项目群甲供非商品化资源费用与生产规模优化模型

丰景春 ，赵恩惠

（1.河海大学商学院；2.河海大学项目管理研究所；3.江苏省世界水谷与水生态文明协同创新中心，江苏南京 211100）

1 研究背景

随着社会经济的快速发展、全球经济一体化和国家重大需求的增长，已经实施、正在实施和未来拟实施的大型工程项目需求量快速增长，而项目群是大型工程项目组织实施的基本形态。由于项目群的特点表现为显著的连锁效应、合同项目之间的强依赖性、里程碑事件的存在以及多个利益主体参与，仅仅依靠单一的项目管理理论和方法已经不能满足项目群管理的需要，项目群管理由此应运而生［1］，如今在建设工程领域项目群管理已成为常态。而在项目群管理中，工期、费用和质量不仅是三大控制性目标，也是项目群主要的优化目标。

资源管理是项目群管理的一项重要任务，它将直接影响项目群费用、进度、质量等目标的控制效果和实现程度［2］。业主提供的资源分为两种，即甲供商品化资源(commercial resources provided by employers, CRPE）和甲供非商品化资源（NCRPE）［3］。NCRPE是项目群中的一种特殊而重要的资源，首先，NCRPE由业主负责供应；其次，NCRPE在市场上难以买到或市场供应量难以满足项目群需要或者因运费过高等原因，需要在靠近项目群的地方建造NCRPE专门的生产系统。NCRPE费用占项目群资源总费用或者占项目群总投资的比重较大，以混凝土为例，虽然不同项目群的人工骨料（即砂石料）成本在不同等级混凝土中所占比例差异较大，如在Feng等［3］调查的7个典型项目群中，人工骨料成本占混凝土成本的比例最大为52.25%、最小为19.34%。可见，NCRPE对项目群投资影响显著。

业主在提供NCRPE时，需要建立专门的生产系统，其生产规模主要取决于NCRPE的最大需求量。在NCRPE的总量固定不变的条件下，单位时间NCRPE的需求量越大，要求生产系统的供应能力越大，即NCRPE生产规模要越大，在业主不考虑价格波动的情况下，NCRPE生产系统总费用越高，因此与CRPE相比，单位时间NCRPE的最大需求对项目群投资具有重要的影响。为此，在考虑NCRPE特点及合同项目之间复杂关系的情况下，如何降低NCRPE的最大生产规模达到项目群费用优化目标，已成为项目群资源优化成为值得关注的问题。

