二次函数常见题型及解题策略探究

沃忠波 郑颖

［摘 要］二次函数是数学知识体系中的重要内容之一，不仅是初中数学学习的重点，而且在高中数学学习中占据着十分重要的位置。二次函数相关知识与考点较多，导致学生学习产生一定的困难。文章结合实际情况，对二次函数的常见题型及解题策略进行分析总结，以期帮助学生突破难点，提高解题效率。

［关键词］二次函数；常见题型；解题策略

［中图分类号］    G633.6        ［文獻标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）35-0020-04

二次函数是初中数学的重要内容，也是中考数学的重要命题点，会出现在试卷中的任何一类题型中。同时，二次函数也是学习的难点，学生掌握起来并不轻松。本文对二次函数的常见题型及解题策略进行梳理，以供同行参考。

一、二次函数的解析式求解问题

求二次函数的解析式是二次函数的一个常见题型，其难度一般不会很大，这类题型常用的解题方法是待定系数法，一般可以分为设、代、解、列四步，即根据题目信息合理设出解析式，而后代入题目信息，并进一步解相关方程，最后列出解析式。需要注意的是，学生要根据不同题目信息，设出适当形式的函数关系式。

［例1］二次函数的图象过点[A（3，0）]，[B（-1，0）]且与[y]轴的交点为[C（0，6）]，求二次函数的解析式。

解析：二次函数[y=ax2+bx+c]的图象过点[A（3，0）]，[B（-1，0）]，所以可设其解析式为[y=a（x-3）（x+1）]，

又因为过点[C（0，6）]，所以[6=a（0-3）（0+1）]，可得[a=-2]，

所以所求二次函数的解析式为[y=-2（x-3）（x+1）]，即[y=-2x2+4x+6]。

在解答本题时，因为二次函数的图象过点[A（3，0）]，[B（-1，0）]，所以便可设其解析式为[y=a（x-3）（x+1）]，而后将[C（0，6）]代入，可得二次函数的解析式为[y=-2x2+4x+6]。当已知二次函数[y=ax2+bx+c]与[x]轴的交点坐标为[A（x1，0）]，[B（x2，0）]时，此时便可将函数的解析式设为[y=a（x-x1）（x-x2）]。

二、考查二次函数的图象及性质的问题

二次函数的图象及其性质是考查的重点问题，常见的问题有二次函数的开口方向、对称性、增减性、顶点坐标等，而解答这些问题，则需要学生对二次函数的性质进行全面把握。

［例2］如图1所示，二次函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]的图象与[y]轴的交点在[（0，1）]与[（0，2）]之间，对称轴为[x=-1]，函数最大值为[4]，则①[b=2a]；②[-34]；⑤[x<0]时，[y]随[x]增加而减小。正确的有（）。

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个

解析：因为抛物线的对称轴为直线[x=-b2a=-1]，所以[b=2a]，①正确；

因为经过[（-1，4）]，故[a-b+c=-a+c=4]，则[a=c-4]，

因为与[y]轴的交点在[（0，1）]与[（0，2）]之间，所以[1

所以[-3

因为抛物线与[y]轴有两个交点，

所以[b2-4ac>0]，即[4ac-b2<0]，则③正确；

因为一元二次方程[ax2+bx+c=m-4（a≠0）]有两个不等实数根，

所以[y=ax2+bx+c]与[y=m-4]有两个交点，

因为顶点为[（-1，4）]，所以[m-4<4]，所以[m<8]，则④错误；

由图象可得，当[x<1]时，[y]随[x]增加而增大，则⑤错误。故正确答案为B。

在本题中，结合二次函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]的相关性质及其图象，根据开口方向、对称轴、增减性等很容易对各选项进行判断。

三、二次函数的应用问题

二次函数的实际运用问题，也频繁出现在试卷中。在实际的考题中，主要围绕着图形面积问题、抛物线模型问题、最大利润问题等几个方面进行展开，而问题则主要围绕求解函数表达式和最值。在解决问题的过程中，准确根据二次函数基本概念和限制条件写出解析表达式，是求解问题的基础。

［例3］某度假村销售土特产，若每份土特产的成本价为[100]元，在销售阶段发现，销售量[S]与每份售价[t]呈一次函数关系，售价为[150]时，可售出[250]份，售价为[200]时，可售出[200]份，

