基于核心素养的高中数学教材“函数的概念和性质”习题比较研究*

四川省南充市西华师范大学(637002) 刘远来 李红梅

1 引言

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(下称《新课标》)指出高中数学课程以学生发展为本,落实立德树人根本任务,培养科学精神和创新意识,提升数学学科核心素养[1].教材作为课程目标的承载主体,是师生开展教学的主要工具和资源[2].习题作为教材的重要组成部分,有着消化巩固新知、拓展延伸新知、思想方法渗透、育人等功能[3].通过文献发现,基于核心素养的教材习题比较研究集中于新旧教材的比较研究和不同地区现行版本的比较研究.基于此,本研究从课程标准对函数内容的要求出发,以《新课标》中核心素养的内涵和水平划分为根据,对比四版教材中“函数的概念和性质”习题的核心素养类型和水平划分,分析四个版本的核心素养类型及其素养水平的侧重点,帮助教师领会与适应新教材,汲取不同版本的习题,并为教师和教材编写者提出几点启示.

2 研究设计

2.1 研究对象

由于2019年版教材于2022年在全国大部分地区投入使用,对一线教师将会是一次全新的挑战,需要教师改变原有的教育理念与教学方法,故而选取为研究对象.函数作为四条内容主线的首要环节,贯穿于高中数学课程.并且“函数的概念和性质”这一章的学习为学生树立了函数的概念,从图形和代数的角度揭示了函数的主要性质,能借助函数建立数学模型解决实际问题,为后续初等函数的学习奠定了基础,故而选取函数的概念和性质为研究对象本研究以人教A版[4]在“函数的概念和性质”这一章的排版内容为参考对象,包括函数的概念及其表示,函数的基本性质,幂函数,函数的应用(一)四小节.北师大版[5]与人教A 版排版相同,人教B版[6][7]和苏教版[8]并未将幂函数纳入这一章,因此,为了保证研究的严谨性,将“函数的概念和性质”与“幂函数”作为一个整体进行研究.

2.2 研究框架

本文通过对郭玉峰教授等人对2004年版高中数学教材的“函数”习题研究以及《新课标》对“函数”这一主线任务的要求可知[9],明确“函数的概念和性质”这一章体现了数学核心素养中的数学抽象,逻辑推理,数学建模,数学运算,直观想象五大核心素养[1].素养水平划分采取《新课标》的水平划分框架,以直观想象素养举例,水平一要求能在熟悉的情境中利用函数性质和变换法则发现数学规律,并能够刻画简单函数的表达形式及其性质;水平二要求掌握研究函数图象之间、函数关系式与函数图象间的基本方法,从函数性质探索数学规律解决生活实际问题或者数学问题;水平三要求能综合运用所学函数知识,理解函数与其他内容的联系,并能够利用直观想象来建立函数与其他学科的联系.

2.3 研究分类

对“函数的概念和性质”这一章体现的五大核心素养进行习题分类.习题的类型包含练习、习题、复习参考题、课后习题和复习题.并作如下规定:(1)对于含有若干小题的题目按照一个题目进行统计;(2)若一个习题体现了多种核心素养,则体现的核心素养的类型数量加一;(3)对于一个题目体现多个核心素养的水平,按照每个核心素养的最高水平进行统计.

2.3.1 数学核心素养类型的习题分类

数学抽象举例:如图,把直截面半径为25cm 的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料,如果矩形的一边长为x,面积为y,把y表示为x的函数[4].

本题想要表示y与x的函数关系式,需要将圆柱形木头的物理背景抽象为数学问题,寻求圆的半径和矩形边长之间的关系,并能使用已知的数学符号进行表达,符合数学抽象的内涵描述,因此属于数学抽象素养类型.

逻辑推理举例:根据函数的定义证明函数f(x)=3x+2是增函数[4].

本题要想证明函数f(x)是一个增函数,需要掌握增函数的定义和证明增函数的一般步骤,运用演绎推理的证明方法解决具体函数的单调性问题,符合逻辑推理的内涵描述,因此属于逻辑推理素养类型.

数学建模举例:某广告公司要为客户设计一副周长为l(单位:m)的矩形广告牌,如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大[4]?

本题要求学生基于数学的视角去解决生活中的实际问题,如何使得广告牌的面积取得最大值,根据题目提出的问题,分析问题,建立函数模型进行求解,并进行验证,最终达到解决问题的目的,符合数学建模的内涵,因此属于数学建模素养类型.

数学运算举例:已知函数f(x)=3x2+2x,求f(2) ,f(−2),f(2)+f(−2)的值[4].