2 文献综述

项目费用优化一直是项目管理领域的主要研究主题，它与资源优化有着密不可分的联系。Siemens［4］建立了时间与费用优化模型，利用费用斜率的递增趋势对各项工作的持续时间进行压缩。Kruger等［5］首次提出资源调度时间与成本的概念，并构建基于优先级的启发式解决方案来求解多项目资源调配问题。Ranjbar等为［6］解决资源延迟导致的项目成本上升，将资源延误的惩罚资金最小作为优化目标，并开发了一种分支界定算法。付芳等［7］在一定的约束条件下，将目标设置为总成本最小，并利用列生成法分解了复杂的多项目模型，使其成为更好理解的一个主问题和多个子问题，最后运用启发式算法来对问题进行求解。林晶晶等［8］建立了以系统总收益最大化为目标的模型，主要通过引入关键链来解决单一资源在多项目中的瓶颈问题，并考虑项目的完工滞后或者提前带来的资源瓶颈以及不同项目的重要性资源分配情况所带来的系列奖惩，最后利用粒子群算法来解决目标模型。张贤哲等［9］基于各个项目对应的权重改进原始损益值后，用动态规划的方法按照总投资效益最大化的目标在各个项目中分配资源。倪霖等［10］构建了以成本最小为目标的优化模型，主要考虑资源闲置成本和资源延迟成本，同时忽略资源在多个项目之间的转移成本，且设计了退火遗传算法来验证该模型的有效性。Chen［11］以资源作为约束条件，利用元启发式算法来降低项目延迟成本。马国丰等［12］提出，有效利用投资成本的同时保证资源均衡使用，在项目中对实施主体过程管理、投资主体资金投入具有重要作用。张亚鹏［13］构建了以多项目调度成本最小化为目标的资源调度成本模型，其主要成本包括可更新资源闲置成本、多项目延迟成本和可更新资源转场成本，并设计了混合蚁群算法来实现优化目标最小。黄健仓［14］构建了时间与费用优化模型，指出资源的分配既需要充分考虑时间的成本，还关乎项目持续时间。谢芳等［15］构建的双目标优化模型中，所需的资源使用量是不断变化的动态过程，为解决资源可用量可变约束下的多模式项目调度问题而引入混合遗传算法，并为项目经理提供一个帕累托最优集合，在进行具体的项目时可直接取舍。丰景春等［16］构建了项目群工期提前奖励模型，利用项目群子网络图对项目的关键路径和非关键路径进行奖励情况分析。Kreter等［17］认为，对于资金较为集中且工期较长的项目来说，比起不断的压缩工期，减少资源获得成本尤为重要。有关资源约束下的项目群费用管理的研究成果如下：李迁等［18］研究表明，业主的收益以及供应商的资源调度策略在不同程度上都受业主激励措施的影响；丰景春等［19］通过构建项目群实施前后两阶段工期与费用模型，并不断调整网络时标参数，使资源达到供给平衡，以实现最终工期与费用优化；邱惠［20］对油田项目群的特点、资源、工期、成本进行分析，构建了项目群工期一定、在资源约束下的成本均衡优化模型，并设计了改进后的粒子群网络计划算法来进行最优解求值；丰景春等［21］基于效率最大化原则构建了项目群两阶段动态模型，并利用模拟退火粒子群算法求解；同时，丰景春等［22］也尝试构建了工期固定下项目群实施前和实施过程中NCRPE与费用优化模型和再优化模型，并选用布谷鸟算法进行仿真求解。

综上所述，项目费用优化研究主要 利用智能算法优化NCRPE的供给受限、在项目实施前后通过资源调度对工期进行压缩以提高收益或者避免延误惩罚费来降低业主费用等方面，鲜有考虑NCRPE初始配置对项目群业主费用所造成的影响，也较少考虑时间价值对费用所产生的影响，从而导致现有项目资源实际费用与优化结果情况吻合度不高的问题。为此，本文结合项目群NCRPE及其生产系统的特点，分析NCRPE初始配置的相关费用。项目群NCRPE生产系统费用包括两部分：一是NCRPE生产系统的建设费用，由NCRPE最大生产规模决定；二是生产系统后期的运行费用，由NCRPE分布以及不均衡系数决定，按照费用流量图，NCRPE的使用量在时间上越靠后，相应的运行费用现值越小。基于此，本文以业主支付费用现值最小为目标，建立NCRPE与费用优化模型，同时运用模拟退火粒子群算法求解最优值。

3 问题描述与模型假设

3.1 NCRPE的涵义

NCRPE是指由业主提供，并且业主需要根据项目群需要建立专门的生产系统所提供的资源。NCRPE一旦发生短缺，因其不能在市场进行购买，会出现NCRPE供不应求的问题，此时不可能通过扩大NCRPE生产系统规模，解决供需矛盾问题，而是需要通过削峰优化，将NCRPE最大需求量降低至生产系统最大供应量。

3.2 NCRPE生产系统的特点

一是生产不均衡。由于NCRPE生产系统的生产规模和专门生产系统的建造均需要根据NCRPE最大需求强度来确定，因此，除需求最高峰时间段外，其他时间段生产系统的实际需求强度一般都低于最大供应强度，导致NCRPE生产的不均衡。二是项目群实施过程中生产系统规模难以扩大。在项目群实施过程中，由于合同项目的延误，导致NCRPE需求强度超过生产系统的最大供应强度，此时一般难以通过扩大生产系统规模来增加NCRPE供应量。

