基于数学本质学习的“基本不等式”微专题教学设计

蒋峰

摘  要：文章是高三二轮复习中“基本不等式”的教学微专题设计，精选例题及变式，使学生灵活使用基本不等式求最值问题。以提升解决数学问题为出发点，让学生更加准确地把握数学本质及其内在联系，加深对数学思想方法的理解和认识。

关键词：微专题；教学设计；基本不等式

一、关于数学本质的理性认识

不少数学教师会感慨一节课时间太短，尽管备课充足，但由于客观因素的影响，课堂效果仍然不尽如人意，学生也埋怨课堂教学信息量太大，难以消化吸收。然而，在实际教学中，微专题的利用，可以使这一现状获得改善，增强课程的讲授效果和针对性，但是，要想真正解决这一困局，还需要更多的努力和改进。在教学设计中，阐明数学教育的本质是解题的关键，数学本质是一种共同的稳定属性，是事件变动中保持稳定的特征。所以数学本质指的是数学学科的实质，它决定了数学学科的性质、面貌和发展，换句话说，它是数学内容的本真意义，是数学学科发展的基石。

“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。”如何通过教学设计，使数学核心素养落实到课堂中，是数学学科教研的重要课题。本文是以一节高三数学二轮微专题课为例，对“基本不等式”这一重要内容的微专题教学设计的探索。

二、基于数学本质的课堂建构路径

本专题教学目标：借助数学小故事，结合具体情境，引入基本不等式≤（a≥0，b≥0），了解其结构特征，通过具体实例和适当训练，能够灵活运用基本不等式解决最值问题。本专题内容，以基本不等式的生成为起点，关注数学的内在联系和思想方法，注重学生思维能力的培养，能把握数学本质，提升解决实际问题的能力，能够灵活使用基本不等式解决最值问题。本专题设计分两部分：第一部分：利用基本不等式求最值，通过一道错题呈现引起学生对基本不等式运用过程中细节的重视，进而通过三个变式，强化一正、二定、三相等这三个要素；第二部分：二元及多元问题的常见处理方法，如消元法，主要含代入消元法、换元消元法（双换元、三角换元等）、构造消元法（齐次式），待定系数法及“1”的代换等，以加强学生对基本不等式的灵活应用。

（一）知识回顾引出数学本质

1. 基本不等式：≤

（1）基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0。（2）等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号。（3）其中正数a，b的算术平均数为，正数a，b的几何平均数为。

2. 几个重要的不等式

（1）a2+b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a=b时取=。（2）ab≤

（a，b∈R），当且仅当a=b时取=。（3）+≥2（a，b同号），当且仅当a=b时取=。（4）ab≤

≤。（5）≤≤≤（a≥0，b≥0）。

3. 利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则（1）若积xy是定值p，则当且仅当x=y时，x+y有最小值是2。（简称：积定和最小）（2）若和x+y是定值s，则当且仅当x=y时，xy有最大值是。（简称：和定积最大）

细节强调：①在利用基本不等式求最值时：“一定，二正，三相等”，分别指使用条件，式子结构，取等要求，忽略任一条件，就会导致出错。②在利用基本不等式求最值时，尽可能避免多次使用，如必须多次使用，需关注取等条件，条件一致时方可传递。

设计意图：通过提问已经学习的基本不等式的相关内容，帮助学生回忆基本不等式的内容，理清知识间的关系，形成知识的框架和体系。同时为后面的例题和练习提供基本的公式参考，揭露基本不等式的本质应用即求最值问题。

（二）课堂导入探寻数学本质

引例：函数f（x）=lgx，若0

错解呈现：由f（a）=f（b）得0

师：本题解法有错吗？如果有，错在哪里？

生（预设）：取等条件不满足0

设计意图：使用基本不等式时要检验取等条件。等号取不到该怎么办？这时可以通过函数求导等手段求最值；通过错题重现强化对基本不等式的認识以及如何利用基本不等式准确求得最值。大多数学生可能无法完全理解复杂的理论知识，需要教师的充分指导，对此，教师需要积极鼓励学生针对课堂教学主要内容进行深入分析研究，在小组内部共同研究相关课题或相关教学内容，了解基础不等式例题的计算过程，认真分析例题的主要要求以及相关内容，查找例题中的核心要素，提取相应的学科知识点。

（三）知识应用巩固数学本质

例1：求函数f（x）=x+（x<0）的值域。

例2：函数已知x>2，则x+的最小值是（    ）。

A. 2    B. 4    C. 2    D. 6

例3：已知函数f（x）=（a∈R），若对任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是________。

例4：求a2++（a>b>0）的最小值。

设计意图：例1的设置在于对“一正”的考察。“一正”是应用基本不等式的前提条件。形式符合利用基本不等式，但条件不符合，可以通过对条件加工进而使用基本不等式。例2的设置是对“二定”的考察。这是利用基本不等式求最值的主体，其核心在于通过“凑”（等价变形）找到“定值”，即和为定值积有最大值，积为定值和有最小值。例3的设置是对“三相等”的考察。基本不等式的主体运用结束之后，必须判断取等条件，检验基本不等式是否失效。例4主要针对题目中需要多次使用基本不等式，必须关注取等的条件，不能出现“不一致”的情况。

这几个例题从几类典型问题出发，通过分析纠错，方法提炼，引出基本不等式应用过程中的三个重要条件，帮助学生梳理知识体系，从而强化对基本不等式的认识，引导学生理清使用条件和等号能否取到的问题，从而进一步提高解决数学问题的能力。

