基本不等式的内涵、教学价值及策略探析

刘师妤 周龙虎

【摘 要】作为高中数学的经典内容之一，基本不等式的内涵丰富，在运算对象、运算方式以及地位的基础性上都有体现。基本不等式的内涵特征决定其具备求最值、放缩不等式的教学价值。为实现基本不等式的育人价值，教学中应强调复杂情境和真实学习任务的促进作用，彰显结构分析优先于代数、几何运算的地位与作用，突出知识的精练与知识应用的协调一致性。

【关键词】基本不等式；内涵；教学价值；教学改进

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将高中数学知识以主题形式进行整编，其中基本不等式不再划归于不等式板块中，而是作为“主题一 预备知识”的核心知识呈现，这一变化实质上是继“重要不等式”改名为“基本不等式”之后再次确定了基本不等式的基础性作用。基本不等式是对小学数学和差基本运算辩证关系下的符号化概括，对于研究函数的最值以及放缩数式（包括证明其他不等式）都有着奇效，可谓基本不等式不“基本”。

一、基本不等式的内涵及教学价值透析

对数学对象内涵及价值的入微探讨是理解课程内容本质并进行科学教学设计的重要前提，也是学习数学的基本方式。

（一）基本不等式的内涵

理解知识的内涵是进行有效延拓的重要前提。基本不等式前承不等关系与不等式的基本性质，其作为从数学问题和实际生活中抽象得到的典型模型，有着丰富的实际意义；基本不等式后启各种不等式的研究及应用，是发展学生思维、培育探索精神的重要载体。基本不等式的“发现”方式、证明方式（包含几何阐释）以及变形方式多样［1］决定了其内涵尤其丰富。要理解基本不等式中“基本”的含义，需要从三个方面展开：

第一，理解代数基本对象。一般地，要精确、简洁地刻画数学对象的属性，两个对象足矣。比如说要研究直线间的关系，可讨论两条直线的位置关系，多一条直线则显得繁杂且多余。两个对象间的关系是对变化情况这一无限问题的简化表达，如“商品的价格有升有降，可抽象为商品具有两个价格a，b（a≠b）”。从这一意义上讲，二元对象能迁移到三元乃至多元对象上，从而扩大适用范围。

第二，理解基本运算方式。对于a，b两个正数，作四则运算是最基本的运算方式，如a+b，ab（由于减法和除法分别是加法和乘法的逆运算，故只需研究加法和乘法运算）。运算规则为实施运算提供依据，又为简化运算提供新视角：为简化函数求导这一过程，研究导数的四则运算公式显得自然且必要；为精确刻画（a+b）2与2ab的差距，基本运算方式要拓展到平方和（a2+b2）上，并形成“和式”、“积式”和“平方和式”三种运算结构大小关系的初步理解。因而要以基本运算方式作为发展学生数学运算核心素养的重要源头。

第三，理解基础核心地位。在基本不等式的变形及应用过程中，进一步深化了对不等式基本性质的理解，又为证明其他经典不等式如柯西不等式、排序不等式等奠定了基础。新的数学问题的解决，往往要转化到熟悉的、已知的问题上去。面对结构不良的代数式求最值问题，我们要有转化为基本不等式的意识，常见的结构有齐次式等。但也要把握好基本不等式训练的度，不要急于把复杂的变式、变形技巧很强的问题交给学生，训练的重心应是与不等式性质相结合的常规代数变换。［2］

（二）基本不等式的教学价值

基本不等式阐明了特殊数学对象间的不等关系，属于“特殊”的数学公式。数学公式不能像“从帽子里突然拿出的兔子”，发现它的过程本就是理解其内涵的过程；数学公式要有用武之地，否则不能带来积极的数学学习体验（如感悟“数学知识是相互联系的”“数学是有用的”等）。因而剖析基本不等式的教学价值，可从公式的发现和应用两个层面入手。

学生不仅要见证还要全身心地参与到基本不等式的发现之旅中去，因为基本不等式既是对现实重要数量关系的强抽象，又具备深厚的文化底蕴。生活经验告诉我们：周长相等的矩形中，正方形的面积最大；等圆中弦长不大于直径；斜边为定长的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长；在商品价格波动的前提下，每次花相同的錢比每次买相同数量的商品更加实惠等。基本不等式背后隐藏着丰富的文化背景，如赵爽弦图、等周问题等，这些皆是体现数学文化价值的良好载体。从基本不等式的应用层面分析，一般涉及求最值和放缩到另一代数式两种情形，故基本不等式的教学价值可分为特殊功能和一般功能。

