基于APOS理论的高中数学概念课教学策略探究

王蕾

摘 要：APOS理论将数学知识的学习划分为操作、过程、对象和图式四个阶段，该理论针对概念学习，故本文基于APOS理论探索数学概念课教学策略，从学生学习数学概念的心理建构过程角度出发，针对四个阶段探讨概念课教学的可行性策略.

关键词：APOS；高中数学；教学策略

APOS理论是美国数学家杜宾斯基等人基于皮亚杰“反思抽象”观点提出的一种数学概念学习的理论模型.APOS理论认为，学习者不能直接学到数学概念，而是通过心智结构使所学的概念产生意义，教学的目的是帮助学习者建立适当的心智结构^［1］，强调学生学习数学概念需要进行操作、过程、对象、图式四个心理建构阶段.很多教师在概念课教学中惯用概念同化的方式组织教学，忽略了新知识在学生头脑中自主建构的过程，直接向学生呈现定义并说明.这种方式能够缩短学生学习数学概念的时间，然而过度使用这种策略，不利于培养学生数学抽象、数学建模等核心素养.

APOS理论主要涉及四个概念：操作（Action）、过程（Process）、对象（Object）和图式（Schema）.该理论是一种建构主义的数学学习理论，认为学生学习数学概念实质是对某一数学对象实施操作，这种操作经过内化成为过程，过程可以被压缩为一个图式^［2］.具体来说，数学概念是个体在解决所感知的数学问题的过程中获得的，在这个过程中个体需要进行心理建构，经历以下四个阶段，如表1所示：

1 操作阶段教学策略

策略：巧设问题情境，注重外显活动与思维活动相结合.

弗赖登塔尔认为：“数学教学应该结合学生的生活体验与数学现实.”即数学教学应该在学生的生活体验和数学现实的基础上设置合适的现实情境或科学情境，注重情境的真实性与可探究性. APOS理论强调概念在学生头脑中自主建构的过程，问题情境的设置应当在结合概念特征的同时注重情境的生活化与趣味性，激发学生的学习热情，促进学生积极主动地进行概念生成的心理建构过程.同时，问题情境应当指向概念的核心属性.

APOS理论指出，學生学习数学概念时需经历一系列操作，亲身感受直观背景与数学概念之间的联系.故教师在操作阶段应当给学生充分的自主探究空间，选择合适的操作方式，使学生通过动手实践活动与思维活动相结合的方式积极主动思考，发散思维.同时设置具有连贯性与逻辑性的问题串，适当调控学生探究速度，逐步加深学生对问题情境的感知，促进概念建构.

例如：在“平面向量的概念”这节课的操作阶段，教师应该针对学习的内容，创设恰当的情境，给出明确的目标引导学生展开讨论.如设计这样的活动串：

活动一：南辕北辙——战国时，有个驾着马车的人要到南方的楚国去.他乘着马车从太行山脚下出发，一路向北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢？”他却说：“没事，我的马是好马，我又是经验丰富的车夫.”他能如愿到达楚国吗？产生这个结果的原因是什么？

活动二：在教室里，第一排的同学和最后一排的同学相距大约8米，我们可以用8米这个数量来表示他们之间的距离，那么我们怎么描述从第一排走到最后一排这段位移呢？

活动三：哪位同学可以给大家解释下位移和距离表示方法之间的共同点和不同点呢？你还能举出哪些类似的例子？

在这个活动串的设计中，教师引导学生举例，让学生到活动中去，学生在激活自己已有经验的基础上观察、概括对象的共同属性，加深印象.学生通过思考位移和距离两个量之间的相同点和不同点初步产生存在一个既有大小又有方向的量的概念，引起学生的认知冲突，解释了向量概念的内涵，进而给向量下定义.这个过程唤起了学生的学习兴趣，为学生深层学习奠定基础，让学生了解向量这个概念存在的必要性，自然而然地开始本节课的学习.整个活动阶段符合学生的认知规律，在活动阶段，通过对新旧知识的联系和对比迁移，促使学生将知识进行建构整合，从而为后面构建向量图式搭建基础，实现深层次学习.

2 过程阶段的教学策略

策略：用活动促进内化，启发诱导反思操作.

在APOS理论中，学生学习数学概念的四个阶段并不是一种线性关系，而是一个螺旋上升的循环系统，从操作阶段到过程阶段需要经历内化的心理活动，即将外部信息转化为内部信息，使学生逐渐脱离问题情境，思维逐渐转向问题情境中蕴涵的数学问题，由外显操作上升为心理操作，不再依赖情境中的操作对象.这种过渡需要由教师设置合理的操作环节，利用一定的工具，让学生参与动手操作、观察思考、归纳抽象等活动，实现建构概念、探索规律、推理线索、验证结论进而解决问题的学习过程.这与“做数学”的概念类似，强调通过数学活动激发学生思维，促进行为内化.