（四）拓展练习深挖数学本质

练习1：已知x2+2y2=1，则u=3x2+y2-2x+1的取值范围。

练习2：设实数x，y满足-y2=1，则3x2-2xy的最小值是________。

练习3：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为________。

练习4：设a，b>0，a+b=5，则+的最大值为________。

设计意图：“拓展练习”模块，为学生提供了不同类型的典型例题，在学生学习基础定理之后，为学生提供相关知识点，进一步启发学生发散思维，完善学生学科知识体系，拓展学生学习视野，帮助学生认真学习数学方面的学科知识，了解数学的基本定理与性质，在学习数学基础定理的基础之上，解决具体的数字运算题目，培养学生举一反三、学以致用的能力。从而引导学生开展自主学习，积极地探讨和解决教学中的问题，深入理解数学学科的核心概念和重点知识，熟悉数学课程的教学内容，并能够运用数学知识解决实际问题。

三、基于数学本质学习的微设计反思感悟

教科书中的数学知识，是一种“冰冷的知识”，它只是一种表面的概念，但实际上，知识背后的数学本质更加深奥，因此，数学教师有责任将其转化为有效的教育形式，以帮助学生更好地理解这些知识中的数学概念，并且让他们能够主动、积极地学习，深度学习的实践和理论发展，正是对这一观点最好的诠释。

（一）关注核心素养，聚焦数学本质

在高中数学教学环节中，教师需要认真遵循课程改革的整体要求，逐步优化课堂教学具体流程，在教学设计以及教学研究等方面融入课程教学的基本教学理念与相关思维，在逐步培养学生良好学习能力以及思辨意识的前提之下，逐步提升课堂教学整体质量与水平。教师不仅要在课堂上培养学生的学习能力和专业素养，还应该利用各类教育资源，结合日常教学要求，深入浅出地讲解数学的基本性质和定理，并且利用实例帮助学生理解数学的变化规律，同时也要提供具体的解答技巧和全新的解析思路，以此拓展学生的学科知识面。

高中数学学科与其他类型的学科有所不同，更加注重培养学生的逻辑思维能力以及理性发展能力，更加注重学生学习学科知识的过程。教师应融入新型的学习理念与学习方法，指导学生自主调整当前学习状态，引导学生着重发现数学学科的本质，鼓励学生结合数学学科的特色学习方法，学习相关学科知识点，了解高中数学课程的具体教学内容。

（二）基于学情分层设计微课程

不同学生的理解能力以及接受能力有所不同，不同学生对同一知识点的理解也可能存在偏差，在此前提之下，教师需要针对课堂教学改革工作的整体要求，深入分析当前教学现状，结合具体问题，探索具有针对性的问题解决策略以及教学方法，帮助学生学习基础理论知识，随后深入研究重难点知识。基于数学本质学习的“基本不等式”课堂设计工作要求，教师立足于基本不等式定理以及相关函数性质，为学生分析基本不等式的主要性质，同时也需要由教师结合基本不等式定理推导具体的数字运算过程。最后在教学设计方案中，合理设置思维导图，安排具体的教学例题，结合典型例题，揭示基本不等式与函数之间的密切联系，将函数与基本不等式的理论知识进行有效衔接，鼓励学生通过一些例题或者是一部分理论知识发现数学的本质，了解数学学科的本质与特征。

由于班级内部存在优等生和后进生，在讲解过程中，教师应该充分考虑到每一位学生的学习情况，灵活调整教学策略和进度，尤其是在讲解基本不等式定理时，要积极鼓励并引导优等生深入理解课程内容，以提高学习效果。

（三）巧用问题串启发深层思考

在本次教学设计环节中，着重提出了新型的教学策略与方法，其中包含基本不等式以及三角函数方面的学科知识点，结合三角函数的典型例题，为学生推出新的学科知识点，随后鼓励学生在学习基本不等式定理的基础之上解答相关题目，通过例题分析与课程讲解等形式鼓励学生了解例题的解题方式，不断调整自己的解题思路与学习方法。大多数学生在了解三角函数之后，对函数的基本定理以及函数性质有了更全面的认识，也有部分学生可以将三角函数、一次函数以及二次函数的相关知识点串联在一起，通过此种方式，可以培養学生的学科思维，同时也可以帮助学生深入研究学科知识的本质与内涵，进一步挖掘学科知识的核心要点。

四、结语

高中生需要广泛学习相关学科知识点，也需要教师有意识、有目的地培养学生多方面的学习能力以及学科素养。学生的个性成长与能力发展需要教师的指导和帮助，也需要教师充分引导学生通过自主努力解决相关问题，或者是通过小组合作的形式共同探讨例题的解题思路，结合例题中的函数定理进行综合分析与研究。此外，本次教学设计方案中着重推出了“拓展练习”模块，该模块中着重指出了具体的解题方法与思路，主要目的在于帮助学生了解典型例题，了解不同题目的解题思路与方法，了解学科核心知识点的变形过程。学生可以不断调整自己的解题思路，运用基础定理快速了解题目的主要内容，随后根据题目要求快速解答题目，在数字运算过程中学习数字运算定理，或者是在学习数字运算定理的过程中，熟练掌握数字运算定律，掌握数字运算的技巧，逐渐完善课堂教学的主要流程与体系，凸显教学设计工作的整体价值。

参考文献：

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［2］谭国华. 高中数学解题课型及其教学设计［J］. 中学数学研究：华南师范大学版，2013（15）：12-16.

［3］金明，吴润文. 让探究成为高三微专题复习课的主旋律：以一节高三微专题复习课为例［J］. 中学数学，2017（09）：5-8.

（责任编辑：淳  洁）