关于“数形结合”思想的再认与拓展

2023-03-11特级教师齐胜利

小学教学设计(数学) 2023年12期

文|陈昱（特级教师）齐胜利

在近十年的“数学画”教学实践中，我们对赖以指导实践的“数形结合”思想方法的内涵理解逐渐发生了变化。本文将尝试论述对此的开拓性思考。

一、“数学画”中的“形”

作为一种重要的数学学习方式，“数学画”主要借助数形关系来辅助数学学习。那么，“数学画”中的“形”到底是指什么？笔者将结合教学实践针对“数学画”中“形”的内涵从三个方面重新梳理。

首先，“形”是指有形的具体物，或具体物的形状、形体，是现实世界中的空间形式进入数学世界之前的样态，是水平数学化[1]的起点和基础，是数学抽象的对象。有形的具体物既可以抽象成数学中的形，也可以抽象成数学中的数，比如一串9 颗的葡萄，可以抽象出球形、圆形，也可以抽象出数9 和1。从数学教育的角度看，有关这种水平数学化的教学，着力培育的是学生用数学的眼光观察现实世界的核心素养。

其次，“形”也是数学中的几何图形和函数图象等。其本身已是抽象概念，指点、线、面、体或者它们的集合[2]，成为数学的研究对象，但是仍然具有直观性，所以可以利用其几何直观来辅助数学学习，尤其是以形助数来理解数方面的概念，或者发现和理解数量关系进而解决问题。比如画线段图辅助理解分数计算的算理，或者用矩形来表征乘法结构的方程，即利用矩形的长、宽和面积表征方程中的两个因数和积，再依据矩形面积等于长乘宽的公式，看未知数x 所在位置是相当于面积还是边长，再分别选择除法或乘法来求出x 的值。俄罗斯某套数学教材的实施证实了这样一个事实：有了线段图和矩形图这样的直观图形的辅助，可以大大增进学生的数学理解，二年级学生就可以解出形如ax±b=c±dx 的一元一次方程（系数为正整数）[3]。当然也可以反过来以数解形，在几何图形或图像的学习中引入数，使其量化和能够被精确把握，比如我们在图形与几何领域的学习中大量使用方格纸或点子图。

最后，“形”是表征思维的一切形状、线条等，也包括抽象符号在内的一切符号，成为表征工具、表征手段。在这个层面上，作为表征工具的“形”几乎涵盖了所有“可视可见”的形象与符号，比如，要表征自然数5，可以画5 根手指头、5 个大苹果，也可以画5 个三角形、5 条线段，还可以涂抹5 片红红的色块，画5 个对勾……所以，我们说“画计算”既可以是“图形画”也可以是“数字符号画”。

二、再认“数形结合”

数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法，其应用大致可分为两种情形：或借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，或借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：“以数解形”和“以形助数”，数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”。数形结合思想在小学数学四大领域的学习中都有非常普遍和广泛的应用，主要有四个方面：利用“形”作为直观工具帮助学生理解和掌握数学概念、解决问题，数轴及平面直角坐标系在小学的渗透，统计图表和几何概念模型，用代数（算术）方法解决几何问题等[4]。“数学画”教学通过五大课型的教学研究将数形结合思想应用到概念教学、计算教学、问题解决教学、复习教学、综合实践教学等多领域。

在“数学画”中“形”的内涵梳理基础上，反思“数学画”教学理论依据之一的数形结合思想，可能就不仅仅非得局限于数学内部的数形关系，也可以延伸解释数学与现实世界的关系，即从现实世界中的“有形具体物”抽象出数学世界的“数与形”及数学模型，再将数学知识应用于现实世界，去解释和解决“有形”世界的问题。在这样的不同过程中，“形”的含义也是不同的。这样的思考并非是模糊不同概念和思想，使其内涵泛化，而是揭示了万物关联、万法同宗、万理通融的世界本质。

为了论述清晰，我们以两组问题作为维度从数学内部重新梳理“数形结合”。

第一组问题：数从哪里来？形从哪里来？

显然，这里的数与形是指数学内部的数形概念，如前所述，数与形均来源于现实世界，即数与形具有同源性。因此，数与形之间存在着天然的联系，本来就是从不同角度解释现实世界。

