对话教学，提升解题能力

［摘  要］ 学生的解题能力是高中数学课堂需要培养的能力之一，高三数学解题教学是课堂教学的主要方式. 在教学中，通过解题方法指导、解题思想渗透，建构知识间的逻辑关系，形成解题模型，理解数学的本质.

［关键词］ 对话教学；解题能力；数学本质

作者简介：吴丽华（1984—），本科学历，一级教师，从事高中数学教学研究工作.

高三课堂教学的重要形式之一是解题教学，通过试题讲评，复习高中数学知识、解题方法，在解题过程中同时渗透数学思想，提高学生的解题能力. 解题教学并不是单纯地讲解试题，而是建构知识体系，实现知识重构，升华数学知识的理解，达到理解数学知识内涵的目的. 但在实际的解题教学中，虽然教师讲解了大量试题，学生做了大量习题，结果却收效甚微，学生独自解题时依然困难重重，一筹莫展，对数学学习逐渐失去了兴趣和信心. 教师感觉知识点太多，太凌乱，无法面面俱到；学生则非常苦恼，花费了大量时间做题，自己上课能听懂，独自却不会做，以致考试成绩没有明显提升. 究其原因主要有这样几点：（1）没有认清解题教学的目的，不能理解试题考查的本质，对问题没有全面理解；（2）不能全面整合试题的有效信息，导致解题受阻；（3）解题思路缺乏直观认识，难以建构已知条件与问题之间的联系；（4）缺乏解题方法之间的联系和问题的预判经验；（5）做题时间耗费太多，影响了学习信心和精力，导致求知欲不足.

基于以上认识，笔者联系教学实践进行一些尝试和思考，从对话教学的角度进行高三解题教学，让学生在对话中暴露解题思路的缺陷，从而有针对性地开展交流和指导，让学生以不同的视角去发现题目中的信息并进行交流，寻找解题的通道，找到解决问题的方法，确定解题的最优路线，进而收获成功的喜悦. 在解题教学中不仅要关注解题过程，更要关注解题后的反思引导，使学生在交流解题心得的过程中，提高解题技巧，提升解题效果，培养核心素养. 下面笔者结合教学实践和思考，以三角形中的最值问题的解题教学为例，与大家共同探讨如何有效提升解题教学的实效性.

研究背景

三角形中的最值问题是常考题型，通常三角形的边、角或面积是最值考查热点，而且这类问题复杂，在考试中常与函数、不等式等知识点相结合，问题的综合性强，知识点涵盖范围广，解题的难度大，属于中高档题型或压轴题型，因此有必要对这类问题深入研究，帮助学生理清这类问题的解答思路.

学生解题能力的提高单纯依靠大量做题和讲题是收效甚微的，关键是要提高学生的思维水平，让学生能够从知识的内涵中理解命题的意图和考查规律，把握数学的本质和特征，從而总结规律，迅速解题. 在教学中，教师要引导学生关注知识的历史背景和由来过程，全方位地理解知识，同时在课堂教学中通过互动交流，让学生转换角色，主动对话，在对话中找到相关要素，寻求解题思路，理解知识产生和发展的过程，建构知识间的联系，从中体会和领悟解题方法，发展思维品质，提升核心素养.

教学片段

1. 讲知识，说过程，与数学家对话

数学知识的学习离不开数学史，教师可以结合知识背景融入教材内容讲解知识，使学生了解知识产生的背景，有机融合历史知识与课程内容，深刻了解知识产生的过程，理解知识的内涵. 通过营造浓厚的数学文化氛围，加深学生对知识产生与应用的认识，激发学生学习的内驱力.

在学习三角形知识时，教师可以结合三角形的历史背景进行讲解.

师：研究三角学的本质就是研究圆，三角函数的实质表示匀速圆周运动. 现代三角学的开创者叫欧拉，他第一个发现三角函数可以用单位圆中的有向线段表示，所示称为圆函数，他还对三角形进行了定性定量的研究，从而得出了正弦定理、余弦定理，解释了三角形的性质和数量关系，确定与构成了三角形的理论性质. 三角形以三个顶点的位置、边长和角的大小等表示其形状，因此研究三角形的相关问题都是以边、角等综合考虑的.

