一道二模压轴题的解法探究及溯源

杨 新

(江苏省华东师范大学盐城实验中学 224005)

1 原题呈现

题目(2022年成都市二模第12题)在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若c=1，且4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3，则tanA的最大值是( ).

2 总体认识

此题有三个创新之处，一是已知的关系式“4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3”中常数项有深意；二是已知边角齐次式中正、余弦交替出现；三是问题以tanA的最值呈现(一般以求三角形周长、面积的最值居多).基于以上创新，试题难度上升了，放在第12题，它就成为试卷的压轴题，因此，值得我们思考探究.正、余弦的平方启发我们应该考虑同角三角函数的平方和关系；要求tanA的最值，分离变量构造关于角A的三角函数应该是条有效途径；求最值常用基本不等式、对勾函数.二次函数等工具，我们应努力创设条件，用上这些工具，方可破解这个难题.

3 试题解答

3.1 把常数代换成字母

思路从齐次式的角度出发，将题设中的常数项-3代换为-3c2，利用正、弦定理实现边化角，借助同角三角函数平方关系减少三角函数类型，进而向tanA靠近，最后利用均值不等式和三角函数的单调性求出最值.

解法1 因为4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3，c=1，所以4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3c2.

由正弦定理,得

4sin2Acos2B+4sin2Bsin2A=3sin2B-3sin2C.

进而4sin2A(cos2B+sin2B)=3sin2B-3sin2C.

即4sin2A=3sin2B-3sin2C.

再由正弦定理，得

4a2=3b2-3c2.

由余弦定理，得

由锐角范围内余弦函数单调递减知，此时角A最大，由锐角范围内正切函数单调递增知，此时tanA最大.

故选C.

评注这种齐次化处理的技巧在解斜三角形的题中常用.人教A版(2004年审定)必修4第138页B组第3题也做了专项训练.在高考中，这类试题也屡见不鲜.只要恰当使用正、余弦定理，问题一般均能准确解决.例如：

题2 (2020年全国Ⅱ卷理科第17题)ΔABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求A；

(2)若BC=3,求△ABC的周长最大值.

3.2 整体代换实现消元

思路本题已知中a2cos2B显得不“和谐”，增加了题目的变量.我们可以设法消去它，并且最好不产生新的变量.那么我们要综合考虑三角形中的基础知识和已知条件，将它们勾连起来，事实上,已知中的“c=1”已经埋下了伏笔，正是此题经典之处.

解法2 在三角形中，

acosB+bcosA

所以acosB=1-bcosA.

由4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3,得

4(1-bcosA)2+4b2sin2A=3b2-3.

整理,得b2-8bcosA+7=0.

以下同解法1.

评注本解法中用到了教材结论：人教A版(2004年审定)必修5第22页第3题第二小题.有资料称(※)为射影定理(另外还有类似的两个).在教学中，一方面我们需要教会学生证明，另一方面还需有意识地加强应用.本结论在高考中经常被考查，但是一些学生并不知晓.这很遗憾！下面再现两个真题：

题3 (2017年全国Ⅱ卷文科第16题)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA,则B=____.

注直接应用射影定理解题.

题4 (2013年全国Ⅱ卷理科第17题)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

(1)求B；

(2)若b=2，求ΔABC的面积的最大值.

注间接应用射影定理解题.

3.3 逆用切化弦

思路已知是正、余弦的关系式，问题是正切函数.因此，我们可以模仿人教A版(2004年审定)必修四第128页上正切和角公式的推导，实现弦化切，直接构造以tanA为因变量的函数.其间需要我们尽力消去其它变量，本质就是一个三角运算的过程.

解法3 由解法1得4sin2A=3sin2B-3sin2C，

即4sin2(B+C)=3(sinB+sinC)(sinB-sinC).

由和差化积公式,得

由二倍角公式,得

4sin2(B+C)=3sin(B+C)sin(B-C).

所以4sin(B+C)=3sin(B-C).

即4sinBcosC+4cosBsinC=3sinBcosC-3cosBsinC.

整理,得sinBcosC=-7cosBsinC.

同除cosBcosC,得

tanB=-7tanC.

于是tanA=-tan(B+C)

故选C.

评注本解法能够充分反映高考题的特征之一：源于教材，高于教材.很多学生不重视公式的推导，不重视知识的生成，只在意刷题，这是不可取的.遇到这种对核心素养要求高的试题时，就举步维艰，不知所措.本题中还用到了和差化积公式，人教A版必修四在139页以例题和141页以练习题的形式给出了这组公式，若不注意积累，也会出现“无缘”见面不相识的情况.有人会说，积化和差、和差化积等知识考纲已经不要求记忆，那就临时推导吧，事实上，不熟悉就不认识，不认识就不可能应用，推导也没有方向.建议加强日常积累！一道小题能考查诸多知识，堪称好题.

3.4 代数问题几何化

思路初中三角函数就是在直角三角形中定义的，我们不妨将问题放置在锐角三角形中，利用高线构造直角三角形，将抽象问题直观化，不仅能减少运算，还可以开拓思路，培养数形结合的意识.

解法4 不妨设ΔABC为锐角三角形，如图1.

那么acosB=DB,bcosA=DC,b2=DA2+DC2.

由前文得4a2=3b2-3.

所以4(BD2+CD2)=3(AD2+CD2)-3.

所以CD2=3AD2-4BD2-3.

在Rt△ADC中，

故选C.

图1 图2

评注本解法巧妙地将三角函数关系式转化在直角三角形中，利用二次函数求得了tanA的最值，并且在解题结束时，取等号的条件还揭示了三角形更精准的形状,如图2,又一次发现数形结合的强大功能和重要用途.无独有偶，再举一例.

分析tanB,tanC可以看作直角三角形的直角边的比值，借助关系式tanB=2tanC，把它们构造于共一直角边的两个直角三角形中，如图3.然后再在图中构造sinB,sinC，问题转化为关于比值的函数问题.

解析如图3，因为tanB=2tanC，所以设AD⊥BC，BD=x，CD=2x，AD=y.

图3

4 变式演练

变式1 (变换题设，增加迷惑性)在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若c=1，且4a2sin2A-4b2sin2A=3+4a2-3b2，则tanA的最大值是____.

变式2 (变换问题，出口收紧)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若c=1，且4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3，则ΔABC是( ).

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.正三角形

5 解后反思

高考中，压轴题为了起到把关作用都较难，都有很好的区分度，往往会考查多个知识点和一些解题技巧.要想突破压轴题，首先我们应当注重课本知识的生成教学，让学生知其然，并知其所以然，形成完整的良好的知识结构；其次我们要善于总结，把表象上脱节的内容融会贯通起来，让知识相互支撑，连点成线，连线成网，打通各个堵点；还要加强数学思想方法的积累和应用，做到解题时思路开阔，流程清晰，路径便捷，防止解题的盲目性；最后我们还要善于学习，在学习中比较，在比较中选择，通过一题多解训练能力，提高素养，并表现为解答压轴题的较高准确率.