3.3 NCRPE生产系统相关费用分析

NCRPE费用高低主要取决于NCRPE生产系统的生产能力，生产能力的大小则取决于NCRPE的生产规模，而生产系统的生产规模大小又取决于单位时间内项目群对NCRPE的最大需求量，即在NCRPE总需求量固定不变的情况下，单位时间NCRPE的最大需求量越大，生产系统的生产规模越大，业主由此需要支付的费用也越高，反之亦然。由此可见，与CRPE优化相比，NCRPE资源和费用优化更为急迫和复杂。此外，项目群NCRPE生产系统的费用主要由两部分组成：一是建立NCRPE生产系统所需的建设费用，包括固定资产和生产设备等费用；二是NCRPE生产系统投入生产之后所产生的运行费用，具体包括开采费用、运输费用以及人力费用等。

项目群实施前和实施过程都需要对NCRPE进行优化。如上文所述，项目群最大需求强度决定了NCRPE的生产规模和供应费用，因此需要在项目群实施前优化NCRPE，尽量降低NCRPE最大需求强度。在项目群实施过程中，一旦受外部因素的影响，最大需求强度超过生产系统的最大供应能力，导致NCRPE冲突，此时不能通过扩大NCRPE生产规模以解决资源冲突问题，因此需要对NCRPE进行削峰优化，将NCRPE最大需求强度降至生产系统的最大供应能力以下。

3.4 基本假设

在项目群实施前后存在不可抗力等各种不确定性因素的影响，较为复杂，为了简化模型，本文提出以下假设条件：（1）基于生产规模的NCRPE费用优化只考虑单一NCRPE的优化；（2）项目群各合同项目之间的实施顺序与逻辑关系保持不变；（3）项目群总工期固定不变；（4）NCRPE的库存为零；（5）任意两个合同项目之间NCRPE转移时间为0，即忽略NCRPE转移时间。

4 优化模型构建

4.1 费用现值理论

在资金市场存在波动的情况下随时会产生通货膨胀或紧缩现象，导致货币资金价值发生变化，故项目群NCRPE费用优化需要考虑资金的时间价值，即以计算期第1年年初为基准点，将各时间段的现金流量折算到基准点，便于不同时期方案的现金流比较。具体计算公式如下：

式（1）中：PC为现值；n为计算期，包括建设期和运行期，为方便计算，项目群Z的建设期忽略不计，即第1年年初建成生产系统，运行期以项目合同工期计；I为全部建设投资，包括设备、有关土建等费用，不考虑物价上涨指数，为一次性投入；C为经营费用，包括设备运行生产之后的开采、运输、工薪等费用；SV为计算期未回收固定资产余值，为简化计算可忽略不计；r为基准收益率，通常情况下为10%。

本文利用最小月费用值法对计算期内各时间段的费用金额进行折现，以同时期指标数据进行评估。费用流量图见图1。

图1 费用流量

4.2 总费用现值优化

项目群NCRPE生产系统的总费用现值包括建设期投资成本现值和运行期各项费用的收益折现两大部分。其中，项目建设期投资成本根据NCRPE的最大需求量确定其最大生产规模，再根据已建成类似生产系统的投资额进行总体评估计算；运行期效益变动费用则主要包括原材料的开采费用、运输费用和工人薪资。本文选取项目群合同工期为计算年限，对建设期投入费用和后期生产系统运行期费用进行折算。

4.2.1 建设期投资成本现值

在项目群开工前，NCRPE生产系统已建成投产；同时，NCRPE生产系统为一次性投入，故建设费用现值计算公式为：

由式（3）可知，NCRPE建设费用大小取决于拟建生产系统的生产能力，而生产能力大小取决于NCRPE生产规模，因此对建设费用的优化实质是对NCRPE生产规模的优化。业主需要在工期固定的原则下，在生产系统建设前根据项目群初始网络计划对NCRPE与费用进行优化。