例题1：若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，求cosC的最小值.

例题2：在锐角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，求tanAtanBtanC的最小值.

师：同学们看看这两道题，都是三角形中的最值问题，对于这类问题，能谈谈你的看法吗？

2. 想意图，理思路，与命题者对话

试题的背后是命题者对知识的深度思考和知识内涵的精确把握，命题者以试题为载体，以解决问题为考查手段，达到检测学生对重点知识的掌握情况的意图［1］. 教学中要提高学生对命题意图的把握，全面了解考查的目的和方法；要发展学生的深度思维，实现高效学习，使其能够快速准确地掌握解题规律，掌握解题方法.

生1：解决三角形的边、角和面积的最值问题，需要用到的知识包括正弦、余弦定理以及基本不等式等.

师：同学们有没有思考过，这类问题为什么会经常成为考点呢？

生2：三角形中的最值问题考查的角度比较多，使用的解题方法非常丰富，可以从性质和数量关系等多个角度切入，突出了高中的核心数学知识，如三角函数、基本不等式等. 因此这类问题受到出题者的欢迎.

……

本环节引导学生思考命题者的意图并表达出来，深入了解试题考查的知识点和考查的目标，从而把握命题规律，了解命题的一般方法，有助于学生顺着命题者的意图把握试题结构，找到突破试题的关键，建构试题模型，掌握解题方法，提高分析和解决问题的能力.

3. 定目标，说方法，与试题条件对话

教学目标是引领课堂的方向，教学过程要围绕教学目标展开，才能使整个课堂具有灵魂. 在教学目标的引领下，教师要始终关注学习的主体对象，反思教学过程中要把学生引向哪里，学生怎样才能到达，最终到达了没有.

例题3：在△ABC中，B=，求cosA+cosC的最大值.

师：同学们观察这道题，能否思考一下这道题的类型、解答方法和本质？说一说你的想法.

生3：这道题的类型是三角形中的最值问题，应用的知识是余弦定理. 因为本题的前提是在△ABC中，所以通过三角形的内角和定理可知C=－A，利用两角差的余弦公式进行分解，再通过辅助角公式可得cosA+cosC=cosA+cos－A=sinA+，其中A∈0，，因此当A=时，cosA+cosC的最大值为1.

师：非常好，生3求出了最大值，那么有没有同学有其他方法呢？

生4：這道题还可以将关于A的三角函数变成关于C的三角函数，从而求出最大值. 具体过程如下：cosA+cosC=cos－C+cosC=sinC，其中C∈0，，所以当C=时，cosA+cosC的最大值为1.

师：这个方法也非常好. 谁能给大家解释一下这两种方法的根本思想是什么？归纳一下解这类题的规律.

生5：这两种方法的根本思路就是消元. 题中有三元，分别是A，B，C，等式关系有两个，分别为B=和A+B+C=π，因此可以根据条件B=和A+B+C=π，通过消元或变元转化为一元的三角函数求最值.

师：讲解得非常透彻. 理解了上述三角形中的最值问题的本质后，让我们回归例题1和例题2，检测一下同学们的掌握情况.

生6：同例题3一样，这两道题都有三元，分别是A，B，C，都有两个等量关系，分别是A+B+C=π和sinA+sinB=2sinC，A+B+C=π和sinA=2sinBsinC，因此也可以利用消元或变元的方法进行解决.

解决问题并不一定直达目标，解决过程可以是阶段性和循序渐进的，只有在已知条件与结论之间搭建起通道，才能找到问题的突破口，切入解题关键. 教学中引导学生与试题条件和结论对话，理解问题的本质，与同伴进行交流，在质疑、寻找、认可的过程中捕捉问题的显性和隐性条件，通过挖掘问题的内涵，寻求解决之道.

4. 谈想法、理本质，与数学思想对话

数学思想是对数学方法和知识的本质认识，理解数学思想，才能真正掌握数学学习的精髓. 数学思想体系的建立，可使学生以更高的视角理解知识，掌握解题方法，理解问题本质；可使学生熟练运用解题方法，不再只是通过单纯的模仿和简单的重复进行学习，从而促进解题能力的提高和思维水平的发展［2］.