第一，基本不等式是求最值的常见方法之一。对于特定的“和式”或“积式”，只要满足“一正二定三相等”，便可通过基本不等式求最值。这是颠破不灭的做法，但我们是否认真思考过“为什么运用基本不等式能求最值”？根据函数最值的定义，“一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x[∈]I都有f（x）[≤]M；（2）存在x0[∈]I使f（x0）[≤]M。那么，我们称M是函数f（x）的最大值。类似地，我们可以得到函数y=f（x）的最小值的定义”，“和式”与“积式”间的确定大小关系已经说明了条件（1），进而寻求等号成立的条件则满足了条件（2）。因此，基本不等式是有别于函数思想求最值的另一代数式模型。

第二，基本不等式是放缩的重要方式。如同排列组合于概率的作用一般，放缩是不等式演化的重要手段。当不能满足“二定”时，基本不等式的功能退化到更一般的情形——放缩。利用不等式的基本性质可以实施放缩，利用基本不等式也可以放缩。在解题过程中，我们发现利用基本不等式打出组合拳——“放缩+求最值”，是处理复杂代数式求范围的常见策略。

三、基本不等式的教学改进策略探析

完整的数学教学既要体现数学内容的来龙去脉，又要彰显其背后的思想方法以及价值观念。为深刻理解数学知识，就应当努力做到知其然，知其所以然，知何由以知其所以然。如何做到这三点，章建跃认为应以数学的抽象之美和无处不在的现实用途吸引学生，切实提高学生的理性精神和对真与美的感知力，真正发挥数学的内在力量。［3］

（一）强调复杂情境和真实学习任务的促进作用

发挥数学学科核心素养的独特价值离不开学科教学活动的开展及相应经验的积累，如学科情境尤其是复杂情境的创设以及真实学科学习任务的制订。核心素养的培育与发展以生活为土壤，以丰富的情境作为生发地，是对真实复杂情境的认知、辨别、顿悟以及情感态度的综合体现。不同版本的新教材对基本不等式问题的引入情境各异，要么从完全平方式直接引入，以体现数学的内在认知发展规律；要么以赵爽弦图、第24届国际数学家大会会标的简介引入，以体现数学文化的教育价值；要么以天平的测量问题等科学情境引入，以彰显数学的应用价值；要么通过比较算术平均数和几何平均数大小的动手实验引入，以凸显“做数学”的学科实践活动价值。因此，基本不等式的教学可依据不同阶段相机设置不同的情境，可从HPM视角撷取丰富的数学史材料，如几类中项的历史、古巴比伦泥板上的“和差术”、等周问题［4］等，渗透于基本不等式的新知探究和证明应用中，既为学生提供必要的思维材料，又为他们提供多感官参与和主动发现创造的机会。

任务驱动教学法是改变学生学习样态，使学生主动建构、探究、实践、思考、运用的教学方法。依据实际学情和教学过程的阶段性，学习任务各不相同，如前置性学习任务、过程性学习任务、探究性学习任务以及后置性学习任务等。通过布置前置性学习任务，让学生回忆并搜集基本不等式的生活原型；布置基本不等式从“代数特征阐明”到“几何意义诠释”的过程性学习任务，有助于引导学生进行数学的思考、表达与交流；布置基本不等式的多样证明探究性学习任务，引导学生关注数学经典内容，促进数学知识的深入理解及迁移；布置基本不等式的应用后置性学习任务（如两次购买同一种商品，每次购买的数量相同或总价相同，哪一种购物方式较为经济），促使学生重新认识与巩固基本不等式的内涵特征，培育“变”与“不变”的辩证观。