第二组问题：数有什么特点？形有什么特点？

既然数与形是从不同角度解释现实世界，那它们必然存在差异性，具有各自的特点。一般认为，数具有精密性和内隐性；而形具有模糊性（或者说，形的精确性需要借助数来彰显）和直观性，所以数与形不仅存在差异性，而且具有互补性。

有人认为，数比形更加抽象。其实，抽象程度不是它们的本质差异；从某种意义上说，数与形都是抽象的，或者说，进入数学世界的概念必然经由抽象的加工。例如形之点、线、面，例如数之1、2、3。

数与形既有关联，又有差异，可以相互转化。这就引出我们十分熟悉的两种情形，或者说数形结合的两个方面，即“以形助数”和“以数解形”。前者是借助形的直观性来克服数的内隐性，后者是借助数的精确性来补足形的模糊性。稍微具体一点说，在教学实践层面，以形助数做的是辅助概念理解、问题解决和思维进阶，形是表，数是里；以数解形指的是洞悉本质，量化而精确把握对象，解是解析。

人的认知存在差异，有人偏向形、敏感形，有人熟悉数、敏感数，数形结合给予不同人全面、深刻理解世界的机会和途径，而不至于固步自封、囿于狭隘。

三、拓展“数形结合”

从教育理论与教学实践的关系角度出发，我们希望理论能给予实践更适切的指引与服务；或者说，基于教学实践的需要，我们有时候会期望拓展理论的适用边界，使其匹配实践的广度。

在“数学画”教学实践中，“形”的内涵已经由数学世界的“几何图形和函数图像”向内外两个方向作出了延伸。一方面向现实世界延伸出“具体物的形状、形体”义，一方面向数学世界更高抽象领域延伸到“一切符号”义。

自然地，在“数学画”教学实践中，“数”的内涵首先是数概念，以及表征数概念的数字符号。数，是数学中最基本的概念之一，在人类文化发展的最初阶段，为了计量物体个数，基于对应原理产生正整数概念，随着社会生产的发展和人类生活的需要，数的概念不断推广，产生分数、零、负数、无理数、虚数等，直到19世纪末，数系理论的建立工作基本完成；数字，亦称数码，指用以记数的符号或文字，其产生、形成与统一也经历了一个漫长的过程[2]。数字具有“数形二重属性”，即数字既具有数的属性，又具有形的属性。举一个典型的例子，“找规律，写答案”：1111=0，1289=3，2256=1，3388=4，9090=4，1868=？显然此例是抛弃了这些数字的数概念属性，从形上找规律，从而转变成“数圈圈”游戏。与“形”类似地，“数”的内涵也发生延伸，泛指一切数学知识、数学规律，有时候代指包括数学内部之“形”在内的整个数学世界。

所以，从广义上说，“数”指包括数学内部之“形”的整个数学世界；“形”指包括现实世界的“形体”“形状”等有形之物、数学世界的“几何图形”“函数图象”等有形之形，也包括数学世界第一、二次抽象后得到的有形之符号。从广义上看，“数”与“形”不仅有联系，也有交叉，在具体的语境中具有不同的具体内涵。

与之相对应的，数形结合思想也需要作出类似的内涵延伸，这也可以在两个方面进行。

（一）外部延伸：“由形到数”与“由数到形”

数形结合在数学外部方面的延伸主要有两个方向，一是“由形到数”，即从现实世界具有“形体”“形状”之有形具体物向数学世界“几何图形”“函数图象”和数概念的转化。这种转化也被称为水平数学化，是从现实世界到数学世界的第一次抽象，这一过程是广义上的形数转换。小学数学学习内容中有相当大比重都属于这一过程，几乎囊括了小学阶段所有的数学概念及数量关系学习、规律认识。比如，由“树上5 只小鸟，飞走2 只，还剩3 只”的现实故事得出“5-2=3”的算式，以及关于加减法的“拿走”模型[5]；或者由现实生活中习见的国旗、桌面、课本面、门窗等形状抽象出“长方形”概念。

数形结合在数学外部方面延伸的另一个方向是“由数到形”，即从抽象概括的数学世界的数学模型到有形的现实世界的应用。这一广义上的数形转换也涵盖了小学数学学习中问题解决的所有内容。比如，运用加减法的“拿走”模型解决生活中此类问题，运用长方形概念和特征辅助解决在学校操场布置运动会隔离带和座椅等问题。