项目群NCRPE生产系统建设费用优化步骤如下：

（1）根据项目群初始时标网络图，计算各合同项目时间参数以及各个项目的NCRPE需求量，其中时间参数包括第i个合同项目的最早开始时间（ESi）、最早结束时间（EFi）、最迟开始时间（LSi）、最迟结束时间（LFi）、总时差（TFi）和自由时差（FFi）。

（2）确定各个项目的NCRPE需求量，计算每月NCRPE的需求量并绘制需求量分布图。

式（4）（5）中：Et为不平衡系数；r(t)为每月的NCRPE需求量；T为项目群总工期。

（5）重复步骤（3）和步骤（4），直到峰值不能再降低时，此时NCRPE生产规模最优、项目群建设费用最低。

4.2.2 运行期费用现值

运行期费用现值模型将原材料的开采费用、运输费用以及工人薪资按照合同工期进行折现，计算期以月为单位。表达式如下：

根据运行期费用的相关组成，将运行期费用模型具体化，公式如下：

4.2.3 项目群NCRPE生产系统总费用现值模型

项目群NCRPE生产系统总费用现值C的计算模型表达式如下：

当总费用现值模型求得最小值时，此时业主所支付的费用最低，即：

5 NCRPE与费用优化算法选用分析

5.1 模拟退火粒子群算法的选用

随着人工智能技术的发展，各种人工智能算法在众多领域得到了普及与应用，因而也出现了运用智能算法求解建设工程项目中不同目标优化问题的研究，尤其是近年来针对项目资源调度优化，项目工期费用优化等问题，学术界已提出大量的算法求解，如多目标进化算法、精确式算法、遗传算法（GA）以及粒子群算法（PSO）等。其中，粒子群算法最早由Kennedy等［23］于1995年提出，是对自然界鸟群、鱼群等在群体生活中的移动与捕食过程的近似模拟。该算法虽然能够有效地优化各种函数，但在离散函数、多目标优化等问题上往往容易陷入局部极小值。而模拟退火算法（SA-PSO）在粒子群算法的基础上引入了模拟退火思想，可通过在一定概率下接受一些劣质解，从而跳出原状态并继续搜索，使算法在搜索过程中有较强的全局寻优能力，有效避免搜索陷入局部极小解。自模拟退火粒子群算法提出以来，就被广泛应用于各种组合优化问题，如路径最优选择、资源均衡优化、费用最小值寻优等。在项目群NCRPE优化过程中，模拟退火粒子群算法操作也更加简单便捷、稳定性更强。因此，本文选用模拟退火粒子群算法对项目群NCRPE与费用模型进行求解。

5.2 模拟退火粒子群算法的求解步骤

模拟退火粒子群算法的求解步骤如下：

（1）初始化含有种群规模N、初始位置popi和速度vi的粒子群体。

（2）计算每个粒子的适应度fitness(i)，比较个体极值Pbest(i)与适应度值fitness(i)。若fitness(i)＞Pbest(i)，则令Pbest(i) =fitness(i)；同理，若fitness(i)＞Gbest(i)，则令Gbest(i)= fitness(i)。

（3）设定足够大的初始温度T0＞0 并进行相应的退温操作，即：

式（16）中：λ为退火过程中的衰减参数；k为退温函数自变量。

（4）确定当前温度T*下每个粒子pi的适应值，即：

式（17）中：TF为粒子适应值；pg为评价函数f(pg)的自变量。

（5）确定全局最优的代替值pi，并更新其位置和速度，公式如下：

式（18）（19）中：ω为惯性权重；c1、c2为学习因子，分别代表i的个体认知和社会加速常数；r1、r2为相互独立随机数，r1,r2∈［0,1］；vid为粒子的速度；pid和pgd为粒子的适应值；popid为粒子所在位置。

（6）计算确定粒子目标值，并更新Pbest(i)和Gbest(i)，随后进行退火操作。

（7）判断是否满足终止条件，若符合则计算结束并输出结果；否则返回步骤（4）。

模拟退火粒子群算法的求解步骤如图2所示。

图2 模拟退火粒子群算法计算流程

6 案例分析

6.1 案例背景

项目群Z包含13个合同项目，总工期为50个月，具有工期紧、混凝土需求量大等特点。项目群Z所处地区偏远，砂石料受运距远、当地砂石料供应能力低、运输困难等条件限制，业主需要在项目附近建立专门的人工砂石料生产系统，以满足人工砂石料供应需要。显然，项目群Z所需要的人工砂石料属于NCRPE。

