二次函数常见题型及解题策略探究
2023-03-17沃忠波郑颖
沃忠波 郑颖
[摘 要]二次函数是数学知识体系中的重要内容之一,不仅是初中数学学习的重点,而且在高中数学学习中占据着十分重要的位置。二次函数相关知识与考点较多,导致学生学习产生一定的困难。文章结合实际情况,对二次函数的常见题型及解题策略进行分析总结,以期帮助学生突破难点,提高解题效率。
[关键词]二次函数;常见题型;解题策略
[中图分类号] G633.6 [文獻标识码] A [文章编号] 1674-6058(2023)35-0020-04
二次函数是初中数学的重要内容,也是中考数学的重要命题点,会出现在试卷中的任何一类题型中。同时,二次函数也是学习的难点,学生掌握起来并不轻松。本文对二次函数的常见题型及解题策略进行梳理,以供同行参考。
一、二次函数的解析式求解问题
求二次函数的解析式是二次函数的一个常见题型,其难度一般不会很大,这类题型常用的解题方法是待定系数法,一般可以分为设、代、解、列四步,即根据题目信息合理设出解析式,而后代入题目信息,并进一步解相关方程,最后列出解析式。需要注意的是,学生要根据不同题目信息,设出适当形式的函数关系式。
[例1]二次函数的图象过点[A(3,0)],[B(-1,0)]且与[y]轴的交点为[C(0,6)],求二次函数的解析式。
解析:二次函数[y=ax2+bx+c]的图象过点[A(3,0)],[B(-1,0)],所以可设其解析式为[y=a(x-3)(x+1)],
又因为过点[C(0,6)],所以[6=a(0-3)(0+1)],可得[a=-2],
所以所求二次函数的解析式为[y=-2(x-3)(x+1)],即[y=-2x2+4x+6]。
在解答本题时,因为二次函数的图象过点[A(3,0)],[B(-1,0)],所以便可设其解析式为[y=a(x-3)(x+1)],而后将[C(0,6)]代入,可得二次函数的解析式为[y=-2x2+4x+6]。当已知二次函数[y=ax2+bx+c]与[x]轴的交点坐标为[A(x1,0)],[B(x2,0)]时,此时便可将函数的解析式设为[y=a(x-x1)(x-x2)]。
二、考查二次函数的图象及性质的问题
二次函数的图象及其性质是考查的重点问题,常见的问题有二次函数的开口方向、对称性、增减性、顶点坐标等,而解答这些问题,则需要学生对二次函数的性质进行全面把握。
[例2]如图1所示,二次函数[y=ax2+bx+c(a≠0)]的图象与[y]轴的交点在[(0,1)]与[(0,2)]之间,对称轴为[x=-1],函数最大值为[4],则①[b=2a];②[-34];⑤[x<0]时,[y]随[x]增加而减小。正确的有()。
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
解析:因为抛物线的对称轴为直线[x=-b2a=-1],所以[b=2a],①正确;
因为经过[(-1,4)],故[a-b+c=-a+c=4],则[a=c-4],
因为与[y]轴的交点在[(0,1)]与[(0,2)]之间,所以[1 所以[-3 因为抛物线与[y]轴有两个交点, 所以[b2-4ac>0],即[4ac-b2<0],则③正确; 因为一元二次方程[ax2+bx+c=m-4(a≠0)]有两个不等实数根, 所以[y=ax2+bx+c]与[y=m-4]有两个交点, 因为顶点为[(-1,4)],所以[m-4<4],所以[m<8],则④错误; 由图象可得,当[x<1]时,[y]随[x]增加而增大,则⑤错误。故正确答案为B。 在本题中,结合二次函数[y=ax2+bx+c(a≠0)]的相关性质及其图象,根据开口方向、对称轴、增减性等很容易对各选项进行判断。 三、二次函数的应用问题 二次函数的实际运用问题,也频繁出现在试卷中。