师：通过我们已学的代数知识，相信同学们已经知道了方程的变元个数、条件等式的个数以及条件不等式之间的关联性，决定着方程解的范围以及解的存在性. 通过变元的选择与转化，优化需要研究的方程，是研究方程的基本思路和方法. 解决三角形中的最值问题的基本思路是通过变元、消元和转化等方法，简化问题后再解决问题.

生7：老师，我发现了另一种变元方法. 设例题1中△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，利用正弦定理把题干中的等式化简为a+b=2c，再利用余弦定理，用a，b，c表示cosC，从而通过变元和消元进行求解.

师：非常好，下面请同学们继续解题.

生8：从变元的角度进行分析，例题2可以利用三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式，将已知条件sinA=2sinBsinC转化为tanB+tanC=2tanBtanC，则A，B，C三元就可以变为tanA，tanB，tanC三元了.

生9：例题2也可以转化为问题“已知在锐角三角形ABC中，tanB+tanC=2tanBtanC，求－tanBtanC的最小值”，也就是说可以把例题2的三元看成是tanB+tanC和tanBtanC两元.

（全班热烈鼓掌，大家都赞同生8和生9的解法）

通过三角形中的最值问题的解答分析，使学生在思考过程中感受到了一般函数在此类问题中的应用，从解决问题的数学思想方法中，总结出了解决此类问题的通式通法，达到了提高解题效率、领悟数学本质的目的. 同时，注重培养学生的反思意识，通过观察解题步骤、梳理解题方法、检查解题思路、探究解题本质，在潜移默化中提升了学生解决问题的能力.

5. 谈感悟、促提升，与知识整体对话

数学教学不能仅仅就单个知识点进行讲解，要关注知识间的联系，帮助学生从整体上把握知识，形成整体性的认识. 教师从数学知识形成和发展的渊源和背景出发进行阐释，帮助学生理解知识间的内在联系和不同领域间的区别，从而提高学生学习效率，发展学生思维的灵活性和深刻性，提高学生数学核心素养. 试题讲解既是对数学知识和数学方法的讲解，更是对数学知识的再认识，通过厘清和转换知识间的逻辑关系，实现对知识更高层次的理解，认识数学的本质.

师：这类问题如果我们想要有更加清晰的认识，可以再看一个数学模型：三角形的一个角和对边固定，求解三角形中的最值问题.

例题4：已知△ABC的三个角分别为A，B，C，其对边分别是a，b，c，a的值为2，并且角A等于，求△ABC面积的最大值.

生10：根据刚才的解题方法来看，这道题共有六元，分别为三个角和三条边，由此需要的等式条件就更多了.

生11：这道题是三角形中的最值问题，因此角可以利用隐性条件——三角形的内角和——进行转化，而边则可以利用正弦、余弦定理进行转化，从而通过消元或换元转换成只有边或角的最值问题. 我选择边的角度进行求解（解题过程略）.

由于数学知识具有相互联系和整体的关联性，因此教师要帮助学生挖掘试题中的隐含知识和本质，从而构成一个更深层次的知识体系，让学生能够更加积极主动地探求知识，逐步构建起自己的知识网络. 学生是课堂学习的主体，只有将学生的发展作为教学目标，才能使学生通过对话，理解问题的本质，提高解决问题的能力.

综上所述，课堂教学要从知识的整体性出发，以符合学生认知特点的教学方式为基础，以符合学生思维顺序的教学活动为根本，科学组织课堂教学，使学生在活动中体验数学智慧，在解决问题中不断提高解题能力. 对话教学可以使学生形成主动学习的意识，在积极交流、主动质疑、深入探究中形成自我对数学的认识. 教师要积极引导学生在学习中建构数学模型，实现自我价值，领会数学品质，真正将数学知识内化为自身的能力和素养.

参考文献：

［1］ 喻平.数学学科核心素养要素析取的实证研究［J］. 数学教育学报，2016，25（06）：1-6.

［2］ 苏华强. 关注模型教学，拓展解题方法——“胡不归问题”在初中数学解题中的应用［J］. 中学数学月刊，2018（12）：50-52.