二项式定理的应用

姜铁军

(江苏省昆山市第一中学)

1)展开式中共有(n＋1)项;

2)a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列,b的指数从0逐项递增到n,是升幂排列;

3)各项的次数和等于n.

厘清二项式定理及其特点后,我们应该学会应用定理.那么如何用好这个定理呢?

1 正用

所谓正用就是直接求二项式展开式.求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂,形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子可先化简再用二项式定理展开.此外,正用二项式定理,还能求二项展开式中特定的项,如常数项、系数最大的项、有理项等.

例1(1)在的展开式中的系数是( ).

A.35 B.－35 C.560 D.－560

(2)已知(1＋x)7＋k(x2＋x＋1)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7,且a2＋2a3＋3a4＋4a5＋5a6＋6a7＝－9,则k＝.

2 逆用

逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.逆用二项式定理时,如果项的系数是正负相间的,则是(a－b)n的形式.

3 活用

灵活运用二项式定理,就是对于看似与二项式定理无关的问题,通过创造条件使之与二项式产生联系,从而利用二项式定理来解决,如利用二项式定理求近似值,证明整除关系、证明整数不等式或与组合数有关的恒等式等.

例3某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据0.9810的处理,经过思考,他决定采用精确到0.01的近似值,则这个近似值是_________.

当k＝1时,9k－8k－1＝0,显然Sn－4n－1能被64整除.当k≥2时,式①能被64整除,所以n为偶数时,Sn－4n－1能被64整除.

例5(多选题)下列关系式成立的是( ).

综上,二项定理看似简单,但它的应用却“不简单”,只要我们学会二项式定理的正用、逆用和活用,那么攻克二项式问题必然是“不在话下”.

(完)