例如：在“函数的概念”这节课中，由于初中学习的函数概念的“变量说”，强调了在一个变化过程中变量之间的依赖关系与对应方式，没有强调自变量的取值范围，学生对函数定义域的重要性没有明晰的认识，这是教学中首先遇到的难点^［5］.高中阶段采用“对应关系说”定义函数，这个定义强调对应的结果而不管对应关系的表达形式或对应过程.这些需要教师优化教学设计使学生逐渐脱离问题情境，形成一种过程模式.具体设计如下：

问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.

（1） 这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系如何表示？这是一个函数吗？

（2） 有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗？你能确定这趟列车运行多长时间前进210km吗^［6］？

（3） 你认为应该如何刻画这个函数？

师生活动：教师给出问题题干和（1）后提醒学生先不要看教科书，学生书写自己的解答，教师点评答案，引导学生用“变量说”表述.第（2）问教师引导学生讨论所给说法不正确的原因，以及为什么无法确定列车前进210km所需的运行时间，从而使学生认识到给定自变量变化范围的重要性.第（3）问让学生思考如何表述S与t的对应关系，教师在学生一起讨论之后给出表述的示范.

问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天.公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资.

（1） 你认为该怎样确定一个工人的每周工资所得？

（2） 一个工人的工资w是他工作天数d的函数吗？为什么？

（3） 你能仿照问题1的方式刻画这个函数吗？

追问：问题1和问题2中的函数对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗？为什么？你认为确定一个函数需要哪些要素？

师生活动：教师引导学生讨论后得出结论：判断两个函数是否相同，不能只看对应关系是否相同，还要看自变量的变化范围是否一样.

教师让学生先用“变量说”判断w是d的函数，再尝试用不同方法表示数，为认识函数对应关系作准备，最后让学生模仿问题1的表述方法描述函数，在熟悉“对应关系说”表述方式的同时，训练抽象概括能力.通过追问，促使学生思考确定函数的基本要素，进一步认识自变量取值范围的重要性.这两个问题在设计上采用了相似的操作过程，即寻找变量间的关系→判断是否为函数关系（注意自变量的范围）→刻画函数，通过重复这个操作过程，学生形成了刻画变量间函数关系的过程模式，这个过程模式的形成有助于学生加深对函数概念的理解，更自然地抽象出函数的概念.

3 对象阶段的教学策略

策略：用概括实现压缩，多元表征体现本质.

在APOS理论中，学生经历了操作阶段和过程阶段后，已经对数学概念有了初步认知，此时学生头脑中已经得到了一堆关于知识的信息.教师需引导学生对已学的信息进行筛选，去除细枝末节，梳理出最精华的成分，将过程阶段中內化的心理操作简化并抽象形成直觉，这个过程就是压缩.压缩的隐喻即是挤出水分，清除障碍，本质是找出一类事物的共同特征和本质属性.数学的抽象与概括能够帮助学生完成压缩，而抽象、概括又与模型相关，故教师可引导学生不断地比较、分析和判断，利用建模思想，把抽象出的事物的共同特征综合起来，针对性地提出问题，引导学生从定性分析到定量计算，帮助学生清除思维障碍，让学生通过概括来实现压缩.同时教师应当注重引导启发学生主动探究，通过概括将结论一般化，帮助学生通过数学符号、数学语言、数学模型等多元形式将已有的概念进行加工，得出数学概念的形式化表征，形成对象.

例如：“有限样本空间与随机事件”这节课是单元的起始课，要在建立单元学习框架的基础上，学习样本点、优先样本空间、随机时间等概率的最基本概念.为了研究随机现象，先用集合语言表示随机试验的所有可能结果，引入了样本点和样本空间的概念，接下来学生要学习如何利用这些概念表示随机事件问题，这个过程也就是将已有的概念进行加工，得出数学概念的形式化表征，形成对象.该环节可以设计如下：

问题1：回顾初中阶段学过的随机事件概念，然后判断：在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码是3的倍数”也是随机事件吗？你能用集合表示这些事件吗？

教师活动：首先引导学生回顾随机事件的概念，然后分别用集合语言描述两个随机事件，并从一个随机事件所包含的可能结果的角度，引导学生用自然语言解释随机事件的意义^［7］.

语言描述：因为“球的号码是奇数”可能发生，也可能不发生，所以是随机事件.设“摇出球的号码是奇数”为事件A，则事件A发生当且仅当摇出的号码为1，3，5，7，9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1，3，5，7，9}.

