反常积分敛散性的一个新判别法

邓习军,敖和松,王成华

(1. 安庆师范大学数理学院,安徽安庆,246133;2. 怀化学院数学与计算科学院,湖南怀化,418000;3. 湖北省洪湖市第一中学,湖北洪湖,433200)

有关反常积分的敛散性判定问题是分析学的重要内容,由于判定方法比较多,学生学习起来不太容易熟练掌握,因此如何判别反常积分的敛散性始终是教学中一个重要的研究课题。关于反常积分的敛散性问题,经典教材中介绍的主要判定方法有柯西收敛准则、比较判别法、阿贝尔判别法及狄利克雷判别法等[1–2]。此外,有关反常积分的敛散性的新的研究成果也不断涌现[3–12]。然而,需要指出的是,上述判别法各有利弊,每个判别法都有其自身的应用局限性。尤其是常用的比较判别法其核心思想是通过与已知敛散性的反常积分进行比较来判别其敛散性,而在这一过程中,找到适当的反常积分却是很困难的。基于此,一个自然的想法应运而生,即反常积分的敛散性能否由被积函数本身的性质来判别,而不需要去找其它的反常积分来进行比较呢？事实上,通过对级数与反常积分之间联系的分析,发现这一想法是可行的。

本文首先通过被积函数的自身性态建立关于无穷积分的一个新的比值判别法,然后根据无穷积分与瑕积分的密切关系再建立关于瑕积分的比值判别法,最后以实际例子验证该判别法的一些应用。

1 无穷积分的比值判别法

下面给出一个关于无穷积分敛散性的判别方法及其证明。

定理1设f(x)是定义在区间[a,+)∞上的正值连续函数,函数g(x)在[a,+)∞上严格单调递增,连续可导且g(x)＞x,x∈[a,+∞),则有

证取则数列{xn}严格单调递增,且作变换x=g(t),于是由函数g(x)的严格单调性可得,即

对任意u＞a,必存在正整数n,使得因而有

因对任意x∈[a,+∞),有f(x)＞0,从而由式(2)可知

通常情形下,可采用如下的极限形式来加以判别敛散性。

推论1(极限形式)设f(x)是定义在区间[a,+)∞上的正值连续函数,函数g(x)在[a,+)∞上严格单调递增,连续可导且g(x)＞x,x∈[a,+∞),若则有

(I)当λ＜1时,无穷积分收敛;

(II)当λ＞1(包含λ=+∞)时,无穷积分发散。

证因,由极限定义知,对∀ε＞0,∃A＞0,当x＞A时,有λ-ε＜

(I)当λ＜1 时,取故由定理1(1)知收敛。

(II)当λ＞1 时,取故由定理1(2)知发散。特别地,当λ=+∞时,由极限定义可知,对∀M＞0 ,∃A＞0 ,当x＞A时,有不妨取M=1,则由定理1(ii)知也发散。

2 瑕积分的比值判别法

注意到瑕积分与无穷积分之间有着密切联系,因此相应地有下列结论。

定理2设f(x)是定义在区间(a,b] 上的正值连续函数,a是函数f(x)的瑕点,函数g(x)在上严格单调递增,连续可导且则有

证作变换则瑕积分可化为是定义在区间上的正值连续函数,于是可由定理1推导出定理2。

类似地,常用如下的极限形式来判别敛散性。

推论2(极限形式)设函数f(x)与g(x)满足定理2 的条件,若则

(I)当μ＜1 时,瑕积分收敛;

(II)当μ＞1(包含μ=+∞)时,瑕积分发散。

仿推论1 的证明可得推论2 的证明。这里从略。

3 应用举例

下面列举几个实例,将会看到对满足条件的反常积分,其敛散性不需要寻求另外的积分来进行比较,而只需通过被积函数本身的性质就可以进行判别。

例1判别的敛散性。

解令。由推论1 知,收敛。

注1:本题不能利用通常的比值判别法来判别敛散性。事实上,因故比值判别法失效。

例2判别的敛散性。

解令则当x＞2 时,f(x)＞0 。取g(x)=ex,有

由推论1 知,当p＞1 时,收敛,当p1≤ 时,

注2:本题也不能利用比值判别法或拉贝判别法来判别敛散性。事实上,由这表明利用拉贝判别法是无法判定的。类似地,应用比值判别法也无法判定的。

例3判别的敛散性。

解易见,x=0 是被积函数的瑕点,并且f(x)＞0,∀x∈(0,1)。取g(x)=2x,则有

例4判别的敛散性。

解因。原积分可改写为其中:

易见,对于I1,当a＜1 时,x=0 是被积函数的瑕点; 对于I2,当b＜1 时,x=1 是被积函数xa-1(1-x)b-1|lnx|的瑕点。为研究方便,作变换t=1-x,可将I2进一步化为I2=相应地,变换后x=0是新的被积函数h(x)=xb-1·的瑕点。

于是,若取g(x)=2x,则对于I1有

而对于I2有

注3:本题的被积函数比较特殊,不能利用经典的比较判别法来判别敛散性。事实上,对于I1有这只能说明当a＜0 时I1一定是发散的,但无法确定当a＞0 时I1是否收敛。然而,利用本文的方法却可以完全确定当a＞0 时I1是收敛的,因此这表明本文的判别方法更为优越。