本题要得到正确的答案,首先要理解这是一个一元二次函数,并选择代入法进行计算,设计出解题流程,最终求得运算结果,符合数学运算的内涵,因此属于数学运算素养类型.

直观想象举例:构建一个问题情境,使其中的变量关系能用解析式y=(a>0)来描述[4].

本题要求学生通过自己的想象构建问题情境,将公式赋予具体情境之中,构建数学问题的直观模型.假若学生联想到自由落体运动公式y=从而建立了数学与物理学科之间的联系,同时将公式与自由落体运动相结合,符合直观想象的内涵,属于直观想象素养的类型.

2.3.2 数学核心素养水平的习题分类

水平举例:试谈论函数y=x−的定义域、值域、单调性、奇偶性,并画出图象[4].

本题要求掌握对函数的单调性和奇偶性的证明方法,对于新出现的函数问题,提出假设,形成数学结论,因此属于逻辑推理的水平三;其次要求学生对于不熟悉的函数选择合适的运算法则和方法设计运算流程,解决单调性和奇偶性问题,因此属于数学运算的水平二.

2.4 核心素养统计说明

关于数学核心素养类型统计的说明:(1)分析四版教材中“函数的概念和性质”这一章节习题体现何种核心素养,计算每一素养类型题目在各版本所有题目总数所占的比重.(2)汇总各版本题目总数和核心素养题目总数.

关于数学核心素养水平统计的说明:分析四版教材中“函数的概念和性质”这一章节习题所处的核心素养水平,计算每个核心素养水平在各版本所有题目总数所占比重.

3 统计结果及分析

3.1 核心素养类型的统计结果

四个版本教材“函数的概念和性质”习题在各个核心素养类型上的题目统计如表2所示.

从四个版本习题总数可知,苏教版居于第一,人教A 版居于第二,人教B 版居于第三,北师大版则居于最末.另外,从核心素养题目总数统计,苏教版的素养题目总数为最多,总计179 道,北师大版素养题目为最少,总计86 道.苏教版在习题总数和素养题目总数均是北师大版的两倍之多.

3.2 核心素养类型的分析结论

依据《新课标》对函数的概念和性质的要求,函数的概念注重培养学生数学抽象素养,函数的性质和幂函数注重培养学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养,在函数的应用则注重培养数学建模素养,以此为基础展开如下分析.

3.2.1 习题对数学运算素养重视程度较高,对数学建模素养重视程度较低

由表1可知,四个版本均注重数学运算素养的培养,在各自版本核心素养类型中处于前列,占比分别达到了43.2%,48.0%,51.0%,49.6%,这说明各版本对于学生的运算能力给予充分的重视,重视挖掘学生平时在习题上运算思维的深刻性,运算方式的可塑性,运算能力的创造性.并且数学素养与其它核心素养相辅相成,数学运算素养也为其它核心素养提供了保证.

表1 四版教材核心素养类型的习题总数及百分比统计表

由表1可知,四个版本对数学建模素养的重视程度较低,在各版本核心素养占比最少,分别达到了18.5%,6.0%,5.9%,8.7%.而对于新课标来说,在函数应用部分,强调学生要理解如何要用函数描述客观世界事物的变化规律,体会不同函数与实际生活的联系,会建立数学模型去解决生活上的实际问题.因此,四个版本在数学建模素养上还需要有待加强.

3.2.2 各版本核心素养类型侧重点各具特色

由表1可知,从横向比较可知,人教A 版更注重核心素养的均衡发展,其中数学抽象、逻辑推理和直观想象素养比重相差不大,可知对函数的概念和性质关注度相当,而其他三个版本在素养占比上表现各异,更突出所侧重的核心素养类型.从纵向比较可知,人教B 版和北师大版注重逻辑推理素养的培养,集中表现在函数性质的推理和证明,培养学生碰到新的问题时可以形成提出猜想、完善猜想并进行验证猜想的意识,提高逻辑推理能力;人教A 版和苏教版注重数学抽象素养的培养,训练学生能理解函数符号和抽象定义之间的联系,并注重实际情境下函数概念的抽象和具体函数下对应法则的考查,关注发展学生抽象生活实例去解决实际问题的能力.

3.3 核心素养水平的统计结果

四个版本教材函数的概念和性质习题在各核心素养水平分类如表2所示.

表2 四版本核心素养习题水平的百分比(以整数为单位)统计表

根据表2对于习题的核心素养水平的统计结果,绘制出各个核心素养的水平雷达图,直观化展示四个版本的素养水平占比,如下图1,2,3,4,5所示.

