弱Hardy-Orlicz-Morrey鞅空间的原子分解

陶昌玲，于 林

(三峡大学 理学院，湖北 宜昌 443002)

1 引言

在函数空间和调和分析理论中，Morrey空间的研究由来已久[1]，且已取得丰富成果[2-3]。众所周知，经典的鞅Hardy空间理论是建立在Lebesgue空间Lp的基础之上[4-5]。近年来，Morrey空间理论被拓展到鞅论研究中并引起广泛关注。例如，Ho[6]，陶昌玲和于林[7]，分别对Hardy-Morrey鞅空间建立了不同形式的原子分解定理；Nakai-Sadasue[8]引入Morrey-Campanato鞅空间研究分数次积分算子的有界性；Jiao[9]更是将Hardy-Morrey鞅空间的研究拓展到变指数空间Lp(·)的框架之上。

最近，Yu[10]引入弱Hardy-Morrey鞅空间的概念，对此类空间建立原子分解定理，并以此为工具获得了一系列新的鞅不等式。本文旨在将这一研究进一步推广到弱Hardy-Orlicz-Morrey鞅空间。对弱Hardy-Orlicz-Morrey鞅空间证明一个所谓“混合型”原子分解定理。确切地说证明弱Hardy-Orlicz-Morrey鞅空间中的每一个鞅都可以分解为一序列弱原子的和，而每一个弱原子又可以进一步分解为一序列弱简单原子的和。正因为如此，称这里得到的原子分解为“混合型”。

这种原子分解的优点之一是，可以仅在弱简单原子满足一定条件下就能得到一些有趣的鞅不等式。例如，利用所得到的原子分解定理证明弱Hardy-Orlicz-Morrey鞅空间上次线性算子的有界性，并由此将一些经典的鞅不等式从空间推广到弱Orlicz-Morrey空间。

2 概念及引理

注1设Φ(t)∈Q(α0，α1)，易证

Φ(st)≤max(sα0，sα1)Φ(t)。其中s,t∈(0，+∞)。

Φ(st)≤cΦmax(sα0，sα1)Φ(t)。

注3[6]特别地，当Φ(t)=tp(0

3 原子分解

此外，下列等价范数成立

(1)

其中，下确界inf取遍f的所有上述原子分解。

Φ(st)≤max(sα0，sα1)Φ(t)，s,t∈(0，+∞)。

(2)

由此可证(ⅱ)和(1)中的一个不等式。

(3)

(4)

(5)

不失一般性，不妨设A=2mA(mA≥0)，且有2j≤2mA+j≤A·y=2mA·y<2mA+j+1。因此，有

因Φ∈Q[α0，α1]且0<α0≤α1<∞，则Φ(t)t-α1非增，Φ(t)t-α0非减。因此，一方面，有

另一方面，有

此外，f∈wHMΦ，φ，

由上式及(2)，可以得到(1)。定理证毕。

4 应用：鞅不等式

(6)

(7)

对所有0

(8)

(9)

(10)

‖M(f)‖wMΦ，φ≤CΦ‖s(f)‖wMΦ，φ，‖S(f)‖wMΦ，φ≤CΦ‖s(f)‖wMΦ，φ，

{|M(aB)|>0}⊂{aB≠0}⊂B，{|S(aB)|>0}⊂{aB≠0}⊂B，

此外，将定理2分别应用于q=2时的M(·)和S(·)，得到

‖M(f)‖wMΦ，φ≤CΦ‖s(f)‖wMΦ，φ，‖S(f)‖wMΦ，φ≤CΦ‖s(f)‖wMΦ，φ。