随机变量的数学期望和方差的一些性质

邓启龙

(广东省中山纪念中学)

随机变量的数学期望和方差是高中数学概率统计的重要内容.本文通过探究得到了随机变量的数学期望和方差的一些性质.

1 数学期望

若离散型随机变量X的概率分布为P(X＝xi)＝pi,i＝1,2,…,n,其中pi≥0,i＝1,2,…,n且,则X的数学期望为

连续型随机变量X的概率密度函数为f(x),若,则X的数学期望为

注:若离散型随机变量X有无穷多个取值,且其概率分布为P(X＝xi)＝pi,i＝1,2,3,…,其中pi≥0,i＝1,2,3,…,且,则X的数学期望为

2 方差和协方差

随机变量X的数学期望为E(X),若E((XE(X))2)存在,则X的方差为

随机变量X,Y的数学期望分别为E(X),E(Y),若E((X－E(X))(Y－E(Y)))存在,则X,Y的协方差为cov(X,Y)＝E((X－E(X))(Y－E(Y))).特别地,cov(X,X)＝D(X).

3 基本性质

随机变量的数学期望、方差和协方差具有以下性质.

性质1E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y),E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

推论1∀ci∈R,i＝1,2,…,n,n∈N∗有

性质2D(X)＝E(X2)－(E(X))2,D(aX＋b)＝a2D(X).

性质3cov(X,Y)＝cov(Y,X),cov(aX＋bY,Z)＝acov(X,Z)＋bcov(Y,Z),a,b∈R.

性质4cov(X,Y)＝E(XY)－E(X)E(Y),D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2cov(X,Y).

证明由推论1得

推论2D(X＋Y)＋D(X－Y)＝2(D(X)＋D(Y)),D(X＋Y)－D(X－Y)＝4cov(X,Y).

性质5若X,Y相互独立,则

证明假设X,Y都是离散型随机变量,X的概率分布为P(X＝xi)＝pi,i＝1,2,…,n,Y的概率分布为P(Y＝yj)＝qj,j＝1,2,…,m.

由X,Y相互独立得

对于其他情形同理可证E(XY)＝E(X)E(Y).

由性质4得cov(X,Y)＝0,D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y).

推论3若X1,X2,…,Xn(n∈N∗,n≥2)相互独立,则∀ci∈R,i＝1,2,…,n,有

4 其他性质

性质6若X≤Y,则E(X)≤E(Y).

推论4|E(X)|≤E|X|,D|X|≤D(X).

证明由－|X|≤X≤|X|和性质6得

由性质2可得D(X)＝E(X2)－(E(X))2,且

性质7(E|XY|)2≤E(X2)E(Y2).

证明由均值不等式得

两边取数学期望由性质6即得.

推论5(E(XY))2≤E(X2)E(Y2).

推论6

性质8∀c∈R,D(X)≤E((X－c)2),当且仅当c＝E(X)时取等号.

证明由性质2得

当且仅当c＝E(X)时取等号.

证明由性质4和推论6得

对于随机变量X,Y,定义X∨Y＝max{X,Y},X∧Y＝min{X,Y}.当Y＝c为常数时,X∨c,X∧c分别是左截断和右截断数据.特别地,定义

X＋,X－分别称为X的正部和负部.由定义易得X＋Y＝X∨Y＋X∧Y,|X－Y|＝X∨Y－X∧Y和X＝X＋－X－,|X|＝X＋＋X－.

性质10D(X＋Y)＋D|X－Y|＝2(D(X∨Y)＋D(X∧Y)).

推论7已知c∈R是常数.

(1)D(X)＋D|X－c|＝2(D(X∨c)＋D(X∧c)).

(2)D|X－c|≤D(X∨c)＋D(X∧c)≤D(X).

(3)D(X)＋D|X|＝2(D(X＋)＋D(X－)).

(4)D|X|≤D(X＋)＋D(X－)≤D(X).

证明由推论2 得D(X＋Y)＝2(D(X)＋D(Y))－D(X－Y),由性质10得

D(X＋Y)＝2(D(X∨Y)＋D(X∧Y))－D|X－Y|,于是2(D(X)＋D(Y))－D(X－Y)＝2(D(X∨Y)＋D(X∧Y))－D|X－Y|,所以

证明由推论4得D|X－Y|≤D(X－Y),故结合性质11得

由性质10得

5 典型例题

例1在独立重复试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1),试验进行到事件A首次发生时停止,用X表示此时所进行的试验次数,求X的数学期望和方差.

注:实际上,例1中的X服从几何分布,即

例2流水线上生产的每个产品为不合格品的概率为p,当生产出n(n∈N∗)个不合格品时,即停工检修一次.求在两次检修之间的产品总数X的数学期望和方差.

由X1,X2,…,Xn相互独立和推论3得

(完)