一道平面向量数量积最值问题的多解

王昌林

(四川电影电视学院实验中学 611331)

1 试题呈现

图1

2 试题溯源

试题溯源可以帮助解答者加深对问题的认识，从而寻求更多的解答方式.向量数量积问题是高考的热点问题，最小值问题深受命题者青睐.弄清问题的源头，对于问题的多角度、多方法求解可以起到事半功倍的效果.

评注例题与上海卷第8题都是向量数量积的双动点问题，并且两动点之间都是固定距离且两向量的起点都是固定的，两者的区别仅在于例题中向量的起点是位于同侧的，上海卷第8题是位于异侧，但两者的解答方式与思想方法都是十分类似的.

图2

评析本例中点E为边CD上的动点，点E相对于两定点A，B；例题中点D为相对于两距离固定的动点M，N的定点.运动是相对的，将两定点A，B相对于动点E运动看作距离固定的两点A，B为相对于点E动点时，也就是例题.在2015，2016，2018，2019年天津卷中文理科都考了向量的数量积，其中2015年文科14题与2018年理科第8题都是向量的数量积的最小值问题.

3 试题多解

3.1 考虑基底法

何为基底法？即用两条不共线的非零向量表示这一平面内所有向量的方法.在具体问题中，往往不能直接对问题所求向量进行运算，这时就需要运用基底法将所求向量进行合理转化，最终方便运算.

解法1如图3所示，连接AM.

图3

因为AB=3，BC=6，∠B=60°，

3.2 考虑解析法

建立坐标系是解决向量数量积问题的常用方法，也是大多数同学喜欢的方法之一.通过建立合适的平面直角坐标系，将所求向量用坐标表示，向量数量积的最值问题也就转化为了函数的最值问题.

解法2以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图4所示平面直角坐标系，所以B(0,0).

图4

设M(t,0)，N(t+1,0)，则

所以当t=2时存在最小值.

评注由解法2中所设M(t,0)，N(t+1,0)可以看出，并不是所有点的坐标都是已知的，因此需要设点的坐标.为了运算方便且过程简洁，在设点时应当注意挖掘点的特殊性以及点与点之间的关系，尽量减少未知数个数.

3.3 考虑余弦定理求两向量夹角余弦值

许多时候，向量数量积不能直接运算的主要原因不在于向量模长的求取，而是两向量夹角余弦值的未知.运用三角形余弦定理可以较为方便地求出夹角的余弦值，因此，将余弦定理与向量数量积公式相结合.具体如下：

又因为DM与DN为△MDN的边长，且三角形存在，

所以有DM2+DN2≥2DM·DN.

评注若是已知两向量模长，运用余弦定理可以求得其夹角的余弦值，这样也就可以有效解决两向量夹角余弦值未知或难求的问题.关键在于正确运用余弦定理将两向量夹角的余弦值进行转化.

3.4 考虑将双动点转化为单动点

图5

评注例题中点M与点N虽为双动点，但两点之间的距离是固定的，因此运用向量加法的三角形法则将动点M与动点N转化为它们的中点E，解法4亦可看作是分点恒等式的应用.

3.5 考虑向量中值定理

解法5如图5所示，取MN中点E并连接DE.

因为点E为MN中点，

由向量中值定理可知

评注向量中值定理是一个较为常用但是往往被忽略的一个定理，在平行四边形中利用余弦定理可以得到中值定理.

3.6 考虑极化恒等式

由极化恒等式,得

解法7如图6所示，构造DMGN.根据平行四边形四边对角线平方和定理可知

DG2+MN2=2DM2+2DN2.

图6

因为DM2+DN2≥2DM·DN，

所以当DM=DN时，DG最短.

3.7 考虑对棱角公式

对棱角公式在平面四边形ABCD中，有

解法8如图7所示，过点A作DM的平行线交BC于点G，连接AN，DG.

图7

因为AD∥BC，所以四边形ADMG为平行四边形.

由对棱角公式知四边形ADNG中有

因为GN=GM+MN=2，

则GN2=4，AD2=1.

因为AN2+DG2≥2AN·DG，

所以当AN=DG时，AN2+DG2有最小值.

根据已有条件易得AN=DG=3.

评注对棱角公式可以将向量的运算关系转化为简单的线段长度的运算关系，不仅在平面上有应用，在空间中的运用更广.

3.8 考虑对角线向量定理

在四边形ABCD中，有

解法9如图8所示，连接AM，构造以AD为边且以点M为对角线交点的平行四边形.

图8

因为四边形ADNM为平行四边形，

由对角线向量定理可知

因为AD=EF=1，

评注对角线向量定理可以说就是向量数乘余弦定理的组合或推导结论，在各地的高考试题都有所体现.

纵观历年高考向量题，是没有屡试不爽的通法妙招的.解答向量数量积最值问题的方法可以是多样的；除常规的基底法与解析法以外，可充分利用平面向量几何意义从而构造几何图形，以及运用极化恒等式、向量中值定理、对棱角公式等恒等式进行解答.