6.2 问题界定

在项目群Z实施前，按照项目群Z所需要的人工砂石料最大需求量，业主与人工砂石料供应商签订供应合同。由于不同时间段其人工砂石料的供应强度存在较大差异，因此，供应合同金额与人工砂石料的生产系统规模（供应能力）密切相关，而生产系统规模（供应能力）则取决于项目群Z单位时间人工砂石料最大需求量，即项目群Z单位时间人工砂石料最大需求量越大，生产系统规模越大，供应合同金额越大。由此可见，在签订供应合同之前，业主需要对项目群Z人工砂石料进行均衡优化，使得项目群Z最大人工砂石料需求量实现最小化，以降低供应合同金额。

6.3 人工砂石料生产系统的建设费用优化

由上文可知，为了实现项目群业主支付建设费用最小，需要对NCRPE的最大需求量进行优化。在工期固定的情况下，将NCRPE需求峰值降至最小是降低 NCRPE生产系统建设费用最有效的方法。为此，在项目群Z实施前，使用削峰法对初始时标网络图进行优化。经过多次迭代优化，直到NCRPE需求高峰值不能再降低，计算得出Q2的最小值，此时项目群业主支付的建设费用最小。

（1）根据关键路径法，绘制项目群Z的初始网络计划图（见图3），确定项目群Z的关键路径（A-E-I-K-J），并根据项目群Z初始时标网络图计算各合同项目时间参数以及各个项目的NCRPE需求量（见表2）。

表2 项目群Z的时间参数和NCRPE计划需求量

图3 项目群Z初始网络计划

（2）根据表2参数，计算项目群Z每月的NCRPE计划需求量，如图4所示。

图4 项目群Z优化前NCRPE需求量分布

（3）由图2可知，NCRPE的最高峰值30×104m3。根据图2计算得出项目群Z的NCRPE平均需求量=17×104m3；

（4）计算每个时间段内NCRPE的需求量不平衡系数Et，并将其作为NCRPE均衡的基准。求得14～21月、第21～25月、25～27月、27～31月、31～32月、32～35月、35～44月的不平衡系数分别为1.47、1.59、1.76、1.35、1.41、1.24和1.06。可见，25～27月的不平衡系数最大。按照项目群Z的初始网络计划，该时间段内处于实施状态的合同项目包括G、D、L、I，而L和I不可移动，那么对G和D而言，将最高峰时段的最后时刻作为Th，此时时间差值分为：

由于只有合同项目D可移动，因此优先将合同项目D延后2个月，在时标网络图中表现为增加一个工期为2个月的挂起合同项目⑤～⑦。以此类推，对项目群Z的峰值进行调整优化，当NCRPE需求高峰值不能再低，得出月 NCRPE限量R限=27×104m3，此时，项目群Z的NCRPE生产系统建设费用最低。

（5）项目群Z合同项目的NCRPE优化完成后，资源需求量相对平衡。

优化后的项目群Z时标网络见图5。各时段NCRPE的需求量分布见图6。

图5 项目群Z优化后网络计划

图6 项目群Z在优化后的NCRPE需求量分布

根据项目群Z第一阶段的优化结果可知，业主按照每月生产27×104m3NCRPE建造人工砂石料生产系统。已知建成类似生产系统的投资额为1.6亿元，已建生产系统的生产能力为1 000 t/h［24］，按每月工作时间为240 h来计算，可得优化后的系统生产能力为1 125 t/h，生产能力指数为1，系列因素变化的综合调整系数为1.5。因此，项目群Z的建设费用最小为2.7亿元。