（1）求[S]关于[t]的函数解析式；

（2）当每份定价应为多少时，利润最大？为多少？

解析：（1）根据题意，设[S=at+b]，

由销售量可得[250=150a+b，200=200a+b，]解得[a=-1，b=400，]

故[S]关于[t]的函数为[S=-t+400]。

（2）由题意可知，每份特产的利润为[（t-100）]元，设每日销售利润为[G]元，则

[G=（t-100）（-t+400）=-t2+500t-40 000=-（t-250）2+22 500]

因为[-1<0]，所以当[t=250]时，[G]取最大值[22 500]，

故每份为[250]元时，每日利润最大，为[22 500]元。

本题为利润型问题，在解答这类问题时要重点关注最终的利润，而计算最大利润则需要准确表达出单件商品的利润，进而与销售量构建函数表达式。

四、二次函数参数的取值问题

二次函数参数的取值问题，一般出现在选择题中，常见的题型有求参数的取值范围、求相关的代数式取值范围等。对于这类问题，常用的解题方法有直接计算法、特殊值法、排除法等。在实际解题中，需要学生结合实际问题，选择合适的解题方法，进而有效解答问题。

［例4］关于[x]的一元二次方程[ax2+bx+12=0]有一个根是[-1]，若二次函数[y=ax2+bx+12]的图象顶点在第一象限，设[t=2a+b]，则[t]的取值范围是（）。

A. [14

C. [-12≤t<12] D. [-1

解析：由题意可知，由[-1]是一元二次方程[ax2+bx+12=0]的根，得[a-b+12=0]，所以[b=a+12]。

又由二次函数[y=ax2+bx+12]的图象顶点在第一象限，可知[a<0]，[b=a+12>0]，解得[-12

因为[t=2a+b=2a+a+12=3a+12]，

所以随[a]增大[t]增大，所以[-1

本题为求与参数相关的代数式取值范围的相关问题，运用了直接法。即由[-1]是一元二次方程[ax2+bx+12=0]的根，得[b=a+12]；由二次函数[y=ax2+bx+12]的图象顶点在第一象限，得[-12

五、二次函数的最值问题

二次函数的最值问题作为重要考点，经常出现在考题之中。常见的题型有确定二次函数的最值、二次函数区间最值问题等。解答这类最值问题，需要学生有牢固的基础知识，解题步骤主要是确定二次函数的解析式，而后对其进行整理，确定函数的开口方向、对称轴、区间内的增减性等，最后进行解题。

［例5］已知函数[y=x2-2x-3]在[a≤x≤a+2]范围内的最小值为[-2]，求[a]的值。

解析：函数[y=x2-2x-3]开口向上，对称轴[-b2a=1]，分类讨论有：

（1）当[a+2≤1]时，此时[y]随[x]的增大而减小，所以，[x=a+2]时[y]值最小为[-2]，则[-2=（a+2）2-2（a+2）-3]，

解得[a=2-1]或[a=-2-1]，

因为[a+2≤1]，所以[a≤-1]，[a=2-1]不符合题意，所以[a=-2-1]。

（2）当[a≥1]时，此时[y]随[x]的增大而增大，所以，[x=a]时[y]值最小为[-2]，则[a2-2a-3=-2]，

解得[a=1+2]或[a=1-2]，

因为[a≥1]，所以[a=1-2]不符合题意，舍去。

（3）当[a<1≤a+2]或[a≤1

综上所述，[a]的值为[-2-1]或[1+2]。

在解题中，因存在参数，所以需要进行分类讨论。当[a+2≤1]时，此时[y]随[x]的增大而减小，得[a=-2-1]；当[a≥1]时，此时[y]随[x]的增大而增大，得[a=1+2]；当[a<1≤a+2]或[a≤1

六、二次函数的综合题

二次函数的综合题，是中考数学试卷的压轴题，这类题型具有一定的难度。面对这类题型，学生首先要读懂题意，找出题中所有信息，挖掘隐含条件，明确答题目标；其次需要确定解题思路，这个过程需要找出条件与结论之间的联系及特殊图形的性质或判定方法等；最后需要进行规范作答。

