例析坐标系与参数方程应用中的常见误区

侯有岐

(陕西省汉中市四○五学校 723312)

坐标系与参数方程作为高考的选考内容之一，考查难度相对稳定，第一问考查内容多为互化，第二问常利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中ρ,θ的几何意义解决问题，内容涉及距离、面积、弦长、交点、轨迹等问题.但在坐标系与参数方程的应用中，由于学生忽略互化条件的限制、混淆参数方程中参数的几何意义和ρ,θ的几何意义及范围的限制，常出现下列思维误区：

1 参数方程与普通方程的互化中忽略“等价变形致错

A.一条直线 B.两条直线

C.一条射线 D.两条射线

剖析出错的根本原因是忽视了参数的取值范围从而导致缩小了x的取值范围.

所以参数方程化为普通方程为y=2(x≤-2或x≥2),所以表示两条射线.故选D.

评注参数方程化普通方程，既要消参得到横、纵坐标所满足的关系式，又要探究横、纵坐标对参数的值域，这个值域和横、纵坐标所满足的关系式才与原参数方程等价.

2 混淆直线参数方程的一般式与标准式致错

(1)求曲线C的直角坐标方程和参数方程；

(2)求直线l被曲线C截得的弦长.

错解(1)曲线C的极坐标方程化为

ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ.

由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,得

x2+y2=2y+4x.

所以曲线C的直角坐标方程为

(x-2)2+(y-1)2=5.

代入(x-2)2+(y-1)2=5，

所以直线l被曲线C截得的弦长为

剖析出错的根本原因是忽视了本题中所给出的直线参数方程不是标准形式,导致计算弦长错误.

正解(1)曲线C的极坐标方程化为

ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ.

由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,得

x2+y2=2y+4x.

所以曲线C的直角坐标方程为

(x-2)2+(y-1)2=5.

(x-2)2+(y-1)2=5，

又因为直线l的参数方程可化为

所以直线l被曲线C截得的弦长为

方法2因为直线l的参数方程是

评注已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为α,点M(x,y)为直线l上任意一点,则直线l的参数方程为

①

(2)令a=cosα,b=sinα,则直线参数方程的标准形式可以化为

②

(3)如果直线参数方程的一般形式为

③

当c2+d2≠1或d<0时，应先化成标准形式后才可以利用t的几何意义解题.

(4)不少模拟试题以及高考试题，若采用直线参数方程中参数t的几何意义去解决能够收到事半功倍的效果.

3 对椭圆参数方程中角参数的含义理解不清致错

剖析错解中把点M和原点连线与x轴的夹角误认为是过该点的椭圆参数方程中所对应的角参数α，事实上，椭圆参数方程中角参数α是离心角，现阶段的教材不研究其几何意义，故可借助点M与原点连线的倾斜角和三角函数知识分类讨论求解.

所以tanα=2.

(2)当点M在第四象限时，由

所以tanα=-2.

评注当已知角为椭圆上一点和原点连线与x轴的夹角时，可依据倾斜角的含义和范围，结合三角函数知识分类讨论求解，这样就避免了椭圆参数方程中角参数几何意义的理解.

4 忽视极坐标系中点的极坐标不唯一性致错

例4在极坐标系中,点P(ρ,θ)关于极点对称的点的坐标可以是( ).

①(ρ,-θ)；②(-ρ,-θ)；③(-ρ,θ)；④(ρ,π+θ).

A.④ B.①② C.①③ D.③④

错解由点的极坐标的意义知，点P(ρ,θ)关于极点对称的点的坐标可以是(ρ,π+θ).

剖析出错的根本原因是忽视了极坐标下点的极坐标的不唯一性，因为ρ∈R的特性,所以点P(ρ,θ)关于极点对称的点的坐标也可以是(-ρ,θ).事实上,当ρ>0时,点P(ρ,θ)在极角θ的终边上,|OP|=ρ；当ρ<0时,点P(ρ,θ)在极角θ的终边的反向延长线上,|OP|=-ρ.

正解因为ρ∈R，所以ρ既可以是正值，也可以是负值.因此，点P(ρ,θ)关于极点对称的点的坐标可以是(-ρ,θ)或(ρ,π+θ).故选D.

评注解答极坐标系下有关点的极坐标问题时，一定要注意点的不唯一性.另外，本题也可以把点P(ρ,θ)的坐标化成直角坐标，然后根据三角函数的诱导公式判断解决.

5 忽视极角的范围致错

由ρ=4cosθ，得曲线C的方程为(x-2)2+y2=4.

所以，曲线C是以(2,0)为圆心，2为半径的圆.

由ρ=4cosθ，得(x-2)2+y2=4.

评注极坐标方程实质上是极径关于极角的函数表达式，于是求解有关最值问题时，常选用极坐标方程，此时应特别注意极角的范围，即研究函数问题，定义域优先.

同步检测：

由|AB|=5，得

故ρ=4.

题2化极坐标方程ρ2cosθ-ρ=0为直角坐标方程为( ).

A.x2+y2=0或y=1 B.x=1

C.x2+y2=0或x=1 D.y=1

答案C.

因为直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+2sinθ)=15,

所以直线l的直角坐标方程为x+2y-15=0.

故选C.

(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

设P,Q相对于M(1,0)的参数方程分别是t1,t2，

故t1与t2异号.

(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

解析(1)直线l的普通方程为

由曲线C：3ρ2+ρ2sin2θ=12，

将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入曲线C可得

3(x2+y2)+y2=12.