究主体要素、客体对象和价值承载相互独立又相互联系、相互作用而构成了有机整体（如图1）。

图1 数学教材研究的整体框架

1.扩大数学教材研究主体间的深层“对话”

数学教材的多元主体共同实现了教材的研发和传承，体现出多元的知识信念和价值判断。通过数学教材，数学家及教育家、数学学科专家、教师和学生、学生与学生之间形成了深层的“对话”，将对数学的不同认知视阈相互融合并逐步达成一致性理解，从而实现数学知识在多元主体中的更新累积甚至倍增。

2.贯通数学知识链中的各个知识节点

事实上数学教材研究的多元主体构成了庞大的“学习共同体”，“真正的学习实践是一种基于理解的参与，一种文化实践的参与”，每一位认知主体都是学习的主权者，同时也是协同的学习者，在数学知识链中都附带了自身建构的印迹。要重视数学知识链的整体性和贯通性，特别是最顶层的优选精择中要将新的数学发展潮流及时反映到数学教育之中。