聚焦二项式定理的四类常考问题

浦绍华

(云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学)

辩证唯物主义告诉我们,做任何事情都要抓主要矛盾,只有这样才能达到事半功倍的效果,学习二项式定理也是如此.二项式定理虽然有着广泛的应用,但在高考题中只有四类问题时常出现,我们必须牢牢把握.那么究竟是哪四类问题呢? 本文对此举例说明.

1 二项展开式特定项的系数问题

特定项系数问题主要包括求展开式中的第n项、求展开式中的特定项、已知展开式的某项求特定项的系数等,一般可借助二项式定理的通项公式来求解.

例1已知在的展开式中第9项为常数项.求:

(1)n的值;

(2)展开式中第7项的二项式系数及x5的系数;

(3)展开式中的所有有理项.

2 三项式或乘积形式的展开式问题

求解有关三项式或乘积形式的展开式问题,关键是弄清展开式的特征,将问题转化为二项式进行处理,解题时可以利用乘法原理进行求解.

3 二项式系数的性质问题

抓住二项式系数的性质是解题的关键,解题时需注意区分二项式系数与展开式中项的系数,在Tr＋1＝是该项的二项式系数,与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指,而后者是字母外的部分,前者只与n和r有关,恒为正,后者还与a,b有关,可正可负,同时,要牢记通项公式Tr＋1＝是展开式的第r＋1项,不是第r项.

例3已知的展开式中,前三项的系数成等差数列.

(1)求展开式中二项式系数最大的项;

(2)求展开式中系数最大的项.

4 二项式系数之和问题

求解二项式系数之和问题一般都采用赋值法.它主要有以下两种情形:1)二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法,令a,b等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1,－1或0”;2)一般地,若f(x)＝a0＋a1x1＋a2x2＋…＋anxn,则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为偶数项系数之和为

通过分析不难发现,求解二项式定理的应用问题,主要有三种方法:一是通项法,利用通项将所求问题转化为方程问题;二是转化法,将非二项式问题转化为二项式问题;三是赋值法,将一般问题特殊化.

(完)