与圆锥曲线切线有关的考题的命制与解析

刘大鹏

(辽宁省黑山县第一高级中学 121400)

1 以阿基米德三角形为素材命制试题

定义1抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形叫做阿基米德三角形.

1.1 考查阿基米德三角形底边中线性质

例1 (自编题)P是直线x=-1上的动点，过点P引抛物线y2=4x的两条切线PA，PB，A，B为切点，F(1,0),AB中点为M，则( ).

A.直线AB过点F

B.当点P在x轴上时，|AB|最小

C.PF⊥AB

D.PM⊥y轴

性质1 阿基米德三角形底边(即切点弦)的中线平行于抛物线的轴或在抛物线的轴上.(证明见文[1]).

1.2 考查阿基米德三角形底边所在直线方程

例2(根据2019年全国Ⅲ卷文改编)已知抛物线C:x2=2y,D(2,-3),过点D向C引切线DA,DB,A,B为切点，则直线AB方程是____.

答案2x-y+3=0.

规律①设P(x0,y0)是圆锥曲线Γ：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上任意一点，求以点P为切点的切线方程.

②设P(x0,y0)是圆锥曲线Γ：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0外任意一点，过点P引切线，M,N为切点，求切点弦直线MN方程.

1.3 考查阿基米德三角形面积的最大值

例3 (根据2021年全国乙卷理21改编)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F,F与圆M:(x+3)2+y2=1上点的距离的最小值为3.

(1)求p的值；

(2)点P在⊙M上，PA，PB是C的两条切线，A,B是切点，求S△PAB的最大值.

设A(x1,y1),B(x2,y2),PA:y1y=2(x+x1),PB:y2y=2(x+x2),代入点P坐标，得

y0y1=2(x1+x0),y0y2=2(x2+x0).

所以A,B两点都在直线y0y=2(x+x0)上.

所以(S△PAB)max=32.

1.4 考查阿基米德三角形顶点轨迹方程

(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；

(2)过点F作直线交抛物线C2于M,N两点，过M,N分别作抛物线C2的切线l1,l2,求l1,l2交点Q的轨迹方程.

所以p=2,即抛物线方程为x2=4y.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN:y=kx+1,则

l1:x1x=2(y+y1),l2:x2x=2(y+y2).

由韦达定理，得x1+x2=4k,x1x2=-4.

所以点Q的轨迹方程为y=-1.

2 以椭圆的内切圆为素材命制试题

(1)求椭圆C的方程;

(m2+3)y2+2mny+n2-3=0.

由韦达定理，得

所以m2=n2-1=1.

3 以椭圆的基圆为素材命制试题

(1)求椭圆方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使圆的任意一条切线都与椭圆恒有两个交点A，B且OA⊥OB，若存在，求圆的方程并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由.

所以存在圆x2+y2=2满足题意.