运用向量系数提高解题效率

杨伟达

(广东省广州市花都区第二中学 510820)

向量是近代数学的重要概念，是沟通几何和代数的桥梁，在解决实际问题时发挥重要作用．

向量λa就是将向量a拉长或缩短原来的λ倍(λ>0同向；λ<0反向)，所以与a共线的所有向量都可以用a表示；同样，平面上任一向量e都可以用两个基底e1,e2表示．即e=xe1+ye2(x,y∈R)．

1 定比系数

定比分点作为《向量分解》这节课的探究，常常以三角形的形式呈现，着重考查基向量系数或比值.在高考中,运用向量的定比系数求解点坐标，有助于提高解题效率．

图1

特别地，当点P为线段P1P2的中点时，此时λ=1.

同理，与权重平均数形式一样，坐标形式与向量形式类似．

不妨设P1,P2的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2).

特别地，当点P为线段P1P2中点时，此时λ=1，m=n=1．

分析本题考查了椭圆与直线的综合问题．题目给出分点坐标和比值，采用坐标法代入，列方程组转化为关于一元二次函数即可．

所以当m=5时，点B横坐标的绝对值最大．

2 直线的基底系数

因为B,C,D三点在同一直线上,

又因为B,C,D三点共线，

因为△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°,

3 基底的同类项系数

从本质上，向量的坐标表示来源于平面向量的基底系数，所以向量的坐标加减就是基底系数的加减(同类项系数同时加减).当且仅当，复合向量共线时，其基底的同类项系数成比例(分母不为0)．从几何角度上看，其实就是构造出两个三角形相似，对应线段成比例．

4 零向量的基底系数

在平面向量中，一个常常被师生忽视的零向量有着丰富的特殊性，其作用和地位非同小可.若能用好零向量的基底系数结论，对解题往往起到事半功倍的效果.

(1)若向量系数均为同号，则O为ΔABC所在平面内一点，则有S△BOC∶S△AOC∶S△AOB∶S△ABC=m∶n∶k∶(m+n+k).

(2)若向量系数互为异号，则有O为△ABC所在平面外一点，则有S△BOC∶S△AOC∶S△AOB∶S△ABC=|m|∶|n|∶|k|∶|m+n+k|.

特别地，当m+n+k=0时，则三点A,B,C在同一条直线上，不构成三角形，面积为0，所以有S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=|m|∶|n|∶|k|.

解析因为点G是△ABC的重心，

所以2b=2c=3a-2b.