6.4 项目群Z的运行期费用优化

（1）仿真参数设定。本文运用MATLAB R2018b软件编写模拟退火粒子群算法程序。借鉴丰景春等［22］研究确定相关参数，经过多次试算求解获得运行费用优化结果。设定粒子种群数目N为1 000，惯性权重ω为0.729 8，学习因子c1=c2=2，r1和r2均为［0,1］的随机数，退火初始温度T0为1 000 ℃，终止温度Tf为1 ℃，λ为0.6，最大迭代次数为1 000次。

（2）项目群Z的运行费用，包括开采费用、运输费用和人工薪资。在单位开采费用和单位人工薪资不变的情况下，以第一阶段优化后的NCRPC生产规模作为最优NCRPE生产量，基准收益率为10%，计算最优开采费用累积现值和人工薪资累积现值分别为3 825万元和2 975万元。运输费用依据2021年《中国统计年鉴》中关于各运输方式货物运费费率，具体计算利用SA-PSO算法经过1 000次的迭代后，得到业主所需支付运输费用值趋于其全局最优值，即业主支付费用最低现值为3 550.81万元。由此求得第二阶段项目群NCRPE生产系统的运行费用最低现值为10 350.81万元。

项目群Z的NCRPE运行费用优化结果见图7。

图7 项目群ZNCRPE 运行费用优化结果

6.5 项目群Z费用优化结果分析对比

在保证项目群业主的费用最低的前提下，在项目群Z优化前，为满足NCRPE高峰需求，NCRPE需求强度为30×104m3/月，所需总投资为3.0亿元，运行期费用为1.234 397亿元，总费用为4.234 397万元。在优化后，NCRPE需求强度为27×104m3/月，所需总投资为2.7亿元，运行期费用为1.035 081亿元，总费用为3.735 081万元，比优化前下降了11.79%。此外，在优化前，项目群Z的最大NCRPE不平衡系数为1.76，优化后资源不平衡系数为1.59，降低了9.66%。由此可见，通过优化，项目群Z的NCRPE生产系统的供应能力相对稳定，可以有效地降低NCRPE生产系统的投资成本和运行成本。

项目群Z优化前后具体参数对比见表3。

表3 项目群Z优化前后具体参数对比

6.6 PSO 和SA-PSO算法分析对比

为测试SA-PSO算法求解模型的性能，本文使用PSO和SA-PSO算两种算法同时运行50次，记录求解结果并进行对比（见图8）。算法参数和计算结果如表4所示。仿真结果显示，与PSO算法相比，SA-PSO寻到最优解的次数更多、收敛更快，优化效率显著提升，证实了SA-PSO具有更好的寻优能力、运算速度和运算精度，且SA-PSO原理通俗易懂、容易实现，能够有效地求得NCRPE生产系统业主支付总费用最小解。

图8 PSO和SA-PSO优化结果对比

表4 算法参数设置与结果对比

7 结论与讨论

（1）与优化前相比，优化后的NCRPE生产规模及其总费用均有较大幅度的下降。其中，生产规模下降了10.00%，总费用下降了11.79%，建设投资费用下降了10.00%，运行费用下降了17.57%。可见，本文构建的模型优化效果较为显著，弥补了现有方法仅考虑项目实施前后资源、调度等费用的不足。（2）选用恰当、高效的人工智能算法求解NCRPE运输方案能够有效节省管理人员的时间，提高管理效率。例如，与PSO算法相比，通过SA-PSO算法求解得到的NCRPE生产系统费用优化模型更为高效。（3）以往研究都只从空间上对项目群费用进行优化，忽略了时间对费用价值所产生的影响，为此，本文考虑了费用时间价值，利用资金时间价值原理，对NCPRE生产系统建设费用和运行费用进行折现，从时间和空间两个角度同时优化项目群NCPRE费用，从而使业主支付费用现值最小。

然而，有关项目群 NCRPE初始配置的研究尚处于开始阶段，本文仅考虑了主要费用的优化，下一步需要对NCRPE初始配置费用进行更加详细的费用分析，从而进一步优化项目群NCRPE初始配置，使业主支付费用最低。