图1

由图1和表2可知,苏教版在水平一上占比最大,位居第一,而人教A 版,人教B 版和北师大版的水平一占比相差不大.人教A 版在水平二占比最大,人教B 版占比最小.其中只有人教A 版和苏教版涉及了水平三的习题,但占比很小.

由图2和表2可知,四个版本教材习题在三个水平均有所涉及.北师大版在水平一所占比例最大,苏教版所占比例最小;同样北师大版在水平二所占比例也最大,人教A 版所占比例最小;人教B 版在水平三所占比例最大,人教A 版所占比例最小.

图2

由图3和表2可知,四个版本教材习题均只涉及前两个水平,没有水平三的习题.其中人教A 版在水平一所占比例最大,人教B 版所占比例最小;同样人教A 版在水平二所占比例也最大,而苏教版和北师大版所占比例最小.

图3

由图4和表2可知,四个版本教材习题均只包括前两种水平,没有包含水平三的习题.其中在水平一所占比例最大的是北师大版,而人教A 版所占比例最小;苏教版在水平二所占比例最大,而北师大版所占比例最小.

图4

由图5和表2可知,人教A 版和北师大版均包含三个水平的习题,人教A 版在三个水平中所占比例均最大,其次是北师大版.而人教B 版和苏教版均没有涉及水平三的习题.

图5

3.4 核心素养水平的分析结论

从《新课标》可知,水平一是衡量高中结业水平的标准,水平二是与高考难度相当的水平,水平三可以作为高校自主招生或强基计划的标准,并以此为基础展开如下分析.

3.4.1 习题在素养水平上分布不均

各版本在函数的概念和性质的习题绝大多数处于素养水平一,少部分习题处于素养水平二,极少数习题处于素养水平三.说明四版教材在习题编排上要求满足大多数学生高中结业的要求,对于考查学生思维性、灵活性和创新性习题涉及面相对较少.但水平一占比较大的习题有助于学生巩固和消化函数的概念和性质,水平二和水平三主要侧重于考察学生对于函数内容的整体性理解.从整体上考虑,四版教材的习题水平编写比较符合课程标准对培养学生数学核心素养的要求,能让学生具备适应未来发展的关键能力和必备品格.

3.4.2 习题在素养水平上侧重不同

不同版本在不同素养上的水平侧重不同.人教A 版和北师大版在逻辑推理和直观想象素养涉及水平三,可知这两版教材对于利用数形结合的思想方法推导函数性质时更关注形的重要性.人教B 版和苏教版在数学抽象和逻辑推理素养涉及水平三,可知这两版教材更注重函数知识与综合情景的联系.特别地,素养水平涉及的程度越高,一定程度上反映该版本重视的核心素养类型.例如,人教B 版在逻辑推理素养水平上有处于第三水平的习题,而对应着习题的核心素养类型也更加注重培养学生的逻辑推理能力.从整体上考虑,四版教材习题都有自己独有的教材特色和体现核心素养水平的编写方式,侧重点有所不同,在使用过程中可以根据实际情况取长补短,精益求精.

4 启示

4.1 以核心素养为导向,多版教材各取所长

习题是落实核心素养的有效工具.首先,教师在习题教学中善于结合学情,汲取各版教材精华,在备课时可以参考不同的编排方式和具体内容的细节处理,集各版本优势于一身,以便教学时做到收放自如,不断精进自己的课堂,让核心素养在课堂上落地生根.其次,学生也可在学习过程中参考不同的教材版本,拓宽自己知识和思维的广度,从而形成发散性思维,在遇到问题时可以选择适合自己的思维方式解决问题[10].

4.2 以数学建模为载体,培养学生创新思维

在新时代背景下创新思维是学生在未来走向社会的核心竞争力,是习题编写应该专注的重点.数学建模是培养学生创新思维的重要载体,但在四版教材中数学建模的水平要求不是很高.因此,第一,教材编写可以适当增加数学建模素养水平的习题,在此过程中也要保证习题的质量,可适当增设跨学科、综合性和开放性较强的数学建模题.第二,鼓励教师在实施综合与实践课中充分利用习题的价值,让学生多次经历数学建模解决问题的过程,体会数学模型是解决实际问题的重要工具,感受数学建模的价值,培养学生的数学建模素养,提高学生发现问题的能力,注重学生创新思维的发展[11].

4.3 以学生发展为根本,习题关注分层设计

《新课标》提出高中数学课程要以学生发展为本,强调不同的人在数学上得到不同的发展.因此,教材要注重习题的层次性,以课程标准对水平的划分为依据,为不同的学生带来不同的素养发展,既能保证全面学习和评价的有效性,又可以避免题海战术,提高学生学习和复习的有效性,还能进一步促进教师对于知识点水平的掌握.