“倍角”条件下椭圆与向量的交汇

蒲冬生

(甘肃省陇南市康县第一中学 746500)

在知识交汇点处命题是近年新课标高考理念，侧重考查考生对所学相关数学知识、思想方法的综合运用能力.基于此，本文特选取如下一道椭圆与向量的交汇问题，旨在说明此类问题往往以椭圆的焦点三角形为背景，侧重考查解三角形、椭圆以及平面向量等知识的综合运用，能够较好地培养学生的数形结合能力、化归能力以及数学运算求解能力，进而提升学生在直观想象与数学运算方面的核心素养.

多解探究为了便于帮助学生理解、分析，依据题意，先画出对应的平面图形，如图1所示.

图1

接下来，可给出三种不同的求解思路.

所以n×2sinαcosα=msinα，化简得m=2ncosα.

化简，得n3=nm2+4n-2m2.

①

②

视角2 从已知条件看，由于∠PF2F1=2∠PF1F2，且涉及平面图形，所以可考虑有关平面几何与解三角形知识的综合运用；从解题目标看，可考虑数量积的定义a·b=|a|·|b|cosθ的灵活运用.

图2

③

④

⑤

评注(1)该解法以有关平面几何知识的充分运用做为解题的切入点，同时又涉及椭圆的定义、余弦定理以及数量积的定义在解题中的综合运用.此外，参考该解法可得如下一般性结论：设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若B=2A，则有b2=a(a+c).

图3

以上通过多视角分析，给出了“倍角”条件下椭圆与向量交汇问题的多解探究.从知识层面看，涉及解三角形、三角恒等变换、平面几何、解析几何、平面向量等知识的综合运用；从数学思想方法的灵活运用看，涉及数形结合思想、化归思想、方程思想的综合运用.一言以蔽之，本题设计较好，数与形兼备，综合性较强，解法灵活多样，能够考查不同考生各自的数学潜能，故本题具有较强的研究价值，值得我们去细细品味！