妙用反函数巧解恒成立问题

林国红

(广东省佛山市乐从中学)

1 问题的呈现与解答

题目(2020年新高考山东卷21)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna.

(1)当a＝e时,求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.

下面从不同视角,给出第(2)问的三种解法.

解法1 (隐零点法)由题意可知x∈(0,＋∞),a∈(0,＋∞),aex－1－lnx＋lna≥1恒成立.

令h(x)＝aex－1－lnx＋lna－1,则h′(x)＝,从而h′(x)在(0,＋∞)上单调递增.

由零点存在定理可知,存在x2∈(x0,x1),使得.此时,当x∈(0,x2)时,h′(x)＜0,h(x)单调递减;当x∈(x2,＋∞)时,h′(x)＞0,h(x)单调递增.因此

将②③代入①,得

由lna＝1－x2－lnx2,可设G(x)＝1－xlnx(x∈(0,1]),则在(0,1]上单调递减,且G(1)＝0,可得G(x)≥0,所以lna≥0,解得a≥1.

综上,a的取值范围是[1,＋∞).

解法2 (同构法)由题意可知x∈(0,＋∞),a∈(0,＋∞).

由f(x)≥1,得aex－1－lnx＋lna≥1,于是elna＋x－1－lnx＋lna≥1,即

elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝elnx＋lnx.

令g(t)＝et＋t,则g′(t)＝et＋1＞0,所以g(t)在R上单调递增.

从而g(lna＋x－1)≥g(lnx),则lna＋x－1≥lnx恒成立,即lna≥lnx－x＋1恒成立.令H(x)＝lnx－x＋1(x＞0),则.于是H(x)在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,所以H(x)≤H(1)＝0,可得lna≥0,解得a≥1.

综上,a的取值范围是[1,＋∞).

解法3 (反函数法)由题意可知x∈(0,＋∞),a∈(0,＋∞).由f(x)≥1,得aex－1－lnx＋lna≥1,即.

因为函数y＝aex－1与函数互为反函数,所以两个函数的图像关于直线y＝x对称.要使恒成立,只需aex－1≥x在(0,＋∞)上恒成立,即在(0,＋∞)上恒成立.

综上,a的取值范围是[1,＋∞).,则

对比三种解法,可知反函数法在解答此类恒成立问题时,既可以减少运算量,又可以避免转化过程中的难点与易错点,极大降低难度,解题过程更简单,是一种“优秀”解法.

2 反函数法的应用举例

下面举几个例子展示反函数法在恒成立问题中的应用.

A.(0,e2] B.(0,e2)

C.[1,e2] D.(1,e2)

综上,选B.

综上,a的取值范围是.

因为函数y＝aex－1与函数互为反函数,所以两个函数的图像关于直线y＝x对称.要使恒成立,只需aex－1≥x在(－1,＋∞)上恒成立,即在(－1,＋∞)上恒成立.

综上,a的取值范围是[1,＋∞).

综上,t的取值范围是,故选B.

从以上个例题不难发现,利用反函数法解决恒成立问题能降低思维强度,简化推理和运算过程,具有直观、简捷、明快的特点,解题方法新颖独到.另外,数学问题的解决,需要学生在平时的学习中善于钻研,通过一些习题的总结与变式,并重视方法的积累和知识的储备,才有可能缩短思维的长度,提高效率,达到事半功倍的效果.

3 反函数法的思路提炼

1)反函数法求解恒成立问题的方法:若F(x)≥G(x)恒成立,且G(x)＝F－1(x),则F(x)≥G(x)⇔F(x)≥x≥G(x).

2)若不等式中同时含有同底的指数型函数与对数型函数,参数一般在指数型函数的系数位置,在对数型函数的真数位置,可以考虑反函数法.

3)将原不等式整理变形成互为反函数后,用分离参数法,并借助导数求参数的值范围.

4)常见的互为反函数的两个函数如表1所示.

表1

链接练习

1.若aex＋lna＞2＋ln(x＋2)恒成立,则实数a的取值范围为_________.

2.已知f(x)＝2ae2x＋lna,若f(x)≥lnx恒成立,则实数a的取值范围为_________.

3.已知f(x)＝ax(a＞0,a≠1),若f(x)＞logax恒成立,则实数a的取值范围为_________.

链接练习参考答案

(完)