在实际的考题中,主要围绕着图形面积问题、抛物线模型问题、最大利润问题等几个方面进行展开,而问题则主要围绕求解函数表达式和最值。在解决问题的过程中,准确根据二次函数基本概念和限制条件写出解析表达式,是求解问题的基础。 [例3]某度假村销售土特产,若每份土特产的成本价为[100]元,在销售阶段发现,销售量[S]与每份售价[t]呈一次函数关系,售价为[150]时,可售出[250]份,售价为[200]时,可售出[200]份, (1)求[S]关于[t]的函数解析式; (2)当每份定价应为多少时,利润最大?为多少? 解析:(1)根据题意,设[S=at+b], 由销售量可得[250=150a+b,200=200a+b,]解得[a=-1,b=400,] 故[S]关于[t]的函数为[S=-t+400]。 (2)由题意可知,每份特产的利润为[(t-100)]元,设每日销售利润为[G]元,则 [G=(t-100)(-t+400)=-t2+500t-40 000=-(t-250)2+22 500] 因为[-1<0],所以当[t=250]时,[G]取最大值[22 500], 故每份为[250]元时,每日利润最大,为[22 500]元。 本题为利润型问题,在解答这类问题时要重点关注最终的利润,而计算最大利润则需要准确表达出单件商品的利润,进而与销售量构建函数表达式。 四、二次函数参数的取值问题 二次函数参数的取值问题,一般出现在选择题中,常见的题型有求参数的取值范围、求相关的代数式取值范围等。对于这类问题,常用的解题方法有直接计算法、特殊值法、排除法等。在实际解题中,需要学生结合实际问题,选择合适的解题方法,进而有效解答问题。 [例4]关于[x]的一元二次方程[ax2+bx+12=0]有一个根是[-1],若二次函数[y=ax2+bx+12]的图象顶点在第一象限,设[t=2a+b],则[t]的取值范围是()。 A. [14 C. [-12≤t<12] D. [-1 解析:由题意可知,由[-1]是一元二次方程[ax2+bx+12=0]的根,得[a-b+12=0],所以[b=a+12]。 又由二次函数[y=ax2+bx+12]的图象顶点在第一象限,可知[a<0],[b=a+12>0],解得[-12 因为[t=2a+b=2a+a+12=3a+12], 所以随[a]增大[t]增大,所以[-1 本题为求与参数相关的代数式取值范围的相关问题,运用了直接法。即由[-1]是一元二次方程[ax2+bx+12=0]的根,得[b=a+12];由二次函数[y=ax2+bx+12]的图象顶点在第一象限,得[-12 五、二次函数的最值问题 二次函数的最值问题作为重要考点,经常出现在考题之中。常见的题型有确定二次函数的最值、二次函数区间最值问题等。解答这类最值问题,需要学生有牢固的基础知识,解题步骤主要是确定二次函数的解析式,而后对其进行整理,确定函数的开口方向、对称轴、区间内的增减性等,最后进行解题。 [例5]已知函数[y=x2-2x-3]在[a≤x≤a+2]范围内的最小值为[-2],求[a]的值。 解析:函数[y=x2-2x-3]开口向上,对称轴[-b2a=1],分类讨论有: (1)当[a+2≤1]时,此时[y]随[x]的增大而减小,所以,[x=a+2]时[y]值最小为[-2],则[-2=(a+2)2-2(a+2)-3], 解得[a=2-1]或[a=-2-1], 因为[a+2≤1],所以[a≤-1],[a=2-1]不符合题意,所以[a=-2-1]。 (2)当[a≥1]时,此时[y]随[x]的增大而增大,所以,[x=a]时[y]值最小为[-2],则[a2-2a-3=-2], 解得[a=1+2]或[a=1-2], 因为[a≥1],所以[a=1-2]不符合题意,舍去。 (3)当[a<1≤a+2]或[a≤1 综上所述,[a]的值为[-2-1]或[1+2]。