学生对用集合{1，3，5，7，9}表示事件A比较容易接受，但对“事件A发生”的含义可能不太清楚，教师要加强引导：用集合{1，3，5，7，9}表示事件A的含义是，事件A发生的所有可能结果都在这个集合中，同时集合中任意一个元素都是事件A发生的可能结果之一.换句话说，就是当且仅当摇出的球的号码为1，3，5，7，9之一时，事件A发生.

接下来可以让学生模仿上述说法，解释 B=“摇出球的号码是3的倍数”也是随机事件，表示为B={0，3，6，9}，并得出结论：可以用样本空间Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集表示随机事件A、B.

追问1：你能将上述表示随机事件的方法推广到一般吗？

追问2：从集合的观点看，对于集合的子集，你认为其中哪些集合比较特别，它们对应的随机事件是什么？你能根据随机事件发生的意义及事件与样本点的关系进行说明吗？

通过问题1以及两个追问，学生理解了一个随机试验中的某些结果组成了随机事件，可以用样本点表示可能发生的结果，所以随机事件就可以用样本点的集合来表示，而样本空间包含了所有可能的结果，所以随机事件可以看成是样本空间的子集，这样就将随机现象数学化了.这个思考过程的逻辑性很强，其中明确随机事件和样本点的关系是关键，而理解“随机事件A发生”的含义是难点.对象阶段完成了将“随机事件”与“样本空间的子集”构建联系的过程，“随机事件发生”在本阶段变成了一个相对独立的“实体”，变成了集合中的某个点数的出现，突破了“随机事件发生”的含义这个难点.随后再从样本空间特殊子集的角度提出问题引导学生思考全集及空集对应于什么事件，从而完成了用样本点概念重新建构随机事件概念的任务.用样本点构建随机事件概念的体系初步建立，即将进入下面的图式阶段.

4 图式阶段的教学策略

策略：强化知识梳理与应用，新旧联系完善图式.

杜宾斯基指出，图式是对事物的综合性表征，其内部结构的连贯性对个体理解和运用数学概念的能力至关重要.加涅概括出图式的三个特征：（1） 包含变量；（2） 具有层级结构；（3） 能够促进推论.以函数为例解释上述三个特征，即图式包含变量是指图式中的许多属性允许改变，例如函数的本质属性是映射，但这种映射具有多种表征形式：解析式、图象、表格等；图式具有层级结构是指特殊函数是一般函数的子图式，函数是映射的子图式；图式能够促进推论是指图式的性质可以推出子图式的性质，例如函数具有定义域和值域，幂函数、三角函数等函数的子图式同样具有定义域和值域.故教师在教学时应注意知识之间的纵向联系与横向联系，发现新概念与旧概念之间的关系，辨析异同点，构建完整的图式.

例如：在“有限样本空间与随机事件”这节课中，笔者用样本点构建随机事件概念的体系初步建立，在图式阶段学生需要进一步构建完整的图式，可以设计如下问题：

问题：请你带着如下问题回顾一下本节课的学习内容，并给出回答.

（1） 本节课我们是按怎样的路径构建概念体系的？

（2） 不确定现象随处可见，我们感兴趣的随机现象有什么特点？你能举例说明吗？

（3） 你能举例说明样本点和样本空间的含义吗？

（4） 随机事件和样本点有怎样的关系？你能举例说明什么叫“随机事件发生”吗？

有限样本空间与随机事件是“随机事件与概率”这个单元的起始单元.本章节的逻辑主线为“有限样本空间与随机事件——事件的关系和运算——古典概型——概率的基本性质”，学生通过回答这一串的问题，构建了样本点、有限样本空间、随机事件概率的图式，更深刻理解随机事件的概念；通过与集合的关系与运算的类比解释了随机变量的本质——样本空间到实数集的映射.

参考文献：

［1］ 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程［M］.上海：上海教育出版社，2009.

［2］ 馬晓丹.APOS理论探索的反思与超越［J］.教学与管理，2020（33）：74-77.

［3］ 汤服成，徐文龙.在数学概念学习过程中的形成性评价［J］.广西右江民族师专学报，2005（3）：6-10.

［4］ 周鸣.GeoGebra环境下基于APOS理论的数学概念的教学设计［D］.辽宁师范大学，2014.

［5］章建跃.如何帮助学生建立完整的函数概念［J］.数学通报，2020，59（9）：1-8.

［6］ 章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］.上海：华东师范大学出版社，2021.

［7］ 刘竹.高中概率主题教学研究［D］.湖南理工学院，2021.