（二）彰显结构分析优先于代数运算、几何变换的地位与作用

已有调查研究表明，受考试压力和课时限制等掣肘，教师普遍不太重视基本不等式本质意义的教学［5］，导致基本不等式原理的教学沦为浅表化、肤浅化的解题应用教学。即使教师已经向学生指出了基本不等式的本质意义——平方非负性，却不能明确揭示、深究其背后的核心等价思想［6］，从而痛失教学时机。等价思想，作为代数核心思想之一，是保证代数变形恒等性和有效性的内在条件，是形成良好数学认知结构的必备前提。随着对数学结构不良问题的研究深入，结构分析被重新提到一个新的高度上。正如数学家张景中所言：“结构不是人主观上随意指派的，也不是理念世界永恒存在的，它是总结大量感性经验上升为概念的结果。”数学结构作为一种客观抽象的数学知识存在形态或对象，早已超越早期代数学与几何学的二分探讨，返璞为与人类活动结构特征相对应的数学结构划分，如体现估计认识活动的数学分支结构有概率、测度论或统计学。结构分析主张以整体的观念洞悉各局部之间的内在关联，以变化的观点看数学结构间的转化。更为重要的是，结构分析所带来的公理化方法和结构方法使数学思维变得“经济且简缩”，问题分析和解决过程也进一步程式化和优化。

教学实践表明，数学训练颇为重视代数运算，尤指算法的精选，却总是忽略算理的分析。结构分析便是算理分析的重要前提和制胜点。数学解题活动中，大到问题的表征形式，小至某個代数式的结构特征，都是某一经典问题或公式定理的镜射，直指思考方向。随着数学的不断演化与发展，对数学本质属性的描述与概括已在数量关系和空间形式基础上增加了模式结构，可见结构分析的重要性。若从宏观与微观这一辨证观出发，结构分析是明晰思考界域、明确思维方式的有力举措。因此，由基本不等式推及一般数学内容，结构分析都应先行于代数运算和几何变换。

（三）突出知识的精练与知识应用的协调一致性

数学学习的进阶过程离不开对数学核心思想与方法的概括和对数学本质的理解，所以知识精练是必不可少的。知识精练应是教学中的常态工作，要以整体与局部的辩证观念看待知识与知识、知识与板块甚至系统间的关系，既做到知识内部的精练，又做到知识结构（尤指知识单元结构、主题范围内）的精练，切实为优化数学认知结构奠定坚实基础。数学应用不仅是检测，也是巩固，更是形成解题经验、培养良好思维品质的契机。反过来，以应用作为促进知识理解的另一有效方式，对于数学能力的提高也颇有裨益。因而，教学中应确保知识精练和知识应用协调一致，让高水平数学认知活动真实发生。

基本不等式的精练过程体现在两个方面：一是对基本不等式多种证明方法背后所蕴含的思想方法的挖掘和分析，以体现证明推理的逻辑性和基础性；二是借助基本不等式言语表达和图示上的多重变式，引发深度探究。在求最值层面，基本不等式名为“不等式”，实为特殊条件下的等式，即要关注等号条件的探寻。因此，应用基本不等式要充分发挥代数中的对称思想，体现等号成立条件的解题功能［7］，这也应被视作是解决“学生忽略等号成立条件”问题的良策。利用基本不等式实施放缩，不仅要注重等号成立的条件（即不等式的强弱），更要留心基本不等式的常见变式及推广后的n元形式。

总而言之，教师对于教材中的核心概念和基本定理要予以充分解读与多角度理解，尤其是教材改版中改动的地方。此外，要积极关注高考的动向，力争教考统一，共同为学生思维发展贡献力量。

参考文献：

［1］钟志华，李渺.基于变式教学的数学教学设计：以“基本不等式”为例［J］.数学通报，2019（5）：23-27.

［2］章建跃.“预备知识”预备什么、如何预备［J］.数学通报，2020（8）：1-14.

［3］章建跃. 发挥数学的内在力量 为学生谋取长期利益［J］.数学通报，2013（2）：1-6，10.

［4］李小艳，吴现荣，漆青梅. HPM视角下“基本不等式”的教学［J］.数学通报，2022（6）：49-53.

［5］黄娅，张波.中学数学教师“基本不等式”部分MKT调查研究［J］.数学教育学报，2016（4）：84-88.

［6］张伟平.从基本不等式谈中学生对等价思想的理解［J］.数学教育学报，2009（2）：83-85.

［7］王文清.不等式中等号成立条件的解题功能：兼谈对称思想［J］.数学通报，2009（4）：41-43.

（责任编辑：潘安）