［例6］如图2所示，抛物线[y=14x2-12x-2]与[x]轴交于[A、B]两点（[A]在[B]左侧），与[y]轴交于点[C]，抛物线对称轴为[l]。

（1）求点[A、B、C]的坐标；

（2）若[D]为抛物线上第一象限内一点，作[DE⊥x]轴于点[E]，交直线[CB]延长线于点[F]，当[OE=4DF]时，求四边形[DOBF]的面积。

（3）在（2）条件下，若点[M]在抛物线上，点[N]在[l]上，点[B、D、M、N]为顶点的四边形为平行四边形时，求点[M]坐标。

解析：（1）当[y=14x2-12x-2=0]时，解得[x1=-2]，[x2=4]，所以[A（-2，0）]，[B（4，0）]；

当[x=0]时，[y=-2]，所以[C（0，-2）]。

（2）因为点[D]为抛物线上第一象限内一点，所以设点[D]的坐标为[d，14d2-12d-2（d>4）]，

因为[DE⊥x]轴于点[E]，所以[OE=d]，[DE=14d2-12d-2]。

设直线[BC]的解析式為[y=kx-2]，将[B]点坐标代入解析式，得[4k-2=0]，解得[k=12]，

所以直线[BC]的解析式为[y=12x-2]，

因为[DE]交[BC]于点[F]，所以[Fd，12d-2]，所以[DF=14d2-12d-2-12d-2=14d2-d]，

因为[OE=4DF]，所以[d=414d2-d]，解得[d1=0]（舍去），[d2=5]，所以[D5，74]，[F5，12]，

所以[DE=74]，[EF=12]，[BE=OE-OB=5-4=1]，

则[S四边形DOBF=S△OED-S△BEF=12OE·DE-12BE·EF=12×5×74-12×1×12=338]。

（3）因为[A（-2，0）]，[B（4，0）]，所以对称轴为直线[x=-2+42=1]，所以[xN=1]。

①如图3所示，[BD]∥[MN]，四边形[BMND]是平行四边形，所以[DN]∥[BM]，[DN=BM]，所以[DN]向下平移[74]个单位，向左平移1个单位可得[BM]，所以[xM=xN-1=0]，所以M（0，-2）。

②如图4所示，[BD]∥[MN]，四边形[BMND]是平行四边形，所以[DM]∥[BN]，[DM=BN]，所以[BN]向上平移[74]个单位，向右平移1个单位可得[DM]，所以[xM=xN+1=2]，M（2，-2）。

③因为以[BD]为对角线时，[BD]与[MN]互相平分，所以[BD]的中点与[MN]的中点相同，

所以[xB+xD2=xM+xN2，yB+yD2=yM+yN2，]

设[Mm，14m2-12m-2]，[N（1，n）]，

所以[m+1=4+5，14m2-12m-2+n=0+74，]

解得[m=8，n=-334，]

所以[M（8，10）]。

综上所述，符合条件的点[M]坐标为（0，-2）或（2，-2）或（8，10）。

本题中（1）、（2）问都较为简单，（3）问中在确定了[B、D]坐标的基础上，确定另外两个顶点的坐标。在直角三角形[DBE]中，可以找到点[D]到点[B]的平移方法，及四边形边[DN]的平移方法，由此可得点[M]的坐标。

综上所述，本文总结了二次函数的常见题型，分别为二次函数的解析式求解问题、考查二次函数的图象及性质的问题、二次函数的应用问题、二次函数参数的取值问题、二次函数的最值问题及综合题，并提出了相应的解题策略。对于二次函数，学生需要在日常学习中重点去学习、掌握相关题型的解题方法，以提高解题效率。

［   参   考   文   献   ］

［1］  高艳.巧用待定系数法求二次函数的解析式［J］.语数外学习（初中版），2023（5）：32-33.

［2］  王世国.二次函数区间最值问题［J］.初中生辅导，2023（合刊3）：101-103.

［3］  吴琨.压轴主力：二次函數［J］.初中生世界，2022（47）：61-63.

［4］  周立恒.如何利用二次函数求解最值问题［J］.语数外学习（初中版），2022（9）：23-25.

（责任编辑 黄桂坚）