三个Milosevic 类似不等式加强式的再推进

湖南省长沙市望城区中小学教师发展中心(410200) 刘先明

设ΔABC的三边长,三条高,三条旁切圆半径,外接圆半径,内切圆半径,半周长与面积分别为a,b,c,ha,hb,hc,ra,rb,rc,R,r,s,Δ,∑表示循环求和. (本文除特别说明外,取等号的条件都是“当且仅当ΔABC为正三角形时取等号”)

对如下两个Milosevic 不等式:

结论1在ΔABC中,有.

结论2在ΔABC中, 有.

文[1]、文[2]和文[3]分别获得了类似不等式:

文[1] 的定理1、2 (原文[1] 定理1 左边的“3”应当为“1”)在ΔABC中,有

文[2]的定理2 在ΔABC中,有

文[3]的结论8○式 在ΔABC中,有

本文获得(1)、(2)、(3)式的加强结论.

引理1(Bottema 基本不等式)在ΔABC中,有

引理2(见文[4]) 在ΔABC中, 有.

1 (1)式的加强

定理3在ΔABC中,有

证明由文[2]知:

2 (2)式的加强

定理4在ΔABC中,有

证明由文[2]知:,

又,

3 (3)式的加强

定理5在ΔABC中,有

证明由引理1 和引理2 知:

由证明过程知定理5 加强了(3) 式, 即加强了文[3] 的结论8○式.